| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
О слабых решениях граничных задач для некоторых общих дифференциальных уравнений В. П. Бурский Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Московская обл., г. Долгопрудный
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9403e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеОсновы общей теории граничных задач для дифференциального уравнения без типа были заложены в работе М. Й. Вишика [1], где граничная задача понимается как задание области определения некоторого расширения минимального оператора. Затем в работе Л. Хёрмандера [2] появилось уточнение понятия граничной задачи вместе с доказательством условий М. Й. Вишика существования корректной граничной задачи для случая скалярной дифференциальной операции с постоянными коэффициентами. В это же время Я. Б. Лопатинским [3] было найдено условие фредгольмовости общей дифференциальной граничной задачи для эллиптического уравнения или системы. После бума всеобщего интереса 60-х годов к этой тематике и осознания трудностей, связанных с отсутствием серьезных продвижений в исследованиях, в интересе аналитиков к этой области наблюдался длительный спад. Отметим среди работ 60-х годов исследования М. С. Аграновича [4], Ю. М. Березанского (см. [5; с. 93–115]) и позже А. А. Дезина [6] по гладкопорожденным общим граничным задачам. В настоящее время изучение общих постановок граничных задач проходит в направлениях, заданных еще в середине XX в. И. Г. Петровским [7], когда постановки граничных задач увязывались с конкретным типом дифференциального уравнения, и среди таких постановок актуальным вопросом является выделение корректных постановок граничных задач (см., например, книгу А. В. Бицадзе [8], монографию А. П. Солдатова, начало в [9]). Возникли также различные обобщенные постановки граничных задач, в частности, теория обобщенных, или, что то же, слабых решений граничных задач, опирающаяся на теорию оснащенных пространств. Такие задачи изучаются для уравнений, в которых эллиптическая часть выражена дивергентными членами, т. е. развитие происходит в направлении, заданном еще в работах С. Л. Соболева и О. А. Ладыженской (см., например, [10; с. 91–114]). Идеология правильно эллиптического случая приучила к тому, что результаты о корректности граничных задач справедливы для широкого класса областей, в формулировках отмечаются, как правило, лишь ограниченность и гладкость границы. Аналогична ситуация в обобщенных постановках граничных задач, скажем, для дивергентных линейных и квазилинейных эллиптических уравнений. Стремление рассматривать наиболее общие уравнения и системы с такими свойствами привели автора к обобщенной постановке задачи Дирихле, Неймана, других граничных задач для уравнений и систем вида с общей, вообще говоря, матричной дифференциальной операцией L и некоторым линейным или нелинейным оператором A, действующим в векторных пространствах L2(Ω). Граничным задачам для уравнений вида (1.1) посвящена статья автора [11], а задачи для уравнения (1.2) – предмет исследования настоящей работы.Здесь слабым решением, например, однородной задачи Дирихле называется функция из области определения минимального оператора u∈D(L0), для которой выполнено “интегральное” тождество для любой ϕ∈C∞0(Ω). Аналогия с дивергентными уравнениями станет очевидной, если заметить, что для оператора L=∇, где L+=−div, область определения минимального расширения D(L0) совпадает с соболевским пространством H10(Ω), и тождество (1.3), скажем, с оператором Немыцкого A превращается в хорошо известное определение обобщенного (слабого) решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка.Методы, используемые автором в настоящей статье, наработаны в общей теории граничных задач. Приведены примеры. Одним из примеров является уравнение с волновым оператором □(a(x,□u))=f, задача Дирихле для которого в ограниченной области оказывается корректной. Настоящая работа продолжает исследования автора, вышедшие в работах [12]–[15]. § 2. Конструкции общей теории граничных задачПусть L=∑|α|⩽laα(x)Dα, где aα∈C∞,k×j(¯Ω), Dα=(−i∂)|α|/∂xα, – дифференциальная операция общего вида с (k×j)-матрицами aα, элементами которых являются гладкие комплекснозначные функции, и пусть Ω – произвольная ограниченная область в Rn. Операция L порождает формально сопряженную операцию L+=∑|α|⩽lDα(a∗α(x)⋅), где a∗α(x) – сопряженная матрица. Будем обозначать H=Lj2(Ω), H+=Lk2(Ω), Hl=(Hl(Ω))j, Hl0=(Hl0(Ω))j, H+l=(Hl(Ω))k, H+l0=(Hl0(Ω))k – соболевские пространства. Минимальный оператор L0, определяемый как замыкание оператора L, первоначально заданного на (C∞0(Ω))j, в норме графика ‖ и аналогичный минимальный оператор L_0^+ порождают максимальные операторы L=(L_0^+)^*, L^+=L_0^* с помощью сопряжения в гильбертовых пространствах. Области определения D(L_0), D(L^+_0), D(L), D(L^+) этих операторов являются гильбертовыми пространствами в соответствующей норме графика. Введем граничное пространство C(L)=D(L)/D(L_0) для оператора L, а также факторотображение \Gamma\colon D(L)\to C(L) и аналогично C(L^+) и \Gamma^+ для оператора L^+. Для максимального оператора L мы имеем короткую точную последовательность (см. [16; с. 22]) Имеется похожая последовательность для минимального оператора и, кроме того, имеются точные последовательности факторизации \operatorname{Im}L/\operatorname{Im}L_0 и C(L)= D(L)/D(L_0). Собрав это вместе, получим диаграмму где операторы i_C и L_C определены формулами i_C(u+\ker L_0)=u+D(L_0), L_C(u+D(L_0))=Lu+\operatorname{Im}(L_0), а оператор \Gamma_{\ker}: \ker L \to C(\ker L):= \ker L/\ker L_0 – отображение факторизации.Коммутативность всех квадратов очевидна. Таким образом, диаграмма (D1) коммутативна, все столбцы и две верхние строки точны. Из алгебраической 3\times3-леммы (см. [16; с. 72]) получаем точность нижней строки. Доказано следующее утверждение. Утверждение 1. Диаграмма (D1) коммутативна, ее строки и столбцы точны. Диаграмма (D1) означает, очевидно, разложение в прямую сумму максимального оператора L=L_0\oplus L_{C}. Отметим, что все построения и диаграмму (D1) можно строить и для банахового центрального пространства вместо L_2(\Omega), ограничением здесь является недоказанность условий Вишика (см. ниже). Рассмотрим следующие условия Вишика (см. [1]):
\begin{equation}
-\text{ оператор }L_0\colon D(L_0)\to H^+\text{ имеет непрерывный левый обратный};
\end{equation}
\tag{2.1}
\begin{equation}
-\text{ оператор }L_0^+\colon D(L_0^+)\to H \text{ имеет непрерывный левый обратный}.
\end{equation}
\tag{2.2}
Отметим, что, как это следует из стандартных рассуждений функционального анализа, эти утверждения эквивалентны соответственно утверждениям
\begin{equation}
-\text{ оператор }L\colon D(L) \to H^+ \text{ сюрьективен};
\end{equation}
\tag{2.3}
\begin{equation}
-\text{ оператор }L^+\colon D(L^+) \to H \text{ сюрьективен}.
\end{equation}
\tag{2.4}
Пример 1. В статье [13] были указаны некоторые классы дифференциальных операторов, для которых выполнены условия (2.1), (2.2) в ограниченной области. В этом списке находятся i) скалярные операторы с постоянными коэффициентами, ii) скалярные операторы главного типа, iii) скалярные операторы постоянной силы, iv) матричные операторы с постоянными комплексными коэффициентами со свойством Панеяха–Фугледе, v) матричные операторы, равномерно эллиптические по Дуглису–Ниренбергу в области с гладкой границей. Из условия (2.1) следует, что \ker L_0=0, а условие (2.2) влечет, что \operatorname{Im}L= H^+. Кроме того, известно, что для замкнутого \operatorname{Im}L_0 имеет место разложение H^+=\operatorname{Im}L_0\oplus \ker L^+. Таким образом, в условиях (2.1), (2.2) диаграмма (D1) превращается в диаграмму (D2): Аналогично строится диаграмма для операторов L^+_0, L^+ с проекторами \Gamma^+ и \Gamma^+_{\mathrm{Im}}.Однородной граничной задачей (см. [2; с. 24]) называется задача нахождения решения соотношений где B – подпространство в граничном пространстве C(L)=D(L)/D(L_0), определяющее граничную задачу. Задача (2.5) называется корректной, если оператор L_B=L|_{D(L_B)}, D(L_B)= \Gamma^{-1} B является разрешимым расширением оператора L_0, т. е. если оператор L_B\colon D(L_B)\to H^+ имеет непрерывный обратный (который также является правым обратным к L). Хорошо известно следующее утверждение (М. Й. Вишик [1], в интерпретации Л. Хёрмандера [2; с. 24, 25]).Утверждение 2. У операторa L_0 существует разрешимое расширение (и для оператора L существует корректная граничная задача (2.5)) тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.1) и (2.2) вместе. Таким образом, в примере 1 приведены известные классы операторов, для которых существует корректная граничная задача в любой ограниченной области. Пример корректной граничной задачи для неэллиптического уравнения в ограниченной области дает следующее утверждение. Утверждение 3 (см. [13]). Следующая граничная задача в единичном круге D_{0,1}=\{x\in {\mathbb{R}^2}\mid |x|<1\} корректна в L_2(D_{0,1}):
\begin{equation}
\square u=f\in L_2(D_{0,1}),\qquad u|_{\Gamma_1}=0,\quad u_\nu'|_{\Gamma_2}=0,
\end{equation}
\tag{2.6}
где \Gamma_1=\{|x|=1,\, \pi/2\leqslant \tau \leqslant 2\pi \}, \Gamma_2=\{|x|=1,\, \pi \leqslant \tau \leqslant 3\pi/2\}, \tau – угловая переменная. Сопряженной к задаче (2.5) называется граничная задача где пространство
\begin{equation*}
B^+=\Gamma^+D^+_B,\qquad D^+_B=\{v\in D(L^+)\mid \forall\, u\in\Gamma^{-1}(B),\ [u,v]=0\}
\end{equation*}
\notag
порождено формой Грина: [u,v]=\int_\Omega(Lu \cdot \overline v-u \cdot \overline{L^+v})\, dx.
§ 3. Обобщенно поставленные граничные задачиНиже будут использоваться обозначения из теории оснащенных пространств (см. [5]). Если H, H^+ – гильбертовы пространства и H\supset H^+ – плотное вложение с топологией, то H^-=(H^+)^\prime – гильбертово пространство, сопряженное к H^+ по отношению к норме H, которое мы будем называть дуальным к H^+ (по отношению к центральному пространству H). Если таких пространств H^+ два и еще дан линейный непрерывный оператор U\colon H^+_1\to H^+_2, то соответствующий сопряженный оператор U^*=U'\colon H^-_2\to H^-_1 будем называть дуальным к U. Ниже H=L_2^{k}(\Omega). Пусть теперь A\colon H\to H – некоторый линейный или нелинейный непрерывный оператор. Рассмотрим уравнение Определение 1. Функцию u\in D(L_B), удовлетворяющую интегральному тождеству для каждой функции v\in D(L_B), будем называть слабым решением задачи \Gamma u\in B, \Gamma^+ALu\in B^+, порожденной задачей Lu=f, \Gamma u\in B в области \Omega для уравнения (2.1) с правой частью f из D'(L_B) и оператором A. Здесь пространство B^{+} задает задачу L^+v=g, \Gamma^+ v\in B^+, сопряженную к задаче Lu=f_1, \Gamma u\in B (см. (2.7)).Интегральное тождество (3.2) может быть записано как уравнение с дуальным к L_B оператором L_B^\prime: В частности, задачу (3.2) будем называть обобщенной задачей Дирихле, если B=0 (т. e. L_B=L_0) и обобщенной задачей Неймана, если B=C(L) (т. е. L_B=L). Как и в предыдущем параграфе, основанием для таких определений являются аналогии со ставшими уже классическими определениями соответствующих задач для квазилинейного дивергентного эллиптического уравнения, где в качестве операции \mathcal L выступают градиент \nabla (для случая уравнения второго порядка) или обобщенный градиент \nabla^2,\dots,\nabla^m (в случае высокого порядка), а в качестве оператора A – оператор Немыцкого. Определение 2. Обобщенную граничную задачу (3.2) будем называть корректной, если оператор \widetilde{L}_{BA}=L_B'\cdot A\cdot L_B\colon D(L_B)\to D'(L_B) имеет двусторонний обратный M\colon D'(L_B)\to D(L_B), и нормально корректной, если для каждой функции f\in D'(L_B), ортогональной ядру \ker L_B, существует единственная, с точностью до аддитивной составляющей h\in \ker L_B, функция u\in D(L_B), являющаяся решением уравнения (3.3) и непрерывно зависящая от f. Функция u\in D(L_B) при этом является слабым решением этой задачи. Имеет место следующее утверждение. Утверждение 4. Задача (3.2) с непрерывным в L_2^{k}(\Omega) оператором A является нормально корректной тогда и только тогда, когда оператор L_B нормально разрешим и оператор P\cdot A – гомеоморфизм из замкнутого пространства \operatorname{Im}L_B в себя. Здесь P\colon L^{k}_2(\Omega)\to \operatorname{Im}L_B – ортогональный проектор. Задача (3.2) является корректной тогда и только тогда, когда она нормально разрешима и \ker L_B=0. Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость для случая корректности задачи (3.2). Предположим, что оператор \widetilde{L}_{BA} является гомеомофизмом с обратным оператором M, и расширение L_B произвольно. Заметим сначала, что равенства ML_B'AL_Bu=u, L_B'AL_BMv=v влекут инъективность оператора L_B и сюрьективность L_B'. Пространство \operatorname{Im}L_B, наделенное топологией, индуцированной инъекцией \widetilde{L}_B\colon D(L_B)\to \operatorname{Im}L_B из D(L_B), не является, вообще говоря, замкнутым подпространством в H=L_2^{k}(\Omega), но оно является плотно вложенным в некоторое замкнутое подпространство H_1\stackrel{J}{\subset} H, и вложение I\colon \operatorname{Im}L_B\subset H_1 непрерывно. Дуальный к I оператор также является непрерывным плотным вложением I'\colon H_1\subset \operatorname{Im}'L_B. Введем ортопроектор P\colon L_2^{k}(\Omega)\to H_1. Мы имеем теперь последовательность отображений \operatorname{Im}L_B\xrightarrow{I}H_1 \xrightarrow{PAJ} H_1 \xrightarrow{I'}\operatorname{Im}'L_B, композиция которых является гомеоморфизмом с обратным оператором M_1=\widetilde{L}_BM\widetilde{L}_B'. Теперь для любой функции u\in I\operatorname{Im}L_B\subset H_1 имеем равенство IM_1I'PAJu=u и, учитывая непрерывность операторов, мы, аппроксимируя произвольную функцию w\in H_1 последовательностью w_n\to w,w_n\in \operatorname{Im}L_B, и переходя к пределу в последнем равенстве, получим справедливость того же равенства для всякой w\in H_1, т. е. сюрьективность I. Таким образом, оператор L_B нормально разрешим и топология \operatorname{Im}L_B совпадает с топологией, индуцированной из H. Наконец, так как операторы I и I' – изоморфизмы, то оператор PA=PAJ является гомеоморфизмом на пространстве \operatorname{Im}L_B.
Для того чтобы рассмотреть случай нормальной корректности задачи (3.2), достаточно факторизовать пространства D(L_B) и D'(L_B) по \ker L_B и \bot \ker L_B соответственно и воспользоваться теми же рассуждениями. Замечание 1. Если задан нелинейный оператор A, дифференцируемый по Фреше, то для того чтобы получить существование локально непрерывного (на некотором D\subset \operatorname{Im}L_B) обратного к PA оператора, достаточно доказать существование ограниченного обратного к производной Фреше PA'(u) оператора PA в точке u\in D и применить теорему об обратной функции. В этом случае условие \| PA'(u)h\| \ \geqslant \ C\| h\| существования ограниченного обратного к PA'(u) оператора может быть записано как оценка
\begin{equation*}
\sup_{u\in D;\, w,h\in \operatorname{Im}L_B\setminus \{0\}} \frac{\langle PA'(u)h,w\rangle}{\|h\| \, \|w\|}>C
\end{equation*}
\notag
или как неравенство: \exists\, C>0, \forall\, u, \forall\, h, \exists\, w, \langle A'(u)h,w\rangle \geqslant C\|h\| \, \|w\|. Последняя оценка имеет место, если существует оператор V\colon D\times \operatorname{Im}L_B\to \operatorname{Im}L_B такой, что \langle A'(u)h,V(u,h)\rangle \geqslant C\|h\| \, \|V(u,h)\|. В простейшем случае линейного непрерывного оператора V(u,h)=Vh мы получаем достаточное условие локальной гомеоморфности оператора PA в виде положительной определенности композиции некоторого оператора V^* и производной Фреше A'(u) на \operatorname{Im}L_B: Утверждение 4 влечет следующий результат. Утверждение 5. Предположим, что оператор A\colon H\to H непрерывен и расширение L_B разрешимо. Тогда 1) задача (3.2) является корректной тогда и только тогда, когда оператор A – гомеоморфизм, 2) задача (3.2) разрешима, т. е. она имеет слабое решение, если оператор A сюрьективен. Пример 2. Рассмотрим в качестве оператора \mathcal{L} произвольный скалярный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, а в качестве оператора A – оператор Урысона где \forall\, x,t\in \Omega, \forall\, \xi_1,\xi_2\in \mathbb{R}, с измеримым ядром Фредгольма K_1 и \Lambda^2=\int_{\Omega \times \Omega}K_1^2(x,t)\,dx<\infty. Предположим, что оператор A непрерывно действует в L_2(\Omega) (для этого существует множество условий на K, см., например, [10]). Тогда, как известно, при выполнении условия |\mu|<\Lambda^{-1} уравнение u=\mu Au+f имеет единственное непрерывно зависящее от функции f\in L_2(\Omega) решение u\in L_2(\Omega), причем, для решения справедлива оценка \|u\| \leqslant C(\Lambda,\|f\|). Таким образом, из утверждения 5 следует, что обобщенная задача Неймана, B=C(L), для уравнения \mathcal{L}^{+}A\mathcal{L}u=g имеет единственное, с точностью до аддитивной составляющей h\in \ker L, решение u\in D(L) для всякой функции g\in D'(L), ортогональной \ker L. Например, задача Неймана \Delta \bigl(u(x)+\mu \int_\Omega K(x,t,\Delta u(t))\,dt\bigr)=g(x), A\Delta u|_{\partial \Omega}=0, (A\Delta u)_\nu'|_{\partial \Omega}=0, где \Delta – оператор Лапласа, допускает обобщенную постановку, и такая задача разрешима для удовлетворяющих сформулированным выше условиям функций K, g\in (H^2(\Omega))' и числа \mu.§ 4. Операторы с подчиненными членамиОтметим, что предыдущие рассуждения непригодны для рассмотрения операторов, содержащих производные младших порядков. Так, в примере 2 мы не могли рассматривать уравнение с K=K(x,t,u(t), \nabla u(t),\Delta u(t)). Ниже приводится схема, позволяющая учитывать младшие члены. Заметим, что другой возможностью для этого является рассмотрение векторных операций типа \mathcal{M}=(\mathcal{L},1), имея в виду, что тогда \mathcal{M}^+(v_1,v_2)=\mathcal{L}v_1+ v_2, \mathcal{M}^+\mathcal{M} u=\mathcal{L}^+\mathcal{L}u+u. Здесь в оператор A мы включим младшие члены, входящие компактно. Рассмотрим оператор \widetilde{L}_{BA}, действующий по правилу \widetilde{L}_{BA}u= L_B'A(u,L_Bu)=L_B'\widetilde{A}(\mathcal{K}u,L_Bu), где \mathcal{K}\colon D(L_B)\to L_2^m(\Omega) – некоторый компактный оператор, расширение L_B – нормально разрешимо, \widetilde{A}\colon L_2^m(\Omega)\times \operatorname{Im}L\to \operatorname{Im}L – непрерывный оператор такой, что PA(u,w)=\widetilde{A}(\mathcal{K}u,w) с оператором A\colon D(L_B)\times \operatorname{Im}L\to L_2^{k}(\Omega) и тем же ортопроектором P\colon L_2^{k}(\Omega)\to \operatorname{Im}L. Будем рассматривать следующие условия:
\begin{equation}
{}-{}\forall\, v\in L_2^m(\Omega),\text{ оператор }\widetilde{A}(v,{\cdot}\, )\colon \operatorname{Im}L\to \operatorname{Im}L-\text{гомеоморфизм},
\end{equation}
\tag{4.1}
\begin{equation}
{}-{}\text{гомеоморфизм }(\widetilde{A}(v,{\cdot}\,))^{-1}\colon \operatorname{Im} L\to \operatorname{Im}L\text{ равномерно ограничен},
\end{equation}
\tag{4.2}
т. е. существует монотонная функция \beta \colon \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}, \beta(r)=R такая, что образ (\widetilde{A}(v,{\cdot}\,))^{-1}(S(0,r)) всякого шара S(0,r) \subset \operatorname{Im}L радиуса r вложен в шар S(0,R)\subset \operatorname{Im}L для каждой v\in L_2^m(\Omega). Заметим, чтобы проверить условие (4.2), достаточно показать, что отображение
\begin{equation}
(\widetilde{A}(v,{\cdot}\,))^{-1}\colon L_2^{k}(\Omega)\to L^{k}_2(\Omega)
\end{equation}
\tag{4.3}
равномерно ограничено, если оператор \widetilde{A}(v,\cdot )\colon L_2^{k}(\Omega)\to L_2^{k}(\Omega) задан во всем L_2^{k}(\Omega) и обратим. Функцию u\in D(L_B), удовлетворяющую интегральному тождеству для любой функции v\in D(L_B), будем называть слабым решением задачи \Gamma u\in B, \Gamma^{+}A(u,Lu)\in B^{+}, порожденной задачей \Gamma u\in B, в области \Omega для уравнения с произвольной функцией f\in D'(L_B). Интегральное тождество (4.4) соответствует уравнению
\begin{equation}
\widetilde{L}_{BA}u=L_B'\cdot\widetilde{A}(\mathcal{K}u,L_B\,u)=f.
\end{equation}
\tag{4.6}
Обобщенную граничную задачу (4.4) будем называть разрешимой, если для любой правой части f\in D'(L_B) существует функция u\in D(L_B), для которой имеет место равенство (4.6). Обобщенную граничную задачу (4.6) будем называть корректной, если оператор \widetilde{L}_{BA}\colon D(L_B)\to D'(L_B) имеет двусторонний непрерывный обратный M\colon D'(L_B)\to D(L_B). Эти определения приводят к следующим результатам. Утверждение 6. Предположим, что расширение L_B нормально разрешимо и \ker L_B=0. Тогда 1) для того чтобы обобщенная задача (4.4) была разрешимой (корректной), необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело решение для любой функции f\in \operatorname{Im}L_B (было бы корректно для таких f, т. е. чтобы существовал непрерывный обратный у оператора этого уравнения);2) для того чтобы обобщенная задача (4.4) была разрешимой, достаточно выполнения условий (4.1), (4.2). Доказательство. Утверждение п. 1) (также как и в утверждении 4) следует из того, что отображение L_B\colon D(L_B)\to L_2^{k}(\Omega) – изоморфизм на свой образ и \ker L_B'\bot \operatorname{Im}L_B.
2) Пусть f\in D'(L_B) – произвольная функция. Из утверждения 5 и условия (4.1) следует, что отображение
\begin{equation*}
T\colon D(L_B)\ni u\quad \to\quad L_B^{-1}(PA(u,\cdot ))^{-1}((L_B')^{-1}f)\in D(L_B)
\end{equation*}
\notag
является вполне непрерывным оператором. Из условия (4.2) имеем, что для каждого шара F\ni f существует шар U\subset \operatorname{Im}L_B, содержащийся в прообразе (\widetilde{A}(\mathcal{K}u,{\cdot}\,))^{-1}((L_B')^{-1}F) \forall\, u. Тогда компактное отображение L_BTL_B^{-1} переводит замыкание \overline{U} шара U в себя. Применяя принцип Шаудера, получаем, что отображение L_BTL_B^{-1} имеет неподвижную точку и, таким образом, задача (4.4) разрешима. Замечание 2. Мы хотели бы иметь возможность видеть на месте \mathcal{K}u набор каких-либо дифференциальных выражений, но мы должны требовать, чтобы операторы, порожденные этими выражениями, были бы компактными. Приходим к следующему определению. Дифференциальную операцию \mathcal{M} будем называть B-подчиненной операции \mathcal{L} и записывать \mathcal{M}\,{\prec \prec_B}\, \mathcal{L}, если D(M)\supset D(L_B) и оператор I\circ M|_{D(L_B)}\colon D(L_B)\to L_2(\Omega) с вложением I\colon \operatorname{Im} M|_{D(L_B)}\to L_2(\Omega) является компактным. Здесь включение является плотным и означает выполнение априорной оценки
\begin{equation*}
\| u\|_L\geqslant C\| u\|_M\text{ или, что то же, }\| Lu\|_{L_2(\Omega)}+\|u\|_{L_2(\Omega)} \geqslant C\|Mu\|_{L_2(\Omega)}
\end{equation*}
\notag
для всех u\in D(L_B). Если оператор L_B нормально разрешим и \ker L_B=0, то он имеет левый обратный и из последней оценки будет следовать \| Lu\|_{L_2(\Omega)}\geqslant C\| Mu\|_{L_2(\Omega)} для тех же u. Отметим, что сравнения дифференциальных операций восходит к Л. Хёрмандеру. Напомним, что в работе [2] Л. Хёрмандер вводит сравнения \mathcal{M}\prec \mathcal{L} и \mathcal{M}\prec \prec \mathcal{L} для скалярных дифференциальных операций с постоянными коэффициентами. Причем, \mathcal{M}\prec \mathcal{L} означало включение D(M_0)\supset D(L_0), т. е. аналогичную априорную оценку, но для всех u\in C_0^\infty (\Omega). И \mathcal{M}\prec \prec \mathcal{L} означало компактность оператора I\circ M\colon D(L_0)\to L_2(\Omega) с вложением I\colon \operatorname{Im}M|_{D(L_0)}\to L_2(\Omega). В работе [2] были приведены условия на символы операторов, при которых такие сравнения имеют место. Конечно, получение каких-либо условий сравнения операторов различных классов является большой и трудной задачей. Пример 3. Рассмотрим уравнение
\begin{equation*}
\Delta \biggl(u(x)+\mu \int_\Omega K\bigl(x,t,u(t),\nabla u(t),\Delta u(t)\bigr)\,dt\biggr)=f(x),
\end{equation*}
\notag
где функция K(x,t,\eta_{0,}\eta_1,\dots,\eta_n,\xi) удовлетворяет тем же условиям, что и в примере 2, но с K_1(x,t), зависящей от \eta. Тогда условия (4.1) и (4.2) имеют место и для каждой функции f\in D'(\Delta), f\bot \ker \Delta существует решение u\in D(\Delta) обобщенной задачи Неймана, если |\mu|<\Lambda^{-1}. Этот факт следует из утверждения 6 и рассмотрений примера 2. Можно также рассматривать уравнения высоких порядков, а также подставлять любой дифференциальный оператор L с постоянными коэффициентами (или операторы из утверждения 6) вместо \Delta в любом месте уравнения и получать аналогичные утверждения о разрешимости обобщенной задачи Неймана или другой какой-либо задачи. Но тогда следует подставлять операторы L_j\prec \prec_BL вместо \nabla,\nabla^2,\dots, где последнее сравнение было определено в замечании 2. § 5. Нелинейные задачи с оператором НемыцкогоВ качестве оператора A(\,{\cdot}\,,{\cdot}\,) предыдущего параграфа будем рассматривать оператор Немыцкого, порожденный конечномерным отображением g\colon (Au)(x){\kern1pt}{=} g(x,u(x)), g\colon \Omega \times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r, \Omega \subset \mathbb{R}^n, или (AU)(x)=a(x,U(x)), a\colon \Omega \times \mathbb{R}^N=\Omega \times \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r, a(x,\eta,\xi)=\{A_\alpha(x,\eta,\xi)\} соответственно сорту уравнения, которое мы хотим рассмотреть: (3.1) или (4.5). 5.1. Некоторые известные результатыРассмотрим сначала оператор A\colon L_2^r(\Omega)\to L_2^r(\Omega), порожденный отображением g\colon (Au)(x)=g(x,u(x)), где g\colon \Omega \times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r удовлетворяет условию Каратеодори: g(x,\xi) непрерывно по \xi для почти всех x и измеримо по x\in \Omega для всех \xi. Как известно, такой оператор является непрерывным и ограниченным в пространстве L_2^r(\Omega) тогда и только тогда, когда имеет место оценка
\begin{equation*}
\exists \,g_1\in L_2(\Omega),\ \exists\, C> 0,\ \forall\, x,\ \forall\, \xi\qquad |g(x,\xi)|\leqslant g_1(x)+C|\xi|.
\end{equation*}
\notag
Следующий факт сразу вытекает из приведенной выше оценки. Утверждение 7. Пусть отображение g(x,u), g\colon \Omega \times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r, удовлетворяет условию Каратеодори. Тогда если отображение g(x,{\cdot}\, ) для почти всех x имеет непрерывный обратный g^{-1}(x,{\cdot}\,): g^{-1}(x,g(x,\xi ))=g(x,g^{-1}(x,\xi))=\xi и удовлетворяет условию линейного роста на бесконечности:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \exists \,g_1,g_2\in L_2(\Omega),\ \exists\, C_1,C_2> 0,\ \forall\, x,\ \forall\, \xi \\ g_1(x)+C_1|\xi|\leqslant |g(x,\xi)|\leqslant g_2(x)+C_2|\xi|, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
то соответствующий этому отображению оператор Немыцкого A является гомеоморфизмом в пространстве L_2^r(\Omega) и наоборот. Напомним некоторые известные определения, которые были введены для изучения операторов нелинейных граничных задач. Оператор T\colon X\to X', действующий из рефлексивного банахова пространства в его сопряженное, называется (см. [17]): i) монотонным, если \langle Tu-Tv,u-v\rangle\geqslant 0 для всех u, v; ii) строго монотонным, если \langle Tu-Tv,u-v\rangle >0 для u\neq v; iii) радиально непрерывным, если для каждого u,v\in X функция s\to \langle T(u+ sv),v\rangle непрерывна на [0,1]; iv) коэрцитивным, если существует монотонная функция \gamma \colon [0,\infty)\to \mathbb{R}, \lim_{s\to \infty}\gamma(s)=+\infty такая, что \langle Tu,u\rangle \geqslant \gamma(\|u\|)\|u\|; v) удовлетворяющим S-свойству Ф. Браудера (или условию \alpha И. В. Скрыпника [18]), если из того, что \langle Tu_n-Tu,u_n-u\rangle \to 0 и u_n\rightharpoonup u, следует, что u_n\to u в X. Эти свойства необходимы для существования непрерывного обратного оператора. В частности, справедливы следующие факты (см. [17]). Утверждение 8. 1. Из условия ii) для отображения T или для отображения (-T) следует инъективность T. 2. Пусть T – радиально непрерывный, монотонный, коэрцитивный оператор. Тогда T сюрьективен, и для всех f из X' множество T^{-1}(f) является слабо выпуклым и замкнутым множеством (теорема Браудера–Минти). 3. Пусть T – радиально непрерывный, монотонный, коэрцитивный оператор, удовлетворяющий S-свойству, тогда T^{-1} непрерывен. Для уравнений вида \mathcal{A}u\equiv \sum_{|\alpha |\leqslant m}D^\alpha [A_\alpha (x,u,\nabla u,\dots,\nabla^mu)-f_\alpha]=0 (т. е. для уравнения (4.5) с оператором A, порожденным отображением a\colon AU=a(x,U(x)), a\colon \Omega \times \mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^N, a(x,\eta,\xi )=\{A_\alpha (x,\eta,\xi)\}) существуют примеры классов отображений a таких, что свойства i)–iv) имеют место, и мы можем изучать вопросы корректности соответствующих краевых задач ([17]–[19]). Свойства ii) (а также v) и iv)) показывают, что уравнения в таких задачах должны быть эллиптическими. Это одна из схем исследования (о других подходах см., например, [19]). Следующее важное наблюдение принадлежит Г. Гаевскому (см. [17]). Утверждение 9. Пусть X, Y – банаховы пространства. Если L\colon X\,{\to}\,Y – линейный изометрический изоморфизм и оператор A\colon Y\to Y' удовлетворяет какому-либо из условий i)– v), то и оператор L'AL\colon X\to X' удовлетворяет этому условию. Заметим, что требование изометричности L может быть опущено при дальнейших рассмотрениях, поскольку при изучении вопросов непрерывности мы можем перейти к эквивалентной метрике. Следуя рассуждениям работы [17], рассмотрим пример оператора A, заданного формулой:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (Au)(x) &=\{a_1(x,u(x)),\dots,a_r(x,u(x))\}, \\ a_i(x,u) &=\varphi(x,|u|)\sum_{j=1}^rb_{i,j}(x)u_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
Утверждение 10. Пусть функция \varphi из формулы (5.2) ограничена и удовлетворяет условию Каратеодори. Пусть (b_{i,j}(x)) – симметрическая положительно определенная вещественнозначная матрица, состоящая из ограниченных элементов. Если, кроме того, функция \varphi удовлетворяет оценке \varphi(x,t)t-\varphi (x,s)s\geqslant m(t-s) для t\geqslant s,m>0, то предположения ii)– v) выполняются, и поэтому соответствующий оператор A является гомеоморфизмом в L_2^r(\Omega). 5.2. Приложения к задачам с сюрьективным расширениемВ настоящем пункте будет показано, какие выводы можно сделать из рассуждений предыдущего пункта, касающиеся оператора Немыцкого A. К сожалению, оператор Немыцкого чаще всего имеет производную Фреше только на плотном множестве в L_2(\Omega), поэтому в этом случае мы не можем использовать концепцию замечания 3. Однако, действуя в соответствии с утверждением 7, можно обойти эту трудность или посредством построения явного выражения для обратного отображения оператора PA, или применением свойств монотонности оператора PA (или, возможно, PMAM^* с некоторым обратимым M). Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда оператор L_B разрешим, т. е. \operatorname{Im}L_B=L_2(\Omega), P=\mathrm{id}, \ker L_B=0. Пусть a=g зависит только от x, \xi. Рассмотрим обобщенную граничную задачу (3.2) для квазилинейного уравнения (3.1), где A\colon L_2^r(\Omega)\to L_2^r(\Omega) – оператор Немыцкого, удовлетворяющий предположениям утверждения 7. Используя утверждение 8, мы можем говорить о корректности этой задачи, если оператор L_B обратим и наоборот. Подобные рассуждения можно использовать также, если гомеоморфизм A задан c помощью формулы (5.2), функции a_j в которой удовлетворяют условиям утверждения 10. Имеет место следующий результат. Утверждение 11. Предположим, что оператор A\colon L_2^r(\Omega)\to L_2^r(\Omega) удовлетворяет либо предположениям утверждения 7, либо условиям утверждения 10. Тогда 1) обобщенная задача (3.2) корректна, если расширение L_B разрешимо; 2) обобщенная задача Неймана (3.2), B=C(L), нормально разрешима, если выполнено условие (2.3) о сюрьективности оператора L; в частности, она корректна для уравнения (3.1), в котором оператор \mathcal{L} может быть любым из операторов, перечисленных в примере 1. Пример 4. Используя утверждение 3, а также предыдущие замечания, нетрудно получить корректность следующей нелинейной задачи в единичном круге D_{0,1}=\{x\in \mathbb{R}^2\mid |x|<1\}, порожденной задачей (2.6): которая может быть записана для гладкого решения следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Box (a(x,\Box u))=f\in D'(\Box_B), \\ u|_{\Gamma_1}=0,\quad u_\nu'|_{\Gamma_2}=0,\quad a(x,\Box u)|_{C\Gamma_1}=0,\quad (a(x,\Box u))_\nu'|_{C\Gamma_2}=0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где \Gamma_1=\{|x|=1,\, \pi/2\leqslant \tau \leqslant 2\pi\}, \Gamma_2=\{|x|=1,\, \pi \leqslant \tau \leqslant 3\pi/2\}, \tau – угловая переменная, C\Gamma_k=\partial D_{0,1}\setminus \Gamma_k – дополнение множества \Gamma_k до границы круга, а функция a удовлетворяет условиям утверждения 7 или условиям вида (5.2) утверждения 10. Здесь, как и раньше, L_B означает оператор граничной задачи (2.5) с граничными условиями (2.6). Пусть теперь отображение a таково, что a\colon \Omega \times \mathbb{R}^M\times \mathbb{R}^r\to \mathbb{R}^r, \Omega \subset \mathbb{R}^n, a(x,\eta,\xi)=\{A_\alpha(x,\eta,\xi),\, |\alpha|\leqslant m\}. В этом случае мы будем использовать схему, предложенную в утверждении 9. Для того чтобы оператор A удовлетворял условиям (4.1), (4.2), отображение a(x,\eta,{\cdot}\,) должно удовлетворять предположениям из утверждения 7 или 10 равномерно по \eta, т. e. функция g_1\in L_2(\Omega) и постоянная C_1 из утверждения 7 или постоянная m>0 и постоянная положительной определенности матрицы (b_{i,j}(x)) не должны зависеть от \eta. Как и выше, условие (4.1) выполняется. Свойство (4.3) является следствием построений обратного оператора в утверждениях 7 и 10. Используя утверждение 11, п. 2), приходим к следующим результатам. Утверждение 12. Рассмотрим уравнение с операторами L_j\prec \prec_BL, причем, последнее сравнение означает компактность композиции I_j\circ L_j\colon D(L_B)\to L_2(\Omega) с оператором вложения I_j. Предположим, что отображение a(x,\eta,{\cdot}\,) удовлетворяет упомянутым выше условиям из утверждений 7 или 10 равномерно по \eta. Тогда1) порожденная таким оператором задача (4.4) разрешима, если расширение L_B разрешимо; 2) соответствующая оператору A(u,L_Bu) задача Неймана (4.4), B=C(L), разрешима для каждой f\in D'(L), f\perp \ker L, если выполнено условие (2.2), в частности, она разрешима для уравнения (4.5), в котором оператор \mathcal{L} один из операторов примера 1. Пример 5. Из утверждения 12, учитывая утверждение 3 и пример 4, получаем разрешимость следующей нелинейной задачи: \langle a(x,u,\Box_B\,u),\Box_B\,v\rangle=\langle f, v\rangle, где функция a(x,\eta,\xi ) удовлетворяет условиям утверждения 7 или 10 равномерно по \eta, поскольку D(\Box_B)\subset H^1(\Omega)\subset \subset L_2(\Omega). 5.3. Приложения к задачам с несюрьективным расширениемПусть пространство \operatorname{Im}L_B не совпадает со всем пространством L_2(\Omega). Для того чтобы мы могли воспользоваться результатами утверждений 7, 10, необходимо, чтобы оператор PA был непрерывно обратим на \operatorname{Im}L_B. В общем случае схема, предложенная в утверждении 7, не подходит для того, чтобы сделать подобное заключение для всякого подпространства \operatorname{Im}L_B. Поэтому мы воспользуемся утверждением 8, в предположениях которого это возможно. Имеет место следствие из утверждений 8, 9. Утверждение 13. Пусть H – гильбертово пространство, G – его замкнутое подпространство, I\colon G\to H – оператор вложения и P\colon H\to G – ортопроектор. Если оператор A\colon H\to H удовлетворяет некоторому из условий i)– v), то и оператор PAI\colon G\to G обладает этим свойством. Если оператор A удовлетворяет всем этим свойствам, то оператор PA=PAI\colon G\to G – гомеоморфизм для каждого замкнутого G\subset H. Для доказательства достаточно предположить, что H – центральное пространство оснащения (см. [16]), взять L=I в утверждении 9, идентифицируя G'=G, а затем применить утверждение 8. Теперь мы можем использовать схему утверждений 7, 9. Утверждение 14. Предположим, что оператор A\colon L_2^r(\Omega)\to L_2^r(\Omega), заданный формулой (5.2), удовлетворяет условиям утверждения 10. Тогда 1) обобщенная задача (3.2) нормально корректна, если расширение L_B нормально разрешимо; задача является корректной, если, кроме того, \ker L_B=0; 2) обобщенная задача Дирихле (3.2), B=\{0\}, нормально корректна, если выполняется условие нормальности оператора L: подпространство \operatorname{Im}L замкнуто в H^+; она является корректной, если имеет место условие (2.1), в частности, корректной является задача Дирихле для уравнения (3.1), в котором оператор \mathcal{L} – один из операторов примера 1. Пример 6. Рассмотрим хорошо известную обобщенную постановку задачи Дирихле для квазилинейного уравнения в котором A\colon L_2^n(\Omega)\to L_2^n(\Omega) – некоторое непрерывное отображение, удовлетворяющее условиям ii)–v). Таким отображением может служить, к примеру, оператор Немыцкого, заданный с помощью отображения a, действующего в \mathbb{R}^n (см. утверждение 10). Тогда из утверждения 14, используя неравенство Фридрихса, мы получаем корректность этой задачи.Пример 7. Рассмотрим еще один пример задачи Дирихле в плоской области для квазилинейного уравнения с волновым оператором \Box =\partial^2/(\partial x_1\partial x_2) и оператором A\colon L_2(\Omega)\to L_2(\Omega), заданным с помощью отображения a в \mathbb{R}^1 (см. утверждение 10). Из утверждения 14 следует корректность такой задачи при ограничениях утверждения 10. Если, более того, a зависит от u, то задача разрешима.Замечание 3. Мы использовали здесь один набор (из возможных) предположений на оператор A, которые обеспечивают корректность или разрешимость уравнения Av=g в пространстве L_2(\Omega), что влечет корректность или разрешимость уравнения L_B'AL_Bu=f в пространстве D(L_B). Однако имеются также другие наборы предположений (например, условия ограниченности, полунепрерывности, коэрцитивности и псевдомонотонности оператора A), и каждое из них может быть использовано при формулировке результатов, аналогичных утверждению 14. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bur23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|