Исследование фазового портрета системы дифференциальных уравнений, моделирующей конкурентное взаимодействие

Актуальность и цели. В динамическом моделировании конкурентного взаимодействия в разных областях актуально применение систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Исследование двумерных систем, используемых в таких моделях, подробно разработано и отражено в научной литературе. Изучение систем большей размерности часто проводится методами численного анализа, в литературе отражены сложности изучения таких систем классическими методами качественной теории дифференциальных уравнений. Целью данной работы является изучение методами качественной теории трехмерной системы, применяемой для моделирования взаимодействия трех конкурирующих групп. Материалы и методы. Дан обзор научных работ о применении систем обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования динамики конкуренции. Рассматривается трехмерная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с шестью параметрами на инвариантном треугольнике частот. Определены понятия областей приближения (удаления) особых точек системы. Рассматривая пересечения треугольника частот с поверхностями уровня специально подобранных функций, разбиваем его на области приближения (удаления) для каждой особой точки, расположенной на его сторонах, но не в вершинах. Результаты. Найдены уравнения границ областей приближения (удаления) указанных особых точек, зависящие от параметров системы. Доказаны теоремы, описывающие взаимное расположение границ построенных областей и особых точек системы. Рассмотрен численный пример со значениями коэффициентов системы, основанными на данных лингвистической задачи. Он иллюстрирует разработанный метод анализа фазового портрета. Выводы. Разработанный и теоретически обоснованный метод позволяет уточнять детали фазового портрета изучаемой системы без ее аналитического или численного решения.