| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О теореме Романова А. О. Радомский Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2023, Volume 87, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/im9306e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть φ – функция Эйлера. Ясно, что для всех натуральных чисел n выполнено неравенство 1⩽φ(n)⩽n. Следовательно, если a1,…,aN – натуральные числа (не обязательно различные), s∈N, то Представляют интерес верхние оценки для таких сумм. Известно, что для каждого натурального числа s существует такая положительная постоянная c(s), зависящая только от s, что для всех натуральных N.Мы доказываем следующий результат. Теорема 1.1. Пусть α – вещественное число с условием 0<α<1. Тогда существует константа C(α)>0, зависящая только от α, такая, что выполнено следующее. Пусть M – вещественное число, M⩾1 и a1,…,aN – натуральные числа (не обязательно различные) с условием an⩽M для всех 1⩽n⩽N. Для каждого натурального числа d определим Пусть s – натуральное число. ТогдаИз доказательства теоремы 1.1 следует, что C(α)=c/α, где c – положительная абсолютная постоянная. Приведенный далее результат показывает, что теорема 1.1 неулучшаема в следующем смысле: условие p⩽(lnM)α не может быть заменено на p⩽(lnM)o(1). Теорема 1.2. Пусть α(M), M=1,2,…, – последовательность положительных вещественных чисел такая, что α(M)→0 при M→+∞ и (lnM)α(M)⩾2 для всех M⩾3. Тогда существует постоянная M0>0, зависящая только от последовательности α(M), такая, что выполнено следующее. Для любого натурального M⩾M0 существует непустое множество A⊂{1,…,M} такое, что для всех простых p⩽(lnM)α(M) и Здесь c>0 – абсолютная постоянная.Из теоремы 1.1 получаем следующий результат. Теорема 1.3. Пусть ε – вещественное число с условием 0<ε<1. Тогда существует постоянная C(ε)>0, зависящая только от ε, такая, что выполнено следующее. Пусть x и z – вещественные числа с условиями x⩾3 и (lnx)ε⩽z⩽x. Пусть k – натуральное число, a0,…,ak – целые числа с условиями |ai|⩽x для всех 0⩽i⩽k и ak≠0. Обозначим через δ:=(a0,…,ak) наибольший общий делитель a0,…,ak. Положим Пусть s – натуральное число. ТогдаСледствие 1.1. Пусть k – натуральное число и есть полином с целыми коэффициентами, ak≠0. Тогда существует константа C(R)>0, зависящая только от R, такая, что если s – натуральное число и x – вещественное число с условием x⩾1, тоПусть L={L1,…,Lk} – набор из k линейных функций с целыми коэффициентами Для L(n)=an+b, a,b∈Z, определим В современных приложениях метода решета возникают суммы (см., например, [1]). Здесь (a,b) – вектор, а Ω – конечное подмножество в Z2. Из теоремы 1.1 получаем следующий результат.Теорема 1.4. Пусть ε – вещественное число с условием 0<ε<1. Тогда существует постоянная C(ε)>0, зависящая только от ε, такая, что выполнено следующее. Пусть x и z – вещественные числа с условиями x⩾3 и (lnx)ε⩽z⩽x. Пусть a,b1,…,bk – целые числа такие, что a⩾1, |bi|⩽x для всех 1⩽i⩽k. Пусть также L={L1,…,Lk} – набор из k линейных функций, где Li(n)=an+bi, i=1,…,k. Для L(n)=an+b, b∈Z, определим ΔL=ak+1∏ki=1|bi−b|. Пусть s – натуральное число. Тогда Теорема 1.4 расширяет результат Мэйнарда [1; лемма 8.1], который получил аналогичный результат, но в случае s=1 и x1/10⩽z⩽x. Поскольку a/φ(a)⩽clnln(a+2), где c – положительная абсолютная постоянная, правая часть (1.2) может быть заменена на Аналогичное замечание верно и для (1.1).Напомним некоторые факты об эллиптических кривых (для более подробного обсуждения см., например, [2; гл. XXV]). Эллиптическая кривая задается уравнением вида с одним дополнительным условием: дискриминант не должен обращаться в нуль. Для удобства будем считать, что коэффициенты A и B – целые числа. Одним из свойств, делающих эллиптическую кривую E столь интересным объектом, является существование закона композиции, позволяющего “складывать” точки друг с другом. Добавим к плоскости идеальную точку O. Эта точка O называется бесконечно удаленной точкой. Закон сложения продолжается на точку O с помощью соотношений для всех точек P, лежащих на E. Для каждого простого числа p через Fp обозначим поле классов вычетов по модулю p. Положим Многократное сложение и взятие обратного по сложению элемента позволяют “умножать” точки E на произвольное целое число m. Данная функция из E в себя называется отображением умножения на m: (сумма содержит |m| слагаемых). По определению положим ϕ0(P)=O. Отображение умножения на m задается рациональными функциями. Отображения E→E, заданные рациональными функциями и переводящие O в O, называются эндоморфизмами E. Для большинства эллиптических кривых (над полем комплексных чисел C) все эндоморфизмы являются отображениями умножения на m. Кривые, обладающие дополнительными эндоморфизмами, называются кривыми с комплексным умножением.Пусть π(x) – количество простых чисел, не превосходящих x. Мы доказываем следующий результат. Теорема 1.5. Пусть E – эллиптическая кривая, заданная уравнением где A и B – целые числа с условием Δ=4A3+27B2≠0. Предположим, что E не имеет комплексного умножения. Пусть s – натуральное число и x – вещественное число с условием x⩾2. Тогда где C(E,s)>0 – константа, зависящая только от E и s.Пусть P – множество всех простых чисел. В 1934 г. Н. П. Романов доказал следующий результат. Теорема Романова (см. [3]). Пусть a – целое число, a⩾2. Тогда существует постоянная c(a)>0, зависящая только от a, такая, что для любого вещественного числа x⩾3.Мы доказываем следующий результат. Теорема 1.6. Пусть A={an}∞n=1 – последовательность натуральных чисел (не обязательно различных). Определим Предположим, что \operatorname{ord}_{A}(n)<+\infty для любого натурального n. Предположим также, что существуют константы \gamma_{1}>0, \gamma_{2}>0, \alpha>0, x_{0}\geqslant 10 такие, что выполнено следующее. Для любого вещественного x\geqslant x_0 справедливы неравенства
\begin{equation}
\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}\sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}} \frac{\#\{j\in\mathbb{N}\colon a_{k}< a_j \leqslant x \textit{ и } a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\}\ln p}{p}\leqslant \gamma_2 (N_{A}(x))^2.
\end{equation}
\tag{1.6}
Для любого натурального числа n положим
\begin{equation*}
r(n)=\#\{(p,j)\in \mathbb{P} \times\mathbb{N}\colon p+a_j=n\}.
\end{equation*}
\notag
Тогда существуют константы c_1 = c_{1}(\gamma_{1})>0 и c_2=c_{2}(\gamma_1, \gamma_2, \alpha)>0, зависящие только от \gamma_1 и \gamma_1, \gamma_2, \alpha соответственно, такие, что
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_{2}x\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного x\geqslant x_0. В частности,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\{1\leqslant n \leqslant x\colon \textit{существуют }p\in \mathbb{P}\textit{ и }j\in \mathbb{N}\textit{ такие, что }p+a_j = n\} \\ &\qquad\geqslant c_{2}x\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного x\geqslant x_0. Отметим, что теорема Романова следует из теоремы 1.6. Из теоремы 1.6 получаем следующий результат. Теорема 1.7. Пусть k – целое число, k\geqslant 2, и есть полином с целыми коэффициентами, a_k>0. Для любого натурального n положим
\begin{equation*}
r(n)=\#\{(p, j)\in \mathbb{P}\times\mathbb{N}\colon p+R(j)=n\}.
\end{equation*}
\notag
Тогда существуют константы c_1>0, c_2>0, x_0>0, зависящие только от R, такие, что
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_1 \frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_2 x
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного x\geqslant x_0. Следствие 1.2. Пусть k – целое число с условием k\geqslant 2. Для любого натурального n положим
\begin{equation*}
r(n)=\#\{(p,j)\in \mathbb{P}\times\mathbb{N}\colon p+j^k=n\}.
\end{equation*}
\notag
Тогда существуют постоянные c_1(k)>0 и c_2(k)>0, зависящие только от k, такие, что
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_1(k) \frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_2(k) x
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного x\geqslant 3. В частности,
\begin{equation}
\#\{1\leqslant n \leqslant x\colon \textit{существуют }p\in \mathbb{P}\textit{ и }j\in \mathbb{N} \textit{ такие, что } p+j^k = n\}\geqslant c_2(k)x
\end{equation}
\tag{1.7}
для любого вещественного x\geqslant 3. Следствие 1.2 расширяет результат Романова, который доказал только неравенство (1.7). Теорема 1.8. Пусть E – эллиптическая кривая, заданная уравнением y^2=x^3+Ax+B, где A и B – целые числа с условием \Delta=4A^3+27B^2\neq 0. Пусть E не имеет комплексного умножения. Для любого натурального n положим
\begin{equation*}
r(n)=\#\{(p, q)\in \mathbb{P}^{2}\colon p+\#E(\mathbb{F}_q)=n\}.
\end{equation*}
\notag
Тогда существуют постоянные x_0>0, c_1>0, c_2(E)>0, где x_0 и c_1 – абсолютные постоянные, c_2(E) – постоянная, зависящая только от E, такие, что
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n\leqslant x\colon r(n)\geqslant c_1\frac{x}{(\ln x)^{2}}\biggr\}\geqslant c_{2}(E)x
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного x\geqslant x_0. Теорема 1.9. Пусть a и b – целые числа с условиями a\geqslant 2 и b\geqslant 2. Тогда существуют положительные константы c_1 (a,b) и c_2(a,b), зависящие только от a и b, такие, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &c_1(a,b)\frac{x}{(\ln x)^{1-1/b}} \\ &\qquad\leqslant \#\{1\leqslant n \leqslant x\colon \textit{существуют }p\in \mathbb{P}\textit{ и } j\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}\textit{ такие, что }p+ a^{j^{b}}=n\} \\ &\qquad\leqslant c_2(a,b)\frac{x}{(\ln x)^{1-1/b}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного x\geqslant 3. § 2. ОбозначенияБуквами p и q будем обозначать простые числа. В частности, сумму \sum_{p\leqslant K} следует понимать как сумму по всем простым числам, не превосходящим K. Через \pi(x) обозначим количество простых чисел, не превосходящих x. Запись \#A означает количество элементов конечного множества A. Через \mathbb{Z}, \mathbb{Z}_{\geqslant 0}, \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} и \mathbb{C} мы обозначаем множества целых чисел, неотрицательных целых чисел, натуральных чисел, рациональных чисел, вещественных и комплексных чисел соответственно. Через \mathbb{P} обозначим множество всех простых чисел. Пусть (a,b) – это наибольший общий делитель целых чисел a и b, а [a,b] – наименьшее общее кратное a и b. Если d делит b-a, то мы говорим, что b сравнимо с a по модулю d и пишем b \equiv a\ (\operatorname{mod} d). Через \varphi обозначим функцию Эйлера, т. е. \varphi(n)=\#\{1\leqslant m \leqslant n\colon (m,n)=1\}. Пусть \nu(n) – количество различных простых делителей числа n, а \tau(n) – число положительных делителей числа n. Через P^{+}(n) обозначим наибольший простой делитель числа n, а через P^{-}(n) – наименьший простой делитель числа n (по определению полагаем P^{+}(1)=1, P^{-}(1)=+\infty). Символом \mathcal{M} обозначим множество чисел, свободных от квадратов, т. е. число 1 и натуральные числа вида p_1\cdots p_l, где p_1, \dots, p_{l} – различные простые. По определению полагаем Символ {b\mid a} означает, что b делит a. Для фиксированного a сумму \sum_{b\mid a} и произведение \prod_{b\mid a} следует понимать как сумму и произведение по всем положительным делителям a. Если x – вещественное число, то [x] означает его целую часть, а \lceil x\rceil – наименьшее целое число n такое, что n\geqslant x. Положим также \log_{a}x:=\ln x/\ln a.Для вещественных чисел x, y мы также будем использовать символ (x,y) для обозначения открытого интервала и [x,y] для обозначения отрезка. Кроме того, через (a_1,\dots, a_n) также будем обозначать вектор. Смысл обозначения будет ясен из контекста. § 3. Доказательства Доказательство. Положим \Omega = \{p\colon p\mid n\text{ и }p>y\}. Рассмотрим два случая.
1) Пусть \Omega=\varnothing. Так как n>1, имеем \nu(n)\geqslant 1. Получаем
\begin{equation*}
\prod_{p\mid n\colon p>y}\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)=\prod_{\varnothing} = 1 \leqslant \exp\frac{\nu(n)}{y}.
\end{equation*}
\notag
2) Предположим, что \Omega\neq\varnothing. Пользуясь неравенством 1+x\leqslant e^{x}, x\in \mathbb{R}, получаем
\begin{equation*}
\prod_{p\mid n\colon p>y}\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\leqslant \exp\biggl(\sum_{p\mid n\colon p>y} \frac{1}{p}\biggr)\leqslant \exp\frac{\nu(n)}{y}.
\end{equation*}
\notag
Лемма 3.1 доказана. Доказательство. Если n=1, то произведение равно 1 и утверждение верно. Пусть n>1. Ясно, что Применяя лемму 3.1 с y=\ln n и неравенство (3.1), получаем
\begin{equation*}
\prod_{p\mid n\colon p>\ln n}\biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\leqslant \exp\frac{\nu(n)}{\ln n} \leqslant \exp\frac1{\ln 2}< 5.
\end{equation*}
\notag
Лемма 3.2 доказана. Лемма 3.3. Пусть \alpha – вещественное число, 0<\alpha < 1. Тогда существует константа C(\alpha)>0, зависящая только от \alpha, такая, что если n – натуральное число, то Доказательство. Можем считать, что n\geqslant \exp(2^{1/\alpha}). Ниже \zeta (s) означает дзета-функцию Римана. Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{n}{\varphi(n)} &= \prod_{p\mid n} \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}=\prod_{p\mid n} \frac{p}{p-1}=\prod_{p\mid n} \frac{p}{p-1} \frac{p}{p+1}\frac{p+1}{p} \\ &\leqslant \prod_{p\mid n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-2}} =\zeta(2)\prod_{p\mid n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)=\frac{\pi^2}{6} \prod_{p\mid n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \\ &= \frac{\pi^2}{6} \prod_{p\mid n\colon p\leqslant (\ln n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\prod_{p\mid n\colon (\ln n)^{\alpha}< p\leqslant \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\prod_{p\mid n\colon p> \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Согласно лемме 3.2, последнее произведение не превосходит 5. Известно (см., например, [4; гл. 1]), что
\begin{equation}
B_1 \ln x \leqslant \prod_{p\leqslant x} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)\leqslant B_2\ln x,\qquad x\geqslant 2,
\end{equation}
\tag{3.2}
где B_1 >0 и B_2>0 – абсолютные постоянные. Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\prod_{p\mid n\colon (\ln n)^{\alpha}< p\leqslant \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \leqslant \prod_{(\ln n)^{\alpha}< p\leqslant \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \\ &\qquad=\prod_{p\leqslant \ln n} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \biggm/ \prod_{ p\leqslant (\ln n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \leqslant \frac{B_2 \ln\ln n}{B_1\ln(\ln n)^{\alpha}}= \frac{B_2 \ln\ln n}{B_1 \alpha \ln\ln n}=\frac{B}{\alpha}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\frac{n}{\varphi(n)}\leqslant \frac{5\pi^2B}{6\alpha}\prod_{p\mid n\colon p\leqslant (\ln n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)= C(\alpha)\prod_{p\mid n\colon p\leqslant (\ln n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Лемма 3.3 доказана. Продолжим доказательство теоремы 1.1. Можно считать, что M\,{\geqslant} \exp (2^{1/\alpha}). Положим
\begin{equation*}
y=(\ln M)^{\alpha}\quad\text{и}\quad S=\sum_{n=1}^{N}\biggl(\frac{a_n}{\varphi (a_n)}\biggr)^s.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что y\geqslant 2. Пусть 1\leqslant n \leqslant N. Согласно лемме 3.3 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{a_n}{\varphi (a_n)} &\leqslant C(\alpha) \prod_{p\mid a_n\colon p\leqslant (\ln a_n)^{\alpha}} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr) \\ &\leqslant C(\alpha) \prod_{p\mid a_n\colon p\leqslant y} \biggl(1+\frac{1}{p}\biggr)= C(\alpha)\sum_{\substack{d\mid a_n:\\d\in \mathcal{M},\,P^{+}(d)\leqslant y}}\frac{1}{d}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S&\leqslant (C(\alpha))^s\sum_{1\leqslant n \leqslant N}\biggl(\sum_{\substack{d_1\mid a_n:\\d_{1}\in \mathcal{M},\,P^{+}(d_{1})\leqslant y}}\frac{1}{d_1}\biggr)\cdots \biggl(\sum_{\substack{d_s\mid a_n:\\ d_{s}\in \mathcal{M},\,P^{+}(d_{s})\leqslant y}}\frac{1}{d_s}\biggr) \\ &=(C(\alpha))^s\sum_{1\leqslant n \leqslant N}\sum_{\substack{d_1\mid a_n,\dots,d_s\mid a_n \\d_1,\dots,d_s \in \mathcal{M}\\ P^{+}(d_1)\leqslant y,\,\dots,\,P^{+}(d_s)\leqslant y}} \frac{1}{d_1\cdots d_s} \\ &\leqslant (C(\alpha))^s\sum_{\substack{1\leqslant d_1 \leqslant M\\ P^{+}(d_1)\leqslant y\\ d_1\in \mathcal{M}}}\cdots \sum_{\substack{1\leqslant d_s \leqslant M\\ P^{+}(d_s)\leqslant y\\ d_s\in \mathcal{M}}} \frac{1}{d_1\cdots d_s}\sum_{\substack{1\leqslant n \leqslant N:\\ d_1\mid a_n,\dots,\,d_s\mid a_n}} 1 \\ &=(C(\alpha))^s\sum_{\substack{1\leqslant d_1 \leqslant M\\ P^{+}(d_1)\leqslant y\\ d_1\in \mathcal{M}}}\cdots \sum_{\substack{1\leqslant d_s \leqslant M\\ P^{+}(d_s)\leqslant y\\ d_s\in \mathcal{M}}} \frac{\omega([d_1,\dots, d_s])}{d_1\cdots d_s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Заметим, что если d и d' – натуральные числа и d'\mid d, то Пусть d_1,\dots, d_s – целые числа такие, что 1\leqslant d_i \leqslant M, P^{+}(d_i)\leqslant y, d_i\in \mathcal{M} для всех 1\leqslant i \leqslant s. Поскольку то справедливо неравенство
\begin{equation*}
\omega([d_1,\dots, d_s]) \leqslant \omega\bigl(P^{+}([d_1,\dots, d_s])\bigr).
\end{equation*}
\notag
Так как получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S&\leqslant(C(\alpha))^s\sum_{\substack{1\leqslant d_1 \leqslant M\\ P^{+}(d_1)\leqslant y\\ d_1\in \mathcal{M}}}\dots \sum_{\substack{1\leqslant d_s \leqslant M\\ P^{+}(d_s)\leqslant y\\ d_s\in \mathcal{M}}} \frac{\omega(P^{+}(d_1\cdots d_s))}{d_1\cdots d_s} \notag \\ &\leqslant (C(\alpha))^s\sum_{\substack{d_{1}\in \mathcal{M}:\\P^{+}(d_1)\leqslant y}}\cdots \sum_{\substack{d_s\in \mathcal{M}\colon\\P^{+}(d_s)\leqslant y}} \frac{\omega(P^{+}(d_1\cdots d_s))}{d_1\cdots d_s}= (C(\alpha))^s S'. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
Видно, что где
\begin{equation*}
S_{p}=\sum_{\substack{d_{1},\dots, d_{s}\in \mathcal{M}:\\ P^{+}(d_{1})\leqslant p,\, \dots, \, P^{+}(d_{s})\leqslant p,\\ \text{и }\exists\, \tau\colon p\mid d_{\tau}}} \frac{1}{d_{1}\cdots d_{s}}.
\end{equation*}
\notag
Для простого числа p с условием p\leqslant y и целого \tau такого, что 1\leqslant \tau \leqslant s, положим
\begin{equation*}
S_{p}(\tau)=\sum_{\substack{d_{1},\dots, d_{s}\in \mathcal{M}:\\ P^{+}(d_{1})\leqslant p,\,\dots,\, P^{+}(d_{s})\leqslant p,\\ \text{и } p\mid d_{\tau}}} \frac{1}{d_{1}\cdots d_{s}}.
\end{equation*}
\notag
Применяя (3.2), получаем (произведение здесь берется по простым q)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{p}(\tau) &\leqslant \frac{1}{p}\sum_{\substack{d_{1},\dots, d_{s}\in \mathcal{M}:\\ P^{+}(d_{1})\leqslant p,\, \dots,\, P^{+}(d_{s})\leqslant p}} \frac{1}{d_{1}\cdots d_{s}}= \frac{1}{p} \Biggl(\sum_{\substack{d\in \mathcal{M}:\\ P^{+}(d)\leqslant p}}\frac{1}{d}\Biggr)^s \\ &=\frac{1}{p}\biggl(\prod_{q\leqslant p}\biggl(1+\frac{1}{q}\biggr)\biggr)^s\leqslant \frac{(B_{2}\ln p)^s}{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Видно, что Отсюда выводим
\begin{equation*}
S_{p} \leqslant s \frac{(B_{2}\ln p)^s}{p}\leqslant \frac{(2B_{2}\ln p)^s}{p}.
\end{equation*}
\notag
Можем считать, что 2B_{2}\geqslant 1. Применяя (3.4) и учитывая, что \omega(1)=N и y=(\ln M)^{\alpha}, получаем
\begin{equation*}
S'\leqslant (2B_{2})^s\biggl(N+\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\omega(p)(\ln p)^s}{p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Согласно (3.3) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S &\leqslant \bigl(2B_{2}C(\alpha)\bigr)^s\biggl(N+\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\omega(p)(\ln p)^s}{p}\biggr) \\ &=\bigl( \widetilde{C}(\alpha)\bigr)^s \biggl(N+\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\omega(p)(\ln p)^s}{p}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \widetilde{C}(\alpha)>0 – константа, зависящая только от \alpha. Теорема 1.1 доказана. Доказательство теоремы 1.2. Выберем константу M_0>0, зависящую от последовательности \alpha(M), позднее; данная константа будет велика. Потребуем пока, чтобы M_0 удовлетворяла следующим условиям: M_0 \geqslant 100 и
\begin{equation*}
\alpha(M)\leqslant \frac12,\qquad (\ln M)^{\alpha(M)}\leqslant \frac{\ln M}4
\end{equation*}
\notag
для любого M\geqslant M_0. Пусть M\geqslant M_0. Положим Тогда 2\leqslant y \leqslant z/2. Определим
\begin{equation*}
A=\{1\leqslant n \leqslant M\colon p\mid n\text{ для любого }p\in (y,z]\text{ и }p\nmid n\text{ для любого } p\leqslant y\}.
\end{equation*}
\notag
Положим Имеем
\begin{equation*}
\ln Q=\sum_{y<p\leqslant z} \ln p= \theta(z) - \theta(y),\quad \text{где}\quad\theta(x)=\sum_{p\leqslant x}\ln p.
\end{equation*}
\notag
Поскольку (см., например, [4; гл. 3]) то существует абсолютная постоянная c_1>0 такая, что \theta (x) \geqslant x/2 для всех x\,{\geqslant}\, c_1. Мы можем считать, что M_0 > \exp (2 c_1); следовательно, z=(\ln M)/2\,{\geqslant}\, c_1 и поэтому \theta (z)\geqslant z/2 = (\ln M)/4. Из (3.5) следует, что \theta(x)\leqslant b x для всех x\geqslant 2, где b>0 – абсолютная постоянная. Так как y\geqslant 2, получаем
\begin{equation*}
\theta (y) \leqslant b y = b (\ln M)^{\alpha (M)}\leqslant b (\ln M)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
\ln Q\geqslant \frac{\ln M}{4} - b (\ln M)^{1/2}\geqslant 100,
\end{equation*}
\notag
если M_0 выбрано достаточно большим. В частности, получаем \Omega = \{p\colon y< p \leqslant z\}\neq \varnothing и Q\geqslant 100. Из (3.5) следует, что существует абсолютная постоянная c_2>0 такая, что \theta (x) \leqslant (3/2)x для всех x\geqslant c_2. Мы можем считать, что M_0 > \exp(2c_2) и, значит, z=(\ln M)/2 \geqslant c_2. Таким образом,
\begin{equation*}
\ln Q\leqslant \theta (z)\leqslant \frac{3}{2}\,z=\frac{3}{4}\ln M=\ln M^{3/4}.
\end{equation*}
\notag
Получаем Мы видим, что Q\in A и, следовательно, A\neq\varnothing.
Таким образом, A\subset\{1,\dots, M\}, A\neq \varnothing и для любого простого p\leqslant y=(\ln M)^{\alpha(M)}. Если n\in A, то n>1, так как Q\mid n и Q\geqslant100.Пусть n\in A. Тогда
\begin{equation*}
\frac{n}{\varphi (n)}=\prod_{p\mid n}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\geqslant\prod_{y<p\leqslant z}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}=\prod_{p\leqslant z}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\biggm/ \prod_{p\leqslant y}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
Так как
\begin{equation*}
D_1 \ln x\leqslant \prod_{p \leqslant x} \biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1}\leqslant D_2 \ln x,\qquad x\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
где D_1 >0 и D_2 >0 – абсолютные постоянные, и 2 \leqslant y \leqslant z/2< z, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{p\leqslant y}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1} &\leqslant D_2 \ln y= D_2\alpha(M)\ln\ln M, \\ \prod_{p\leqslant z}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)^{-1} &\geqslant D_1 \ln z= D_1 \ln \biggl(\frac{1}{2}\ln M\biggr)\geqslant \frac{D_1}{2}\ln\ln M. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\frac{n}{\varphi(n)}\geqslant \frac{(D_1/2)\ln\ln M}{D_2 \alpha(M)\ln\ln M}=\frac{c}{\alpha(M)}.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\sum_{n\in A}\frac{n}{\varphi (n)}\geqslant \frac{c}{\alpha (M)} \#A,
\end{equation*}
\notag
где c>0 – абсолютная постоянная. Теорема 1.2 доказана. Доказательство теоремы 1.3. Согласно условию
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R(n)=a_k n^k+\dots+ a_0,\qquad a_k\neq 0,\quad \delta=(a_0,\dots,a_k), \\ |a_i|\leqslant x,\quad i=0,\dots, k,\qquad (\ln x)^{\varepsilon} \leqslant z \leqslant x,\quad x\geqslant2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Положим Предположим, что \Omega \neq \varnothing. Оценим сверху величину
\begin{equation*}
S =\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi (|R(n)|)}\biggr)^s.
\end{equation*}
\notag
Положим Тогда
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{R}(n)=\widetilde{a}_{k}n^k+\dots+\widetilde{a}_0,\qquad (\widetilde{a}_{0},\dots, \widetilde{a}_k) = 1, \\ |\widetilde{a}_{i}|\leqslant x,\qquad i=0,\dots, k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Поскольку \varphi (mn)\geqslant \varphi(m)\varphi(n) для всех натуральных m и n, получаем
\begin{equation}
S=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{\delta|\widetilde{R}(n)|}{\varphi (\delta|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s\leqslant \biggl(\frac{\delta}{\varphi(\delta)}\biggr)^s\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi (|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s= \biggl(\frac{\delta}{\varphi(\delta)}\biggr)^s \widetilde{S}.
\end{equation}
\tag{3.6}
Пусть n\in \Omega. Поскольку |\widetilde{a}_i|\leqslant x, |n|\leqslant z\leqslant x и x\geqslant 2, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\widetilde{R}(n)|&=|\widetilde{a}_k n^k+\dots+\widetilde{a}_0|\leqslant x(1+x+\dots+ x^k) \\ &=x\frac{x^{k+1}-1}{x-1}\leqslant x\frac{x^{k+1}}{x/2}= 2 x^{k+1}\leqslant x^{k+2}\leqslant x^{3k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пусть M= x^{3k}. Мы установили, что для n\in\Omega выполнено |\widetilde{R}(n)| \leqslant M.
Пусть c(\varepsilon)>0 таково, что выполнено следующее: i) c(\varepsilon)\geqslant 30; ii) \ln x \geqslant 2^{4/\varepsilon} для x\geqslant c(\varepsilon); iii) \bigl(3 (\ln x)^2\bigr)^{\varepsilon/4} \leqslant (\ln x)^{\varepsilon} для x\geqslant c(\varepsilon). Пусть x \geqslant c(\varepsilon). Рассмотрим два случая. 1) Пусть k\geqslant \ln x. Если n\in \Omega, то
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &\leqslant \frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi(|\widetilde{R}(n)|)} \leqslant c\ln\ln(|\widetilde{R}(n)|+2)\leqslant c\ln\ln(x^{3k}+2)\leqslant c\ln\ln(x^{4k}) \\ &=c(\ln k+ \ln\ln x+ \ln 4)\leqslant c(\ln k+ 3\ln\ln x)\leqslant c(4 \ln k)=c_1 \ln k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi(|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s \leqslant (c_1 \ln k)^s \# \Omega.
\end{equation*}
\notag
Напомним, что (\ln x)^{\varepsilon} \leqslant z \leqslant x и, следовательно, z\geqslant 1. Поскольку
\begin{equation*}
\# \Omega = \#\{ -z\leqslant n \leqslant z\colon \widetilde{R}(n)\neq 0\}\leqslant 2z+1 \leqslant 3z,
\end{equation*}
\notag
имеем \widetilde{S}\leqslant (c_2 \ln k)^s z. Так как S\leqslant (\delta/\varphi(\delta))^s\widetilde{S}, получаем
\begin{equation*}
S=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s \leqslant \biggl(c_2\frac{\delta}{\varphi(\delta)}\ln k\biggr)^s z.
\end{equation*}
\notag
2) Пусть k< \ln x. Тогда Возьмем \alpha = \varepsilon/4. Пользуясь условиями для c(\varepsilon), получаем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \ln M =3 k\ln x\geqslant 3 \ln x \geqslant 2^{1/\alpha}, \\ 2\leqslant (\ln M)^{\alpha}\leqslant \bigl(3(\ln x)^2\bigr)^{\alpha}= \bigl(3(\ln x)^2\bigr)^{\varepsilon / 4}\leqslant(\ln x)^{\varepsilon}\leqslant z. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Определим для любого натурального d
\begin{equation*}
\omega(d)=\#\{n\in \Omega\colon \widetilde{R}(n)\equiv 0\ (\operatorname{mod}d)\}.
\end{equation*}
\notag
Пусть p – простое число. Тогда
\begin{equation*}
\omega(p)\leqslant \#\{-z\leqslant n\leqslant z\colon \widetilde{R}(n)\equiv 0\ (\operatorname{mod}p)\}.
\end{equation*}
\notag
Так как (\widetilde{a}_0,\dots, \widetilde{a}_k)=1, то существует число \widetilde{a}_i такое, что \widetilde{a}_i\not \equiv 0\ (\operatorname{mod}p). Таким образом, число решений сравнения не превосходит k. Ясно также, что число решений не превосходит p. Следовательно, число решений сравнения (3.7) не превосходит \min (p,k). Пусть m_1<\dots< m_t – все числа из набора \{1,\dots, p\}, удовлетворяющие сравнению (3.7) (следовательно, t\leqslant \min (p,k)). Пусть 1 \leqslant j \leqslant t. Имеем
\begin{equation*}
\#\{-z\leqslant n\leqslant z\colon n\equiv m_j\ (\operatorname{mod}p)\}\leqslant \frac{2z}{p}+1.
\end{equation*}
\notag
Получаем Если p\leqslant (\ln M)^{\alpha}, то p\leqslant z. Следовательно, для любого p\leqslant(\ln M)^{\alpha}. Применяя теорему 1.1, получаем
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi(|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s\leqslant (C(\alpha))^s \biggl(\#\Omega +\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\omega(p) (\ln p)^s}{p}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Поскольку \alpha=\varepsilon /4, видим, что C(\alpha)=C(\varepsilon)>0 – константа, зависящая только от \varepsilon. Применяя неравенство (3.8) и учитывая, что \#\Omega \leqslant 2z+1 \leqslant 3z, получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{S} &=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|\widetilde{R}(n)|}{\varphi(|\widetilde{R}(n)|)}\biggr)^s \leqslant (C(\varepsilon))^s \biggl(3z +\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\alpha}}\frac{\min(p,k) 3z (\ln p)^s}{p^2}\biggr) \notag \\ &\leqslant (C(\varepsilon))^s \biggl(3z +\sum_{p}\frac{\min(p,k) 3z (\ln p)^s}{p^2}\biggr)= (C(\varepsilon))^s 3z \biggl(1 +\sum_{p}\frac{\min(p,k) (\ln p)^s}{p^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
Доказательство. Положим Тогда
Применим индукцию по s. Если s=1, то \Gamma(1,x)=e^{-x} и (3.10) верно. Пусть s\geqslant 2 и наше утверждение верно для s-1. Тогда равенство (3.11) и предположение индукции дают
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma(s,x)&=x^{s-1}e^{-x}+(s-1)\Gamma(s-1,x)\leqslant x^{s-1}e^{-x} + (s-1)(s-1)!\, x^{s-2}e^{-x} \\ &=s!\, x^{s-1}e^{-x}\biggl(\frac{1}{s!}+ \frac{1-1/s}{x}\biggr)\leqslant s!\, x^{s-1}e^{-x} \biggl(1 -\frac{1}{s}+\frac{1}{s!} \biggr) \leqslant s!\, x^{s-1}e^{-x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
поскольку x\geqslant 1. Отсюда и следует требуемое утверждение. Лемма 3.4 доказана. Лемма 3.5. Пусть k и s – натуральные числа. Тогда
\begin{equation}
\sum_{p\leqslant k}\frac{(\ln p)^s}{p} \leqslant c (\ln k)^s,
\end{equation}
\tag{3.12}
\begin{equation}
\sum_{p>k}\frac{(\ln p)^s}{p^2} \leqslant c s!\, \frac{(\ln (k+2))^{s-1}}{k},
\end{equation}
\tag{3.13}
где c – положительная абсолютная постоянная. Доказательство. Для любого натурального n положим
\begin{equation*}
a_{n}= \begin{cases} (\ln n)^s, &\text{если }n\in \mathbb{P}, \\ 0 &\text{иначе}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Положим Для любого вещественного числа x\geqslant 2 имеем
\begin{equation*}
A(x)=\sum_{p\leqslant x} (\ln p)^s\leqslant (\ln x)^s\pi(x)\leqslant (\ln x)^s c\,\frac{x}{\ln x}= c x (\ln x)^{s-1},
\end{equation*}
\notag
где c – положительная абсолютная постоянная. Поскольку A(x)=0 для 1\leqslant x < 2, получаем A(x) \leqslant c x (\ln x)^{s-1} при x\geqslant 1.
1. Докажем сначала оценку (3.12). Обозначим сумму из (3.12) через S_1. Пусть k \geqslant 2. Положим f(x)=1/x. Применяя суммирование по частям (см., например, [5; теорема 2.1.1]), получаем
\begin{equation*}
S_{1}=\sum_{n\leqslant k} a_{n}f(n)= A(k)f(k) - \int_{1}^{k} A(x)f'(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
Имеем
\begin{equation*}
A(k)f(k)\leqslant c (\ln k)^{s-1}\leqslant c\, \frac{\ln k}{\ln 2}(\ln k)^{s-1} \leqslant 2c (\ln k)^s
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\int_{1}^{k}A(x)f'(x)\, dx &= \int_{1}^{k}\frac{A(x)}{x^{2}}\,dx\leqslant c\int_{1}^{k} \frac{(\ln x)^{s-1}}{x}\, dx \\ &=c\int_{0}^{\ln k} t^{s-1}\, dt= \frac{c}{s} (\ln k)^s\leqslant c (\ln k)^s. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда выводим S_{1} \leqslant (3c) (\ln k)^s.
Наконец, если k=1, то S_{1}= 0, и предыдущее неравенство также выполняется. Неравенство (3.12) доказано. 2. Докажем теперь (3.13). Обозначим сумму из (3.13) через S_{2}. Положим f(x)=1/x^{2}. Применяя суммирования по частям, имеем
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant u} a_{n}f(n) = A(u)f(u) - \int_{1}^{u}A(x)f'(x)\, dx
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного u\geqslant 1. Поскольку A(u)f(u)\to 0 при u\to +\infty, получаем
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}f(n)= - \int_{1}^{+\infty} A(x)f'(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
Кроме того, имеем
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant k}a_{n}f(n)= A(k)f(k) - \int_{1}^{k}A(x)f'(x)\, dx.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{2}&=\sum_{n\geqslant k+1} a_{n}f(n)= - \int_{k}^{+\infty} A(x)f'(x)\, dx - A(k)f(k) \leqslant- \int_{k}^{+\infty} A(x)f'(x)\, dx \\ &= 2\int_{k}^{+\infty}\frac{A(x)}{x^{3}}\, dx\leqslant 2c\int_{k}^{+\infty}\frac{(\ln x)^{s-1}}{x^{2}}\,dx = 2 c \int_{\ln k}^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\, dt= 2c I_{k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если k\geqslant 3, то из леммы 3.4 получаем
\begin{equation*}
I_{k}\leqslant s!\, (\ln k)^{s-1} e^{-\ln k}=s!\, \frac{(\ln k)^{s-1}}{k}\leqslant s!\, \frac{(\ln (k+2))^{s-1}}{k}
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
I_{k} \leqslant \int_{0}^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\, dt= \Gamma(s)= (s-1)!\leqslant s!\, 2 \frac{(\ln (k+2))^{s-1}}{k}
\end{equation*}
\notag
при k\in \{1, 2\}. Отсюда видим, что для любого натурального k. Получаем и неравенство (3.13) доказано. Лемма 3.5 доказана. Можем считать, что c\geqslant 1, где c – постоянная из леммы 3.5. Применяя лемму 3.5 и учитывая, что \ln (k+2) \leqslant 2 \ln (k+1), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{p\leqslant k}\frac{(\ln p)^s}{p} &\leqslant c \bigl(\ln k\bigr)^s \leqslant c \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s \leqslant c^s \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s \leqslant c^s s!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s, \\ k\sum_{p>k}\frac{(\ln p)^s}{p^2} &\leqslant c s!\, \bigl(\ln (k+2)\bigr)^{s-1}\leqslant c s!\, \bigl(\ln (k+2)\bigr)^s\leqslant c s!\, 2^s \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s \\ &\leqslant (2c)^s s! \, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поскольку c^s+(2c)^s\leqslant 2 (2c)^s\leqslant (4c)^s, имеем
\begin{equation*}
\sum_{p}\frac{\min(p,k) (\ln p)^s}{p^2}= \sum_{p\leqslant k}\frac{(\ln p)^s}{p}+k\sum_{p>k}\frac{(\ln p)^s}{p^2} \leqslant (4c)^s s! \, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s.
\end{equation*}
\notag
Так как
\begin{equation*}
1\leqslant \bigl(\ln (k+2)\bigr)^s\leqslant 2^s\bigl(\ln (k+1)\bigr)^s\leqslant (2c)^ss!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s,
\end{equation*}
\notag
получаем
\begin{equation}
1+ \sum_{p}\frac{\min(p,k) (\ln p)^s}{p^2}\leqslant (8c)^ss!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s.
\end{equation}
\tag{3.14}
Согласно (3.9) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde{S}&\leqslant (C(\varepsilon))^s 3z (8c)^ss!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s\leqslant (24c C(\varepsilon))^s z s!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s \\ &=(C_{1}(\varepsilon))^s z s!\, \bigl(\ln (k+1)\bigr)^s, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где C_{1}(\varepsilon)>0 – постоянная, зависящая только от \varepsilon. В силу (3.6) получаем
\begin{equation*}
S=\sum_{n\in \Omega} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s\leqslant \biggl( C_1(\varepsilon)\frac{\delta}{\varphi(\delta)} \ln (k+1)\biggr)^ss!\, z.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, теорема 1.3 в случае x\geqslant c(\varepsilon) доказана. Так как n/\varphi(n) \leqslant c \ln\ln (n+2), утверждение теоремы в случае 3 \leqslant x< c(\varepsilon) тривиально. Теорема 1.3 доказана. Доказательство следствия 1.1. Положим Ясно, что x_{0}(R) – положительная постоянная, зависящая только от R. Предположим, что x\geqslant x_{0}(R). Применяя теорему 1.3 с \varepsilon=1/2 и z=x, получаем
\begin{equation*}
\sum_{\substack{-x \leqslant n \leqslant x\\ R(n)\neq 0}} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s\leqslant \biggl(C(1/2)\frac{\delta}{\varphi(\delta)}\ln (k+1)\biggr)^ss!\, x= (c_{1}(R))^ss!\, x,
\end{equation*}
\notag
где \delta=(a_{0},\dots, a_k) и c_{1}(R)= C(1/2)(\delta/\varphi(\delta))\ln (k+1) – положительная константа, зависящая только от R.
Предположим, что 1\,{\leqslant}\, x\,{<}\, x_{0}(R). Пусть \Omega\,{=}\,\{n\colon -x \,{\leqslant}\, n \,{\leqslant}\, x\text{ и } R(n)\,{\neq}\,0\}\,{\neq}\,\varnothing. Положим
\begin{equation*}
m(R)=\max_{-x_{0}(R)\leqslant n \leqslant x_{0}(R)} |R(n)|+10.
\end{equation*}
\notag
Ясно, что m(R) – положительная постоянная, зависящая только от R. Для каждого целого n такого, что -x_{0}(R)\leqslant n \leqslant x_{0}(R) и R(n)\neq 0, имеем
\begin{equation*}
\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)} \leqslant |R(n)|\leqslant m(R).
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S&=\sum_{\substack{-x \leqslant n \leqslant x\\ R(n)\neq 0}} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s\leqslant \sum_{\substack{-x_{0}(R) \leqslant n \leqslant x_{0}(R)\\ R(n)\neq 0}} \biggl(\frac{|R(n)|}{\varphi(|R(n)|)}\biggr)^s \\ &\leqslant (m(R))^s (2 x_{0}(R)+1)\leqslant \bigl(3x_{0}(R)m(R)\bigr)^s s!\, x= (c_{2}(R))^s s!\, x, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c_{2}(R)= 3x_{0}(R)m(R) – положительная постоянная, зависящая только от R. Если \Omega = \varnothing, то S=0. Таким образом, утверждение верно для C(R)=\max (c_{1}(R), c_{2}(R)). Следствие 1.1 доказано. Доказательство теоремы 1.4. Предположим, что x\geqslant c(\varepsilon), где c(\varepsilon) – положительная постоянная, зависящая только от \varepsilon; мы выберем число c(\varepsilon) позднее, оно будет достаточно велико.
Предположим, что \Omega:=\{-z \leqslant b\leqslant z\colon \Delta_{L}\neq 0\}\neq \varnothing. Положим \Delta (b):= \prod_{i=1}^{k} |b_i - b|. Имеем
\begin{equation*}
\frac{\Delta_{L}}{\varphi (\Delta_{L})}\leqslant \frac{a^{k+1} \Delta (b)}{\varphi(a^{k+1})\varphi (\Delta(b))}= \frac{a}{\varphi(a)}\, \frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta(b))}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta_{L}}{\varphi (\Delta_{L})}\biggr)^s \leqslant \biggl(\frac{a}{\varphi(a)}\biggr)^s \sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta (b)}{\varphi (\Delta (b))}\biggr)^s.
\end{equation}
\tag{3.15}
Для того чтобы оценить последнюю сумму в (3.15), применим теорему 1.1 с \alpha=\varepsilon/4.
Положим
\begin{equation*}
R(n)=(n-b_1)\cdots (n-b_k)=n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\dots+ a_0.
\end{equation*}
\notag
Для любого простого p имеем
\begin{equation*}
\omega(p)=\#\{b\in \Omega\colon \Delta(b)\equiv 0\ (\operatorname{mod}p)\}\leqslant \#\{-z \leqslant b \leqslant z\colon R(b)\equiv 0\ (\operatorname{mod}p)\}.
\end{equation*}
\notag
Число решений сравнения не превосходит k, а также тривиальным образом не превосходит p. Получаем, что число решений сравнения (3.16) не превосходит \min (p,k). Пусть m_1<\dots < m_t – все числа из набора \{1,\dots, p\}, удовлетворяющие сравнению (3.16) (следовательно, t\leqslant \min (p,k)). Пусть 1 \leqslant j \leqslant t. Имеем
\begin{equation*}
\#\{-z\leqslant b \leqslant z\colon b\equiv m_j\ (\operatorname{mod} p)\}\leqslant \frac{2z}{p}+1.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation}
\omega(p) \leqslant t \biggl(\frac{2z}{p}+1\biggr)\leqslant \min (p,k) \biggl(\frac{2z}{p}+1\biggr).
\end{equation}
\tag{3.17}
Пусть b\in \Omega. Поскольку для всех 1 \leqslant i \leqslant k, получаем |R(b)| \leqslant (2x)^{k}=:M.Рассмотрим два случая. 1) Предположим, что k\geqslant \ln x. Мы можем считать, что c(\varepsilon) \geqslant 30, и поэтому x \geqslant 30. Ясно, что (2x)^{l}+2\leqslant (3x)^{l} для любого натурального l и \ln\ln (3t)\leqslant c_0 \ln\ln t для любого t\geqslant 30, где c_0 – положительная абсолютная постоянная. Пусть b\in \Omega. Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta(b))}&=\frac{|R(b)|}{\varphi(|R(b)|)}\leqslant c_{1}\ln\ln(|R(b)|+2)\leqslant c_{1}\ln\ln\bigl((2x)^{k}+2\bigr) \leqslant c_{1}\ln\ln\bigl((3x)^{k}\bigr) \\ &=c_1\bigl(\ln k+ \ln\ln (3x)\bigr)\leqslant c_1(\ln k+ c_0 \ln\ln x) \leqslant c_1(\ln k+ c_0 \ln k)=c_2 \ln k, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c_1, c_2= c_1 (1+c_0) – положительные абсолютные постоянные. Заметим, что z \geqslant (\ln x)^{\varepsilon}\geqslant 1 и, следовательно, тогда
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta (b))}\biggr)^s \leqslant (c_2 \ln k)^s\#\Omega \leqslant (c_2 \ln k)^s 3 z.
\end{equation*}
\notag
Из (3.15) получаем
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta_{L}}{\varphi(\Delta_{L})}\biggr)^s\leqslant \biggl(c \frac{a}{\varphi (a)} \ln k \biggr)^s z,
\end{equation*}
\notag
где c – положительная абсолютная постоянная.
2) Пусть k < \ln x. Выберем c(\varepsilon) так, чтобы \ln (2t)\geqslant 2^{4/\varepsilon}, (\ln (2t)\ln t)^{\varepsilon/4}\leqslant (\ln t)^{\varepsilon} для любого t\geqslant c(\varepsilon). Имеем
\begin{equation*}
\ln M = k \ln (2x) \geqslant \ln (2x)\geqslant 2^{4/\varepsilon}, \qquad (\ln M)^{\varepsilon/4}\leqslant \bigl(\ln (2x)\ln x\bigr)^{\varepsilon/4}\leqslant (\ln x)^{\varepsilon}\leqslant z.
\end{equation*}
\notag
Видно, что 2\leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}\leqslant z и, следовательно, z/p \geqslant 1 для любого простого p \leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}. Из (3.17) получаем для любого простого p \leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}. Применяя теорему 1.1, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta (b))}\biggr)^s&\leqslant (C(\varepsilon))^s \biggl(\#\Omega +\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}} \frac{\omega(p)(\ln p)^s}{p}\biggr) \\ &\leqslant (C(\varepsilon))^s \biggl(3z +\sum_{p\leqslant (\ln M)^{\varepsilon/4}} \frac{3z \min (p,k) (\ln p)^s}{p^2}\biggr) \\ &\leqslant (C(\varepsilon))^s 3z \biggl(1 +\sum_{p} \frac{\min (p,k) (\ln p)^s}{p^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Согласно (3.14) получаем
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta(b)}{\varphi(\Delta (b))}\biggr)^s\leqslant \biggl(C_{1}(\varepsilon) \ln (k+1)\biggr)^s s!\, z,
\end{equation*}
\notag
где C_{1}(\varepsilon) >0 – постоянная, зависящая только от \varepsilon. Из (3.15) получаем
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta_{L}}{\varphi(\Delta_{L})}\biggr)^s\leqslant \biggl(C_{1}(\varepsilon) \frac{a}{\varphi (a)} \ln (k+1)\biggr)^s s!\, z.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, теорема 1.4 доказана для x\geqslant c(\varepsilon).
Пусть теперь 3 \leqslant x < c(\varepsilon). Для любого b\in \Omega имеем
\begin{equation*}
|b - b_i| \leqslant |b|+|b_i| \leqslant z + x\leqslant 2x \leqslant 2 c(\varepsilon)
\end{equation*}
\notag
для всех 1 \leqslant i \leqslant k и, следовательно, \Delta (b)\leqslant (2 c(\varepsilon))^{k}. Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\Delta (b)}{\varphi (\Delta (b))} &\leqslant c \ln\ln \bigl(\Delta (b) + 2\bigr)\leqslant c \ln\ln \bigl((2 c(\varepsilon))^{k} + 2\bigr)\leqslant c \ln\ln \bigl((3 c(\varepsilon))^{k}\bigr) \\ &= c \bigl(\ln k+ \ln\ln (3 c(\varepsilon))\bigr)\leqslant c\bigl(\ln (k+1) + 2\ln\ln (3 c(\varepsilon)) \ln (k+1)\bigr) \\ &= c_{1}(\varepsilon) \ln (k+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Отсюда
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta (b)}{\varphi (\Delta (b))}\biggr)^s\leqslant \bigl(c_{1}(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s\#\Omega .
\end{equation*}
\notag
Имеем
\begin{equation*}
\# \Omega \leqslant 2z+1\leqslant 2x+1\leqslant 2 c(\varepsilon)+1\leqslant 3 c(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
Заметим, что z\geqslant 1, поскольку z \geqslant (\ln x)^{\varepsilon} и x \geqslant 3. Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta (b)}{\varphi (\Delta (b))}\biggr)^s &\leqslant \bigl(c_{1}(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s 3 c(\varepsilon) z\leqslant \bigl(c_{1}(\varepsilon) 3 c(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s z \\ &= \bigl(c_{2}(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s z\leqslant \bigl(c_{2}(\varepsilon) \ln (k+1)\bigr)^s s!\, z, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c_{2}(\varepsilon) >0 – константа, зависящая только от \varepsilon. Из (3.15) получаем
\begin{equation*}
\sum_{b\in \Omega} \biggl(\frac{\Delta_{L}}{\varphi(\Delta_{L})}\biggr)^s\leqslant \biggl(c_{2}(\varepsilon) \frac{a}{\varphi (a)} \ln (k+1)\biggr)^s s!\, z.
\end{equation*}
\notag
Доказываемое утверждение следует с C(\varepsilon)=\max(C_{1}(\varepsilon), c_{2}(\varepsilon)). Теорема 1.4 доказана. Доказательство теоремы 1.5. Для любого целого a и простого p сравнение y^{2}\equiv a\ (\operatorname{mod} p) имеет не более двух решений. Поэтому (первое неравенство следует из того, что \mathcal{O}\in E(\mathbb{F}_{p})). Неравенство
\begin{equation*}
\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\geqslant 1
\end{equation*}
\notag
выполнено для любого простого p, поэтому первое неравенство в (1.3) тривиально.
Докажем второе неравенство в (1.3). Используем следующий результат Дэвида и Ву [6; теорема 2.3, (i)]. Предположим, что эллиптическая кривая E не имеет комплексного умножения. Пусть a и t – целые числа, t\geqslant 1. Тогда
\begin{equation*}
\#\{p\leqslant x\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\equiv a\ (\operatorname{mod} t)\}\leqslant C(E) \biggl(\frac{\pi(x)}{\varphi (t)}+ x\exp(-b t^{-2} \sqrt{\ln x}\,)\biggr)
\end{equation*}
\notag
для всех \ln x \geqslant c t^{12} \ln t. Здесь b и c – положительные абсолютные постоянные, и C(E)>0 – константа, зависящая только от E.
Предположим, что x \geqslant c_0 (s), где c_0 (s)>0 – постоянная, зависящая только от s; мы выберем постоянную c_0 (s) позднее, она будет достаточно велика. Для натуральных t выполнено неравенство t^{12}\ln t \leqslant t^{13}. Таким образом, получаем
\begin{equation}
\#\{p\leqslant x\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\equiv a\ (\operatorname{mod} t)\}\leqslant C(E) \biggl(\frac{\pi(x)}{\varphi (t)}+ x\exp(-b t^{-2} \sqrt{\ln x}\,)\biggr)
\end{equation}
\tag{3.19}
при 1 \leqslant t \leqslant (c_1 \ln x)^{1/13}, где c_1=1/c – положительная абсолютная постоянная. Из (3.18) видим, что \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant 3p для любого простого числа p. Положим M=3x. Тогда \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant M для любого простого p\leqslant x. Имеем если c_0(s) взято достаточно большим.
Применяя теорему 1.1 с \alpha=1/26, получаем
\begin{equation}
\sum_{p\leqslant x} \biggl(\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\biggr)^s\leqslant c^s\biggl(\pi(x)+ \sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}} \frac{\omega(q) (\ln q)^s}{q}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.21}
где c – положительная абсолютная постоянная и
\begin{equation*}
\omega (q) = \#\{p\leqslant x\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\equiv 0\ (\operatorname{mod} q)\}.
\end{equation*}
\notag
Из (3.19) (с a=0) и (3.20) следует, что
\begin{equation*}
\omega (q) \leqslant C(E) \biggl(\frac{\pi(x)}{\varphi (q)}+ x \exp(-b q^{-2} \sqrt{\ln x}\,) \biggr)
\end{equation*}
\notag
для любого простого числа q \leqslant (\ln M)^{1/26}. Получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}} \frac{\omega(q) (\ln q)^s}{q} \notag \\ &\qquad\leqslant C(E) \biggl(\pi(x)\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s}{q\varphi (q)}+x\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{ (\ln q)^s}{q\exp(b q^{-2} \sqrt{\ln x}\,)}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
Поскольку \varphi(n) \geqslant c n/\ln\ln (n+2) для любого натурального n, где c – положительная абсолютная постоянная, имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s}{q\varphi (q)}&\leqslant \frac{1}{c} \sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s\ln\ln(q+2)}{q^{2}} \notag \\ &\leqslant \frac{1}{c}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^s\ln\ln(n+2)}{n^{2}}=c_{1}(s), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
где c_{1}(s)>0 – постоянная, зависящая только от s.
Напомним, что M=3x. Если c_{0}(s) достаточно велико, то выполнено неравенство (\ln (3x))^{1/13}\leqslant 2 (\ln x)^{1/13}. Следовательно,
\begin{equation*}
b\frac{\sqrt{\ln x}}{q^{2}}\geqslant b\, \frac{(\ln x)^{1/2}}{(\ln (3x))^{1/13}} \geqslant \frac{b}{2}\, \frac{(\ln x)^{1/2}}{(\ln x)^{1/13}}=b_{1} (\ln x)^{11/26}
\end{equation*}
\notag
для любого простого q\leqslant (\ln (3x))^{1/26}, где b_{1}=b/2 – положительная абсолютная постоянная. Получаем
\begin{equation*}
x\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{ (\ln q)^s}{q\exp(b q^{-2} \sqrt{\ln x}\,)}\leqslant x\exp\bigl(-b_{1} (\ln x)^{11/26}\bigr)\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s}{q}.
\end{equation*}
\notag
Полагая k=[(\ln(3x))^{1/26}] и применяя лемму 3.5, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{ (\ln q)^s}{q} &= \sum_{q \leqslant k}\frac{ (\ln q)^s}{q} \leqslant c (\ln k)^s\leqslant c \bigl(\ln \bigl((\ln(3x))^{1/26}\bigr)\bigr)^s \\ &=\frac{c}{(26)^s}\bigl(\ln\ln (3x)\bigr)^s, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c – положительная абсолютная постоянная. Получаем
\begin{equation*}
x\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{ (\ln q)^s}{q\exp(b q^{-2} \sqrt{\ln x}\,)}\leqslant \frac{c}{(26)^s}\, x \exp\bigl(-b_{1} (\ln x)^{11/26}\bigr)\bigl(\ln\ln (3x)\bigr)^s.
\end{equation*}
\notag
Для любого вещественного t\geqslant 2 выполнено \pi(t) \geqslant a t/\ln t, где a – положительная абсолютная постоянная. Покажем, что
\begin{equation}
\frac{c}{(26)^s}x \exp\bigl(-b_{1} (\ln x)^{11/26}\bigr)\bigl(\ln\ln (3x)\bigr)^s \leqslant \frac{a x}{(26)^s\ln x}.
\end{equation}
\tag{3.24}
Неравенство (3.24) эквивалентно неравенству
\begin{equation*}
c \ln x\bigl(\ln\ln (3x)\bigr)^s\leqslant a \exp\bigl(b_{1} (\ln x)^{11/26}\bigr).
\end{equation*}
\notag
Взяв логарифм от обеих частей, получаем
\begin{equation*}
\ln c + \ln\ln x + s \ln\ln\ln (3x)\leqslant \ln a + b_{1} (\ln x)^{11/26}.
\end{equation*}
\notag
Данное неравенство выполнено, если c_{0}(s) взято достаточно большим. Неравенство (3.24) доказано.
Следовательно,
\begin{equation}
x\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}}\frac{(\ln q)^s}{q\exp(b q^{-2}\sqrt{\ln x}\,)}\leqslant \frac{\pi(x)}{(26)^s}.
\end{equation}
\tag{3.25}
Подставив (3.23) и (3.25) в (3.22), получаем
\begin{equation}
\sum_{q \leqslant (\ln M)^{1/26}} \frac{\omega(q) (\ln q)^s}{q}\leqslant C(E) \biggl(c_{1}(s)+\frac{1}{(26)^s}\biggr)\pi(x).
\end{equation}
\tag{3.26}
Подставив (3.26) в (3.21), получаем
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant x} \biggl(\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\biggr)^s\leqslant c^s\biggl(1+ C(E) \biggl(c_{1}(s)+\frac{1}{(26)^s}\biggr) \biggr)\pi (x) = C_{1}(E,s) \pi(x),
\end{equation*}
\notag
где C_{1}(E,s)>0 – постоянная, зависящая только от E и s. Таким образом, теорема 1.5 доказана для x\geqslant c_{0}(s).
Предположим, что 2 \leqslant x < c_{0}(s). Для любого простого p\leqslant x имеем
\begin{equation*}
\#E(\mathbb{F}_{p}) \leqslant 3 p\leqslant 3 x\leqslant 3 c_{0}(s)=c_{2}(s).
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\leqslant \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant c_{2}(s)
\end{equation*}
\notag
для любого простого p\leqslant x. Получаем
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant x} \biggl(\frac{\#E(\mathbb{F}_{p})}{\varphi(\#E(\mathbb{F}_{p}))}\biggr)^s\leqslant (c_{2}(s))^s \pi (x) = c_{3}(s) \pi (x),
\end{equation*}
\notag
где c_{3}(s)>0 – постоянная, зависящая только от s. Доказываемое утверждение следует с C(E,s)=\max (C_{1}(E,s), c_{3}(s)). Теорема 1.5 доказана. Доказательство теоремы 1.6. Наше доказательство состоит из трех шагов.
1. Получим верхнюю оценку для величины Предположим, что x\geqslant x_0. Поскольку \operatorname{ord}_{A}(s)<+\infty для любого натурального s, то 0\leqslant r(n)<+\infty для любого натурального n. Так как имеем N_{A}(x)<+\infty. По предположению N_{A}(x)>0. Следовательно, 0< N_{A}(x)<+\infty. Так как N_{A}(x)>0, существует натуральное n\leqslant x такое, что \operatorname{ord}_{A}(n)>0. Следовательно,
\begin{equation*}
0<\rho_{A}(x):= \max_{n\leqslant x}\operatorname{ord}_{A}(n)<+\infty.
\end{equation*}
\notag
Можно показать, что
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant x} (r(n))^{2} =\sum_{\substack{p_1, p_2\in \mathbb{P}\\ j, k\in \mathbb{N}:\\ p_1+a_j\leqslant x\\ p_2+a_k\leqslant x\\ p_1+a_j=p_2+a_k}} 1 =\sum_{\substack{\dots\\ p_1=p_2}}1+\sum_{\substack{\dots\\ p_1<p_2}}1+\sum_{\substack{\dots\\ p_1>p_2}}1= T_1+ T_2 + T_3.
\end{equation*}
\notag
Видно, что T_2=T_3. Оценим T_1. Имеем
\begin{equation*}
T_1= \sum_{\substack{p_1\in \mathbb{P}:\\ p_1\leqslant x}}\, \sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x-p_1 }}\, \sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k=a_j}}1.
\end{equation*}
\notag
Поскольку
\begin{equation*}
\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k=a_j}}1=\operatorname{ord}_{A}(a_j),
\end{equation*}
\notag
получаем
\begin{equation*}
T_1\leqslant \sum_{\substack{p_1\in \mathbb{P}:\\ p_1\leqslant x}}\, \sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x }} \operatorname{ord}_{A}(a_j)= \sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x }} \operatorname{ord}_{A}(a_j) \sum_{\substack{p_1\in \mathbb{P}:\\ p_1\leqslant x}} 1= \pi(x)\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x }} \operatorname{ord}_{A}(a_j).
\end{equation*}
\notag
Так как a_j \leqslant x, справедливо неравенство \operatorname{ord}_{A}(a_j)\leqslant \rho_{A}(x). Следовательно,
\begin{equation*}
\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x}} \operatorname{ord}_{A}(a_j)\leqslant \rho_{A}(x)\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_j\leqslant x }}1= \rho_{A}(x) N_{A}(x).
\end{equation*}
\notag
Поскольку согласно теореме Чебышёва \pi(x)\leqslant b x/\ln x, где b>0 – абсолютная постоянная, получаем
Для a \in \mathbb{N} положим Воспользуемся следующим результатом Шнирельмана [7]. Пусть a – натуральное число, x – вещественное число, x\geqslant 4. Тогда
\begin{equation*}
\pi_{2}(x, a)\leqslant c\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, \frac{a}{\varphi(a)},
\end{equation*}
\notag
где c>0 – абсолютная постоянная. Оценим T_2. Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_2&= \sum_{\substack{p_1, p_2\in \mathbb{P}\\ j, k\in \mathbb{N}:\\ p_1+a_j\leqslant x\\ p_2+a_k\leqslant x\\ p_1+a_j=p_2+a_k\\ p_1<p_2}}1 \leqslant \sum_{\substack{j, k\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}} \sum_{\substack{p\in \mathbb{P}:\\p\leqslant x\\ p+a_j-a_k\text{ простое}}}1 = \sum_{\substack{j, k\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\pi_{2}(x, a_j - a_k) \\ &\leqslant c\,\frac{x}{(\ln x)^2}\sum_{\substack{j, k\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\frac{a_j - a_k}{\varphi(a_j - a_k)} =c\,\frac{x}{(\ln x)^2}\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\frac{a_j - a_k}{\varphi(a_j - a_k)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Зафиксируем натуральное k с условием a_k < x. Пусть j – натуральное число такое, что a_k < a_j\leqslant x. Тогда 0< a_j - a_k\leqslant x. Применяя теорему 1.1 с s=1, M=x и \alpha, которое дано в формулировке теоремы, получаем
\begin{equation*}
\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\frac{a_j - a_k}{\varphi(a_j - a_k)} \leqslant C(\alpha)\biggl(l+\sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}}\frac{\omega(p) \ln p}{p}\biggr),
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
l=\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\}\leqslant \#\{j\in \mathbb{N}\colon a_j\leqslant x\}=N_{A}(x)
\end{equation*}
\notag
и
\begin{equation*}
\omega(p)=\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и }a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{j\in \mathbb{N}:\\ a_k < a_j\leqslant x}}\frac{a_j - a_k}{\varphi(a_j - a_k)} \\ &\qquad\leqslant C(\alpha)\biggl(N_{A}(x)+\sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}}\frac{\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и } a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\} \ln p}{p}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_2 &\leqslant c\,\frac{x}{(\ln x)^2}\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}C(\alpha)\biggl(N_{A}(x) \\ &\qquad +\sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}}\frac{\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и }a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\} \ln p}{p}\biggr) \\ &\leqslant c C(\alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}(N_{A}(x))^{2}+c C(\alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2} \\ &\qquad\times \sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}\, \sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}}\frac{\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и }a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\}\ln p}{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
По предположению теоремы
\begin{equation*}
\sum_{\substack{k\in \mathbb{N}:\\ a_k < x}}\, \sum_{p\leqslant (\ln x)^{\alpha}} \frac{\#\{j\in \mathbb{N}\colon a_k<a_j\leqslant x\text{ и }a_j\equiv a_k\ (\operatorname{mod} p)\} \ln p}{p}\leqslant \gamma_{2} (N_{A}(x))^{2}.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
T_2\leqslant c_{0}(\gamma_2, \alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, (N_{A}(x))^{2},
\end{equation*}
\notag
где c_{0}(\gamma_2,\alpha)>0 – постоянная, зависящая только от \gamma_2 и \alpha.
Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{n\leqslant x} \bigl(r(n)\bigr)^{2}&= T_1+T_2+T_3=T_1+2T_2 \\ &\leqslant b\, \frac{x}{\ln x}\, \rho_{A}(x) N_{A}(x) + 2c_{0}(\gamma_2, \alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, (N_{A}(x))^{2} \\ &\leqslant c(\gamma_2, \alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, N_{A}(x)\bigl(\rho_{A}(x)\ln x+ N_{A}(x)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c(\gamma_2, \alpha)=b+2c_{0}(\gamma_2, \alpha)>0 – постоянная, зависящая только от \gamma_2 и \alpha.
2. Получим нижнюю оценку для
\begin{equation*}
\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1 \gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} r(n),
\end{equation*}
\notag
где b_1>0 – некоторая абсолютная постоянная, которую мы определим позднее.
По предположению теоремы N_{A}(x/2)\geqslant \gamma_1 N_{A}(x)>0. Кроме того, выполнено N_{A}(x/2)<+\infty. Следовательно, 0< N_{A}(x/2)<+\infty. Поскольку x\geqslant x_0\geqslant 10, имеем
\begin{equation*}
\pi(x/2)\geqslant b\,\frac{x/2}{\ln x/2}\geqslant\frac{b}{2}\,\frac{x}{\ln x}= b_0\, \frac{x}{\ln x},
\end{equation*}
\notag
где b_0>0 – абсолютная постоянная.
Получаем
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant x} r(n)\geqslant \pi\biggl(\frac{x}2\biggr)N_{A}\biggl(\frac{x}2\biggr)\geqslant b_{0}\gamma_{1}\, \frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x).
\end{equation*}
\notag
Кроме того,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)< (b_{0}\gamma_{1}N_{A}(x))/ (2\ln x)}} r(n) &< \frac{b_{0}\gamma_{1}}{2}\, \frac{N_{A}(x)}{\ln x} \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)< (b_{0}\gamma_{1}N_{A}(x))/ (2\ln x)}} 1 \\ &\leqslant \frac{b_{0}\gamma_{1}}{2}\, \frac{N_{A}(x)}{\ln x} \sum_{n\leqslant x} 1 \leqslant \frac{b_{0}\gamma_{1}}{2}\, \frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant (b_{0}\gamma_{1}N_{A}(x))/ (2\ln x)}} r(n) &= \sum_{n\leqslant x} r(n) - \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)< (b_{0}\gamma_{1}N_{A}(x))/ (2\ln x)}} r(n) \\ &\geqslant \frac{b_{0}\gamma_{1}}{2}\, \frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Положим b_1=b_{0}/2. Тогда b_1>0 – абсолютная постоянная, и
\begin{equation*}
\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} r(n)\geqslant b_1 \gamma_1 \,\frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x).
\end{equation*}
\notag
3. Применяя неравенство Коши–Шварца, имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(b_1 \gamma_1 \,\frac{x}{\ln x}\, N_{A}(x)\biggr)^2 \leqslant \Biggl(\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} r(n)\Biggr)^{2} \\ &\leqslant \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} 1 \, \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} (r(n))^{2} \\ &\leqslant \sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} 1\, \sum_{n\leqslant x} (r(n))^{2} \\ &\leqslant \Biggl(\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} 1\Biggr) c(\gamma_2, \alpha)\,\frac{x}{(\ln x)^2}\, N_{A}(x)\bigl(\rho_{A}(x)\ln x+ N_{A}(x)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\sum_{\substack{n\leqslant x:\\ r(n)\geqslant b_1\gamma_1 (N_{A}(x)/\ln x)}} 1\geqslant \frac{(b_1 \gamma_1)^2}{c(\gamma_2, \alpha)}\,x\,\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}.
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation*}
c_1= b_1\gamma_1,\qquad c_2= \frac{(b_1 \gamma_1)^2}{c(\gamma_2, \alpha)}.
\end{equation*}
\notag
Тогда c_1 и c_2 – положительные постоянные, зависящие только от \gamma_1 и \gamma_1, \gamma_2, \alpha соответственно, и
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_1 \frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_2 x\,\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 1.6 доказана. Доказательство теоремы 1.7. Мы собираемся применить теорему 1.6. Положим
\begin{equation*}
\Omega = \{n\in \mathbb{N}\colon R(n)>0\},\qquad A= \{R(n)\colon n\in \Omega\}.
\end{equation*}
\notag
Для любого натурального m имеем
\begin{equation*}
\operatorname{ord}_{A}(m)=\#\{n\in \Omega\colon R(n)=m\}\leqslant k.
\end{equation*}
\notag
В частности, видим, что \operatorname{ord}_{A}(m) <+\infty для любого натурального m и
\begin{equation*}
\rho_{A}(t)= \max_{n\leqslant t} \operatorname{ord}_{A}(n) \leqslant k
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного числа t\geqslant 1.
Существует натуральное число N_{0}, зависящее только от полинома R, такое, что
\begin{equation*}
-\frac{a_{k}}{2} t^{k} \leqslant a_{k-1}t^{k-1}+\dots+a_{0}\leqslant \frac{a_{k}}{2} t^{k}
\end{equation*}
\notag
и для любого вещественного числа t \geqslant N_{0}. Следовательно, (a_{k}/2) n^{k} \leqslant R(n) \leqslant 2 a_{k} n^{k} и R(n)< R(n+1) для любого целого n \geqslant N_{0}. Положим
\begin{equation*}
\widetilde{M}_{2}=\max_{\substack{n\in \mathbb{N}:\\ n\leqslant N_{0}}} R(n).
\end{equation*}
\notag
Ясно, что \widetilde{M}_{2} – положительная постоянная, зависящая только от R, и
\begin{equation*}
R(n)\leqslant \widetilde{M}_{2}\leqslant \widetilde{M}_{2} n^{k}
\end{equation*}
\notag
для любого целого числа n такого, что n\in \Omega и n\leqslant N_{0}. Следовательно,
\begin{equation*}
R(n) \leqslant \max(\widetilde{M}_{2}, 2a_{k})n^{k} = M_{2} n^{k}
\end{equation*}
\notag
для любого n\in \Omega.
Положим Тогда
\begin{equation*}
\widetilde{M}_{1} n^{k} \leqslant \widetilde{M}_{1} (N_{0})^{k}=1 \leqslant R(n)
\end{equation*}
\notag
для любого целого n такого, что n\in \Omega и n \leqslant N_{0}. Получаем
\begin{equation*}
R(n) \geqslant \min (\widetilde{M}_{1}, a_{k}/2) n^{k}= M_{1} n^{k}
\end{equation*}
\notag
для любого n\in \Omega. Таким образом, для любого n\in \Omega, где M_{1} и M_{2} – положительные постоянные, зависящие только от R.
Имеем где n_{1}, \dots, n_{T} – натуральные числа с условием n_{1}<\dots < n_{T}< N_{0}. Можем считать, что T>0. Ясно, что T – положительная постоянная, зависящая только от R.Предположим, что x \geqslant x_{0}, где x_{0} – положительная постоянная, зависящая только от R; мы выберем постоянную x_{0} позднее, она будет достаточно велика. Пусть x_{0} \geqslant M_{2} (N_{0})^{k}. Применяя (3.27), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_{A}(x)&=\#\{n\in \Omega\colon R(n)\leqslant x\}\leqslant \#\{n\in \Omega\colon M_{1} n^{k}\leqslant x\} \\ &\leqslant \#\biggl\{n\in \mathbb{N}\colon n\leqslant \biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k}\biggr\}= \biggl[\biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k}\biggr]\leqslant \biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пусть x_1 = M_{2} (2N_{0}+1)^{k}. Тогда x_{1} – положительная постоянная, зависящая только от R. Пусть t – вещественное число такое, что t \geqslant x_{1}. Применяя (3.27) и (3.28), имеем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_{A}(t)&= \#\{n\in \Omega\colon R(n)\leqslant t\}\geqslant \#\{n\in \Omega\colon M_{2}n^{k}\leqslant t\} \notag \\ &= \#\biggl\{n\in \Omega\colon n\leqslant \biggl(\frac{t}{M_{2}}\biggr)^{1/k}\biggr\}\geqslant \biggl[\biggl(\frac{t}{M_{2}}\biggr)^{1/k}\biggr] - N_{0}+1 \notag \\ &\geqslant \biggl(\frac{t}{M_{2}}\biggr)^{1/k} - N_{0}\geqslant \frac{1}{2} \biggl(\frac{t}{M_{2}}\biggr)^{1/k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
Пусть x_{0} \geqslant 2x_1. Тогда
\begin{equation}
\frac{1}{2} \biggl(\frac{x}{M_{2}}\biggr)^{1/k} \leqslant N_{A}(x) \leqslant \biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k}.
\end{equation}
\tag{3.30}
В частности, видим, что N_{A}(x)>0. Поскольку x/2 \geqslant x_{1}, из (3.29) имеем
\begin{equation*}
N_{A}(x/2) \,{\geqslant}\, \frac{1}{2} \biggl(\frac{x/2}{M_{2}}\biggr)^{1/k}{=}\, \frac{1}{2} \biggl(\frac{M_{1}}{2M_{2}}\biggr)^{1/k} \biggl(\frac{x}{M_{1}}\biggr)^{1/k} {\geqslant}\, \frac{1}{2} \biggl(\frac{M_{1}}{2M_{2}}\biggr)^{1/k} N_{A}(x)\,{=}\, \gamma_{1} N_{A}(x),
\end{equation*}
\notag
где \gamma_{1} – положительная постоянная, зависящая только от R. Мы видим, что выполнены (1.4) и (1.5).
Можно считать, что x_{0}\geqslant R(N_{0}). Тогда
\begin{equation*}
\rho_{A}(x) = \max_{n\leqslant x} \operatorname{ord}_{A}(n)\geqslant \operatorname{ord}_{A}\bigl(R(N_{0})\bigr) \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Получаем
Рассмотрим сумму
\begin{equation*}
S= \sum_{\substack{j\in \Omega:\\ R(j)< x}} \, \sum_{p\leqslant \ln x} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\lambda (j, p)= \#\{n\in \Omega\colon R(j)< R(n)\leqslant x\text{ и }R(n) \equiv R(j)\ (\operatorname{mod} p)\}.
\end{equation*}
\notag
Зафиксируем j, лежащее в диапазоне суммирования S. Имеем
\begin{equation}
\sum_{p\leqslant \ln x} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}= \sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ p \mid a_k}} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}+ \sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ (p,a_k)=1}} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}= S_{1}+ S_{2}.
\end{equation}
\tag{3.32}
Пусть p лежит в диапазоне суммирования S_{1}. Имеем \lambda (j,p) \leqslant N_{A}(x). Получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{1} \leqslant N_{A}(x)\sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ p \mid a_k}} \frac{\ln p}{p}\leqslant \biggl(\sum_{p \mid a_k} \frac{\ln p}{p} + 1\biggr)N_{A}(x)= c_{1} N_{A}(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
где c_1 – положительная постоянная, зависящая только от R.
Согласно постулату Бертрана (см., например, [5; теорема 3.1.9]) существует натуральное число n_0 такое, что между n и 2 n есть простое число для любого целого n \geqslant n_0. Значит, существует простое число p, лежащее между n_{0}\,{+}\,a_k и 2(n_{0}+a_k). Имеем p> a_k и, следовательно, (p, a_k)=1, а также имеем \ln x > 2(n_{0}+a_k), если x_0 выбрано достаточно большим. Мы видим, что \{p\colon p\leqslant \ln x \text{ и } (p,a_k)= 1\}\neq\varnothing. Можем считать (см. (3.28)), что
\begin{equation*}
x_{0}\geqslant \max \bigl(R(n_1),\dots, R(n_{T}), R(N_{0}),\dots, R(N_{0}+10)\bigr).
\end{equation*}
\notag
Определим Поскольку R(n)< R(n+1) для любого целого n \geqslant N_{0}, имеем
\begin{equation}
\Omega(x)=\{n_{1},\dots, n_{T}, N_{0}, N_{0}+1,\dots, N_{0}+r\}.
\end{equation}
\tag{3.34}
Предположим, что p лежит в диапазоне суммирования S_{2}. Определим
\begin{equation*}
U=\bigl\{b\in \{0,\dots, p-1\}\colon R(b)\equiv R(j) \ (\operatorname{mod}p)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Тривиальным образом, \#U \leqslant p. Поскольку (p,a_k)=1, также имеем \#U \leqslant k. Получаем \#U \leqslant \min (p,k). Заметим, что если b\in \{0,\dots, p-1\} такое, что b\equiv j\ (\operatorname{mod} p), то b\in U. Следовательно,
Для любого b\in U определим Из (3.34) видим, что
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \# \Lambda (b)&\leqslant T + \#\{t\in \mathbb{Z}\colon N_{0}\leqslant b+ pt\leqslant N_{0}+r\} \\ &= T + \biggl[\frac{N_{0}+r - b}{p}\biggr] - \biggl\lceil\frac{N_{0}-b}{p}\biggr\rceil + 1\leqslant \frac{r}{p}+ T+1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Имеем и (см. (3.30))
\begin{equation*}
N_{A}(x) \geqslant \frac{1}{2} \biggl(\frac{x}{M_{2}}\biggr)^{1/k} \geqslant \ln x,
\end{equation*}
\notag
если x_0 выбрано достаточно большим. Поскольку p\leqslant \ln x, получаем p \leqslant N_{A}(x). Поэтому
\begin{equation*}
\# \Lambda (b)\leqslant \frac{N_{A}(x)}{p}+ T+1\leqslant \frac{N_{A}(x)}{p}+ (T+1)\frac{N_{A}(x)}{p} = (T+2)\frac{N_{A}(x)}{p}= c_2 \frac{N_{A}(x)}{p},
\end{equation*}
\notag
где c_2 – положительная постоянная, зависящая только от R.
Имеем
\begin{equation*}
\lambda (j,p) \leqslant \sum_{b\in U} \# \Lambda (b)\leqslant c_2 \frac{N_{A}(x)}{p} \#U\leqslant c_2 k \frac{N_{A}(x)}{p} = c_3 \frac{N_{A}(x)}{p},
\end{equation*}
\notag
где c_3 – положительная постоянная, зависящая только от R. Получаем
\begin{equation}
S_2=\sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ (p,a_k)=1}} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}\leqslant c_3 N_{A}(x) \sum_{\substack{p\leqslant \ln x\\ (p,a_k)=1}} \frac{\ln p}{p^{2}} \leqslant c_3 N_{A}(x) \sum_{p} \frac{\ln p}{p^{2}} = c_4 N_{A}(x),
\end{equation}
\tag{3.35}
где c_{4} – положительная постоянная, зависящая только от R.
Подставляя (3.33) и (3.35) в (3.32), получаем
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant \ln x} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}\leqslant (c_1 + c_4) N_{A}(x) = \gamma_{2} N_{A}(x),
\end{equation*}
\notag
где \gamma_{2} – положительная постоянная, зависящая только от R. Имеем
\begin{equation*}
\sum_{\substack{j\in \Omega:\\ R(j)< x}} \sum_{p\leqslant \ln x} \frac{\lambda (j, p)\ln p}{p}\leqslant \gamma_{2} N_{A}(x)\sum_{\substack{j\in \Omega:\\ R(j)< x}} 1 \leqslant \gamma_{2} \bigl(N_{A}(x)\bigr)^{2}.
\end{equation*}
\notag
Мы видим, что (1.6) выполнено с \alpha = 1.
Согласно теореме 1.6 существуют положительные постоянные c_{1}=c_{1}(\gamma_1) и c_{2}=c_{2}(\gamma_1, \gamma_2, \alpha) такие, что
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \widetilde{r}(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_{2}x\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\widetilde{r}(n) = \#\{(p,j)\in \mathbb{P}\times \Omega\colon p+ R(j)=n\}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку \gamma_{1} и \gamma_2 – положительные постоянные, зависящие только от R, \alpha\,{=}\,1, видим, что c_1 и c_2 – положительные постоянные, зависящие только от R. Применяя (3.30), получаем
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \widetilde{r}(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\leqslant \#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \widetilde{r}(n)\geqslant \frac{c_{1}}{2 (M_{2})^{1/k}}\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation*}
r(n) = \#\{(p,j)\in \mathbb{P}\times\mathbb{N}\colon p+ R(j)=n\}.
\end{equation*}
\notag
Ясно, что \widetilde{r}(n) \leqslant r(n) для любого натурального n. Следовательно,
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \widetilde{r}(n)\geqslant \frac{c_{1}}{2 (M_{2})^{1/k}}\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\leqslant \#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant \frac{c_{1}}{2 (M_{2})^{1/k}}\,\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Имеем (см. (3.31))
\begin{equation*}
0< \rho_{A}(x)\ln x\leqslant k \ln x \leqslant \frac{x^{1/k}}{2 (M_{2})^{1/k}},
\end{equation*}
\notag
если x_0 выбрано достаточно большим. Получаем 0< \rho_{A}(x)\ln x\leqslant N_{A}(x) и, следовательно,
\begin{equation*}
\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}\geqslant \frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+ N_{A}(x)}=\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant \frac{c_{1}}{2 (M_{2})^{1/k}}\, \frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant \frac{c_{2}}{2} x.
\end{equation*}
\notag
Мы видим, что c_1 / (2 (M_{2})^{1/k}) и c_2/2 – положительные постоянные, зависящие только от R. Обозначим c_1 / (2 (M_{2})^{1/k}) через c_1 и c_2/2 через c_2. Теорема 1.7 доказана. Доказательство следствия 1.2. Положим R(n)=n^{k}. Согласно теореме 1.7 существуют положительные постоянные c_{1}(k), c_{2}(k) и x_{0}(k), зависящие только от k, такие, что
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1}(k)\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_{2}(k) x
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного x \geqslant x_{0}(k), где
\begin{equation*}
r(n)=\#\{(p, j)\in \mathbb{P}\times\mathbb{N}\colon p+j^{k}=n\}.
\end{equation*}
\notag
Положим
\begin{equation*}
\max_{4 \leqslant x \leqslant x_{0}(k)}\frac{x^{1/k}}{\ln x}=\alpha (k).
\end{equation*}
\notag
Ясно, что \alpha(k) – положительная постоянная, зависящая только от k. Поскольку 3=2+1=2+R(1) и 2\in \mathbb{P}, имеем r(3) \geqslant 1. Получаем
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant \frac{1}{\alpha (k)}\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant 1 \geqslant \frac{1}{x_{0}(k)} x
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного 3 \leqslant x \leqslant x_{0}(k). Положим
\begin{equation*}
b_{1}(k) = \min \biggl(c_{1}(k), \frac{1}{\alpha(k)}\biggr),\qquad b_{2}(k)=\min \biggl(c_{2}(k), \frac{1}{x_{0}(k)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Видим, что b_{1}(k) и b_{2}(k) – положительные постоянные, зависящие только от k. Имеем
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant b_{1}(k)\frac{x^{1/k}}{\ln x}\biggr\}\geqslant b_{2}(k) x
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного x\geqslant 3. Обозначим b_{1}(k) через c_{1}(k) и b_{2}(k) через c_{2}(k). Следствие 1.2 доказано. Доказательство теоремы 1.8. Согласно теореме Хассе [8] для любого простого p> 3 имеем |\#E(\mathbb{F}_{p})- (p+1)|< 2\sqrt{p}. Видим из (3.18), что при p\in \{2, 3\} также выполнено |\#E(\mathbb{F}_{p}) - (p+1)|<2\sqrt{p}. Получаем для всех простых p. Таким образом, для любого простого числа p.
Положим A=\bigl\{ \#E(\mathbb{F}_{p})\colon p \geqslant 2\bigr\}. Мы собираемся применить теорему 1.6. Предположим, что p\geqslant 5. Пусть q – простое число с условием q> p + 4\sqrt{p}+ 4. Тогда (\sqrt{q}-1)^{2}> (\sqrt{p}+1)^{2}, и из (3.36) получаем \#E(\mathbb{F}_{q})> \#E(\mathbb{F}_{p}). Пусть теперь q – простое число такое, что q< p - 4\sqrt{p}+ 4. Тогда (\sqrt{q}+1)^{2}< (\sqrt{p}-1)^{2}, и из (3.36) следует, что \#E(\mathbb{F}_{q})< \#E(\mathbb{F}_{p}). Значит,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{ord}_{A}\bigl(\#E(\mathbb{F}_{p})\bigr)&=\#\{q\colon \#E(\mathbb{F}_{q})=\#E(\mathbb{F}_{p})\} \\ &\leqslant \#\{q\colon p - 4\sqrt{p}+ 4 \leqslant q \leqslant p + 4\sqrt{p}+ 4\} \\ &\leqslant \#\{n\in \mathbb{N}\colon p - 4\sqrt{p}+ 4 \leqslant n \leqslant p + 4\sqrt{p}+ 4\} \\ &= [p + 4\sqrt{p}+ 4] - \lceil p - 4\sqrt{p}+ 4\rceil + 1\leqslant 8\sqrt{p}+1 < 9\sqrt{p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пусть p<5, т. е. p\in \{2,3\}. Из (3.18) получаем \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant 7. Пусть q – простое число с условием q > 14. Тогда (\sqrt{q}-1)^{2}>7, и из (3.36) получаем \#E(\mathbb{F}_{q})> \#E(\mathbb{F}_{p}). Таким образом,
\begin{equation*}
\operatorname{ord}_{A}\bigl(\#E(\mathbb{F}_{p})\bigr)\leqslant \#\{q\colon q\leqslant 14\} = 6 < 6\sqrt{p}.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation}
\operatorname{ord}_{A}\bigl(\#E(\mathbb{F}_{p})\bigr) \leqslant 9\sqrt{p}
\end{equation}
\tag{3.37}
для любого простого p. В частности, мы видим, что \operatorname{ord}_{A} (n) <+\infty для любого натурального n.
Будем считать, что x\geqslant x_0, где x_0 – положительная абсолютная постоянная; постоянная x_0 будет выбрана позднее, она будет велика. Можем считать, что x_{0} \geqslant 100 и, следовательно, x\geqslant 100. Пусть p – простое число такое, что \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant x. Из неравенства (3.36) следует, что (\sqrt{p}-1)^{2}< x или, что эквивалентно, \sqrt{p}-1< \sqrt{x}. Отсюда получаем Положим n_0 = \#E(\mathbb{F}_2). Из неравенства (3.18) мы видим, что 1\leqslant n_0 \leqslant 5< x. Получаем
\begin{equation*}
\rho_{A}(x)=\max_{n\leqslant x}\operatorname{ord}_{A}(n) \geqslant \operatorname{ord}_{A}(n_0) \geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
Пусть n_1 – натуральное число такое, что n_1 \leqslant x и \rho_{A}(x)= \operatorname{ord}_{A}(n_1). Поскольку \rho_{A}(x) \geqslant 1, получаем \operatorname{ord}_{A}(n_1) \geqslant 1 и, следовательно, существует простое число p такое, что \#E(\mathbb{F}_{p})=n_1. Так как n_1\leqslant x, имеем \#E(\mathbb{F}_{p}) \leqslant x. Согласно (3.38) получаем p\leqslant 2x. Применяя (3.37), имеем
\begin{equation*}
\rho_{A}(x)= \operatorname{ord}_{A}(n_1)= \operatorname{ord}_{A}\bigl(\#E(\mathbb{F}_{p})\bigr)\leqslant 9\sqrt{p} \leqslant 9\sqrt{2x}< 13 \sqrt{x}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
Применяя (3.38), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_{A}(x)&=\#\{p\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant x\}\leqslant \#\{p\colon p\leqslant 2x\}= \pi (2x) \\ &\leqslant a \frac{2x}{\ln (2x)}\leqslant 2a \frac{x}{\ln x}= a_{2} \frac{x}{\ln x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где a_2 – положительная абсолютная постоянная.
Пусть t – вещественное число такое, что t\geqslant 20. Видно, что Следовательно, если p – простое число такое, что p\leqslant t/2, то p\leqslant t-2\sqrt{t}+1 или, что эквивалентно, (\sqrt{p}+1)^{2}\leqslant t. Из (3.36) получаем \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant t. Следовательно,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, N_{A}(t)&=\#\{p\colon \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant t\} \notag \\ &\geqslant \#\biggl\{p\colon p \leqslant \frac{t}2\biggr\}= \pi \biggl(\frac{t}2\biggr) \geqslant b \frac{t/2}{\ln (t/2)}\geqslant \frac{b}{2}\, \frac{t}{\ln t}= a_{1} \frac{t}{\ln t}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.40}
где a_1 – положительная абсолютная постоянная. Таким образом,
\begin{equation}
a_{1} \frac{x}{\ln x} \leqslant N_{A}(x) \leqslant a_{2} \frac{x}{\ln x},
\end{equation}
\tag{3.41}
где a_1, a_2 – положительные абсолютные постоянные. Поскольку x/2 >20, из (3.40) получаем
\begin{equation*}
N_{A}\biggl(\frac{x}2\biggr) \geqslant a_{1} \frac{x/2}{\ln (x/2)}\geqslant \frac{a_1}{2}\, \frac{x}{\ln x}= \frac{a_1}{2a_2}\, a_{2} \frac{x}{\ln x}\geqslant \frac{a_1}{2a_2}\, N_{A}(x)=\gamma_1 N_{A}(x),
\end{equation*}
\notag
где \gamma_1 = a_{1}/ (2a_{2}) – положительная абсолютная постоянная. Мы видим, что (1.4) и (1.5) выполнены.
Имеем если x_0 выбрано достаточно большим (здесь c_1 – положительная абсолютная постоянная из (3.19)). Рассмотрим сумму
\begin{equation*}
S=\sum_{\substack{q\in \mathbb{P}:\\ \#E(\mathbb{F}_{q})< x}}\, \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\lambda (q,t) \ln t}{t},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\lambda (q, t):= \#\{p\in \mathbb{P}\colon \#E(\mathbb{F}_{q})< \#E(\mathbb{F}_{p})\leqslant x \text{ и }\#E(\mathbb{F}_{p})\equiv \#E(\mathbb{F}_{q})\ (\operatorname{mod} t)\}.
\end{equation*}
\notag
Пусть q и t лежат в диапазоне суммирования S. Из (3.38) и (3.19) получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda (q, t) &\leqslant \#\{p\leqslant 2x\colon \#E(\mathbb{F}_{p}) \equiv \#E(\mathbb{F}_{q}) \ (\operatorname{mod} t)\} \\ &\leqslant C(E) \biggl(\frac{\pi(2x)}{\varphi (t)}+ 2x\exp(-b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\lambda (q,t) \ln t}{t} \nonumber \\ &\qquad\leqslant C(E) \Biggl(\pi(2x)\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}}\frac{\ln t}{t\varphi (t)}+ 2x \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t\exp(b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)}\Biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.42}
Поскольку \varphi (n) \geqslant c n/ \ln\ln(n+2) для любого натурального n, где c – положительная абсолютная постоянная, имеем
\begin{equation*}
\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}}\frac{\ln t}{t\varphi (t)} \leqslant \frac{1}{c} \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}}\frac{\ln t \ln\ln (t+2)}{t^{2}}\leqslant \frac{1}{c} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n \ln\ln (n+2)}{n^{2}}=c_1,
\end{equation*}
\notag
где c_1 – положительная абсолютная постоянная. Получаем
\begin{equation}
\pi(2x)\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}}\frac{\ln t}{t\varphi (t)}\leqslant c_1 \pi(2x)\leqslant c_1 a \frac{2x}{\ln (2x)}\leqslant 2c_1 a \frac{x}{\ln x} = c_2 \frac{x}{\ln x},
\end{equation}
\tag{3.43}
где c_2 – положительная абсолютная постоянная.
Для любого простого числа t \leqslant (\ln x)^{1/14} имеем
\begin{equation*}
\frac{b \sqrt{\ln (2x)}}{t^{2}}\geqslant \frac{b \sqrt{\ln (2x)}}{(\ln x)^{1/7}}\geqslant \frac{b (\ln x)^{1/2}}{(\ln x)^{1/7}}= b (\ln x)^{5/14}.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
2x \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t\exp(b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)} \leqslant 2x\exp\bigl(-b (\ln x)^{5/14}\bigr) \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t}.
\end{equation*}
\notag
Полагая k= [(\ln x)^{1/14}] и применяя лемму 3.5, имеем
\begin{equation*}
\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t}= \sum_{p\leqslant k} \frac{\ln p}{p}\leqslant c \ln k \leqslant c \ln \bigl((\ln x)^{1/14}\bigr)= \frac{c}{14}\ln\ln x=c_3\ln\ln x,
\end{equation*}
\notag
где c_3 = c/14 – положительная абсолютная постоянная.
Получаем
\begin{equation*}
2x \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t\exp(b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)}\leqslant 2c_{3}x\,\exp\bigl(-b (\ln x)^{5/14}\bigr)\ln\ln x.
\end{equation*}
\notag
Покажем, что
\begin{equation}
2c_{3}x\exp\bigl(-b (\ln x)^{5/14}\bigr)\ln\ln x \leqslant \frac{x}{\ln x}
\end{equation}
\tag{3.44}
или, что эквивалентно,
\begin{equation*}
2c_{3}\ln x \ln\ln x \leqslant \exp\bigl(b (\ln x)^{5/14}\bigr).
\end{equation*}
\notag
Взяв логарифмы от обеих частей неравенства, получаем
\begin{equation*}
\ln(2c_3)+\ln\ln x + \ln\ln\ln x \leqslant b (\ln x)^{5/14}.
\end{equation*}
\notag
Данное неравенство выполнено, если x_0 взято достаточно большим. Неравенство (3.44) доказано.
Имеем
\begin{equation}
2x \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\ln t}{t\exp(b t^{-2} \sqrt{\ln (2x)}\,)} \leqslant \frac{x}{\ln x}.
\end{equation}
\tag{3.45}
Подставив (3.43) и (3.45) в (3.42), получаем
\begin{equation*}
\sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\lambda (q,t) \ln t}{t}\leqslant C(E)(c_2 +1)\frac{x}{\ln x} = C_{1}(E) \frac{x}{\ln x},
\end{equation*}
\notag
где C_{1}(E) >0 – постоянная, зависящая только от E.
Применяя (3.41), получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{q\in \mathbb{P}:\\ \#E(\mathbb{F}_{q})< x}}\, \sum_{\substack{t\in \mathbb{P}:\\ t\leqslant (\ln x)^{1/14}}} \frac{\lambda (q,t) \ln t}{t} &\leqslant C_{1}(E)\, \frac{x}{\ln x} \, N_{A}(x) \\ &\leqslant\frac{C_{1}(E)}{a_1} (N_{A}(x))^{2}= \gamma_{2}(E) (N_{A}(x))^{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \gamma_{2}(E) >0 – постоянная, зависящая только от E. Мы видим, что неравенство (1.6) с \alpha=1/14 выполнено.
Согласно теореме 1.6 существуют положительные постоянные c_{1}=c_{1}(\gamma_1) и c_{2}=c_{2} (\gamma_{1}, \gamma_{2}(E), \alpha) такие, что
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\geqslant c_{2}x\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x},
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
r(n)=\#\{(p, q)\in \mathbb{P}^{2}\colon p+\#E(\mathbb{F}_q)=n\}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку \alpha = 1/14, \gamma_1 – положительная абсолютная постоянная, и \gamma_2(E) – положительная постоянная, зависящая только от E, мы видим, что c_1 – положительная абсолютная постоянная, и c_{2} – положительная постоянная, зависящая только от E.
Согласно (3.41) имеем
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1}\frac{N_{A}(x)}{\ln x}\biggr\}\leqslant \#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1} a_{1}\frac{x}{(\ln x)^{2}}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
В силу (3.39) имеем
\begin{equation*}
\rho_{A}(x)\ln x \leqslant 13 \sqrt{x}\ln x\leqslant a_{1}\frac{x}{\ln x},
\end{equation*}
\notag
если x_0 взято достаточно большим (здесь a_1 – положительная абсолютная постоянная из (3.41)). Получаем и, следовательно,
\begin{equation*}
\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}\geqslant \frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+ N_{A}(x)}= \frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\#\biggl\{1\leqslant n \leqslant x\colon r(n)\geqslant c_{1} a_{1}\frac{x}{(\ln x)^{2}}\biggr\}\geqslant \frac{c_{2}(E)}{2}x.
\end{equation*}
\notag
Видим, что c_{1} a_{1} – положительная абсолютная постоянная, и c_{2}(E)/2 – положительная постоянная, зависящая только от E. Обозначим c_{1} a_{1} через c_1, а c_{2}(E)/2 через c_{2}(E). Теорема 1.8 доказана. Доказательство теоремы 1.9. Положим Предположим, что x\geqslant x_{0}(a, b), где x_{0}(a, b) >0 – постоянная, зависящая только от a и b; постоянную x_{0}(a, b) выберем позднее, она будет велика. Мы собираемся применить теорему 1.6. Ясно, что
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{ord}_{A}(n)=\#\bigl\{j\geqslant 0\colon a^{j^{b}}=n\bigr\}\leqslant 1,\qquad n\in\mathbb{N}, \\ N_{A}(x)=\#\bigl\{j\geqslant 0\colon a^{j^{b}}\leqslant x\bigr\} =y+1,\quad \text{где}\quad y:=\biggl[\biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Поскольку \operatorname{ord}_{A}(1)=1, видим, что
\begin{equation*}
\rho_{A}(x)= \max_{n\leqslant x} \operatorname{ord}_{A}(n) =1.
\end{equation*}
\notag
Имеем
\begin{equation}
y\geqslant 10,\qquad \biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}\leqslant N_{A}(x)\leqslant 2 \biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b},\qquad N_{A}(x/2)\geqslant \frac{1}{\sqrt{8}}\, N_{A}(x),
\end{equation}
\tag{3.46}
если x_{0}(a, b) выбрано достаточно большим. Из (3.46) следует, что (1.4) и (1.5) выполнены.
Покажем, что
\begin{equation}
\sum_{0\leqslant k\leqslant y}\, \sum_{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}}\frac{\lambda(k,p) \ln p}{p}\leqslant \gamma_{2}(a, b) y^{2},
\end{equation}
\tag{3.47}
где
\begin{equation*}
\lambda(k,p) = \#\Lambda (k, p),\qquad \Lambda(k,p):= \bigl\{k<j\leqslant y\colon a^{j^{b}}\equiv a^{k^{b}}\, (\operatorname{mod} p)\bigr\},
\end{equation*}
\notag
и \gamma_{2}(a, b) – положительная постоянная, зависящая только от a и b.
Зафиксируем целое k с условием 0\leqslant k \leqslant y. Имеем
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}} \frac{\lambda(k,p)\ln p}{p}= \sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ p\mid a\text{ или }p\mid (a-1)}} + \sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ (p,a)=1\text{ и }(p,a-1)=1}} =S_1+ S_2.
\end{equation*}
\notag
Поскольку \lambda (k, p)\leqslant y, получаем
\begin{equation*}
S_1\leqslant y \sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ p\mid a\text{ или }p\mid (a-1)}}\frac{\ln p}{p}\leqslant y \sum_{\substack{p:\\ p\mid a\text{ или }p\mid (a-1)}}\frac{\ln p}{p}= c_{1}(a)y,
\end{equation*}
\notag
где c_{1}(a)>0 – постоянная, зависящая только от a.
Пусть p лежит в диапазоне суммирования S_2. Поскольку (a,p)=1, имеем a^{p-1}\equiv 1\ (\operatorname{mod} p) (малая теорема Ферма). Пусть h_{a}(p) – порядок a по модулю p, т. е. h_{a}(p) – наименьшее натуральное число h такое, что a^{h}\equiv 1\ (\operatorname{mod} p). Так как (p,a-1)=1, мы видим, что 1<h_{a}(p)\leqslant p-1. Пусть j\in \Lambda (k, p). Тогда Поскольку получаем Следовательно (см., например, [2; гл. VI]), j^{b}-k^{b}\equiv 0\ (\operatorname{mod} h_{a}(p)).Будем использовать следующий результат Конягина [9; теорема 2]. Пусть m, n\in \mathbb{N}. Положим где a_{0}, \dots, a_{n} – целые числа с условием (a_{0},\dots, a_{n}, m)=1. Обозначим через \rho (f, m) число решений сравнения f(x)\equiv 0\ (\operatorname{mod} m). Тогда где c – положительная абсолютная постоянная.Определим
\begin{equation*}
U=\bigl\{j\in \{0,\dots, h_{a}(p)-1\}\colon j^{b}-k^{b}\equiv 0 \ (\operatorname{mod} h_{a}(p))\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Согласно (3.48) получаем Видно, что
\begin{equation*}
\lambda (k, p) \leqslant \sum_{j_{0}\in U} \#\{t\in \mathbb{Z}\colon 1\leqslant j_{0}+h_{a}(p)t\leqslant y\}.
\end{equation*}
\notag
Имеем
\begin{equation*}
(\ln x)^{1/ (2b)} \leqslant \biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}-1,
\end{equation*}
\notag
если x_{0}(a,b) выбрано достаточно большим. Следовательно,
\begin{equation*}
h_{a}(p) \leqslant p-1 < p\leqslant (\ln x)^{1/ (2b)} \leqslant \biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}-1\leqslant y.
\end{equation*}
\notag
Для любого j_{0}\in U имеем
\begin{equation*}
\#\{t\in \mathbb{Z}\colon 1\leqslant j_{0}+h_{a}(p)t\leqslant y\}\leqslant \frac{y}{h_{a}(p)}+1\leqslant \frac{2y}{h_{a}(p)}.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\lambda (k, p)\leqslant \frac{2y}{h_{a}(p)} \#U \leqslant \frac{2y}{h_{a}(p)} cb \bigl(h_{a}(p)\bigr)^{1-1/b}= c_{2}(b) \frac{y}{\bigl(h_{a}(p)\bigr)^{1/b}},
\end{equation*}
\notag
где c_{2}(b)=2cb – положительная постоянная, зависящая только от b.
Получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_2 &= \sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ (p,a)=1\text{ и }(p,a-1)=1}}\frac{\lambda(k,p)\ln p}{p}\leqslant c_{2}(b) y\sum_{\substack{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}:\\ (p,a)=1\text{ и }(p,a-1)=1}}\frac{\ln p}{p(h_{a}(p))^{1/b}} \notag \\ &\leqslant c_{2}(b) y\sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1}}\frac{\ln p}{p(h_{a}(p))^{1/b}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.49}
Положим
\begin{equation*}
D(z)=\sum_{n\leqslant z} d_n,\qquad \text{где}\quad d_n= \sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1\\ h_{a}(p)=n}}\frac{\ln p}{p},\quad n=1, 2, \dots\,.
\end{equation*}
\notag
Пусть z\geqslant 100. Имеем
\begin{equation*}
D(z)=\sum_{n\leqslant z} d_n= \sum_{n\leqslant z} \sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1\\ h_{a}(p)=n}}\frac{\ln p}{p}.
\end{equation*}
\notag
Пусть n и p лежат в диапазоне суммирования. Тогда h_{a}(p)=n и, следовательно, a^{n}\equiv 1\ (\operatorname{mod} p), т. е. p\mid (a^{n}-1). Положим P(z)=\prod_{n\leqslant z}(a^{n}-1). Получаем
\begin{equation*}
D(z)\leqslant \sum_{p \,|\, P(z)}\frac{\ln p}{p} \leqslant c_{0}\ln\ln P(z),
\end{equation*}
\notag
где c_{0}>0 – абсолютная постоянная. Поскольку
\begin{equation*}
P(z)\leqslant \prod_{n\leqslant z} a^{n}= a^{1+2+\dots+[z]}\leqslant a^{z^{2}},
\end{equation*}
\notag
получаем D(z)\leqslant c_1(a)\ln z, где c_1(a)>0 – постоянная, зависящая только от a. Следовательно, D(z)\leqslant c(a)\ln (z+1) для любого вещественного z\geqslant 1, где c(a)>0 – постоянная, зависящая только от a. Следовательно, D(z)z^{-1/b}\to 0 при z\to +\infty. Применяя суммирование по частям, имеем
\begin{equation*}
\sum_{n\leqslant z}\frac{d_n}{n^{1/b}}=\frac{D(z)}{z^{1/b}}+ \frac{1}{b}\int_{1}^{z}\frac{D(t)}{t^{1+1/b}}\,dt
\end{equation*}
\notag
для любого вещественного z\geqslant 1. Получаем
\begin{equation*}
\sum_{n\geqslant 1}\frac{d_n}{n^{1/b}}= \frac{1}{b}\int_{1}^{+\infty}\frac{D(t)}{t^{1+1/b}}\,dt\leqslant \frac{c(a)}{b}\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln (t+1)}{t^{1+1/b}}\,dt = c_{3}(a,b),
\end{equation*}
\notag
где c_3(a, b)>0 – постоянная, зависящая только от a и b.
Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{n\geqslant 1}\frac{d_{n}}{n^{1/b}}&=\sum_{n\geqslant 1} \sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1\\ h_{a}(p)=n}}\frac{\ln p}{p (h_{a}(p))^{1/b}}=\sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1}} \frac{\ln p}{p (h_{a}(p))^{1/b}}\sum_{\substack{n\geqslant 1:\\ h_{a}(p)=n}}1 \\ &=\sum_{\substack{p:\\ (p,a)=1}} \frac{\ln p}{p (h_{a}(p))^{1/b}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно (см. (3.49)), S_{2}\leqslant c_4(a,b)y, где c_4(a,b)>0 – постоянная, зависящая только от a и b, и
\begin{equation*}
\sum_{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}} \frac{\lambda(k,p)\ln p}{p}=S_1+S_2 \leqslant \bigl(c_1(a)+ c_4 (a, b)\bigr)y= c_{5}(a, b)y.
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{0\leqslant k\leqslant y}\sum_{p\leqslant (\ln x)^{1/(2b)}}\frac{\lambda(k,p)\ln p}{p}&\leqslant \sum_{0\leqslant k\leqslant y} c_{5}(a,b)y= c_{5}(a,b)y(y+1) \\ &\leqslant 2c_{5}(a, b)y^{2} = \gamma_{2}(a,b) y^{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \gamma_{2}(a,b)>0 – постоянная, зависящая только от a и b. Неравенство (3.47) доказано. Мы видим, что (1.6) выполнено с \alpha=1/(2b).
Применяя теорему 1.6, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\bigl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \text{существуют }p\in \mathbb{P}\text{ и }j\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0} \text{ такие, что }p+ a^{j^{b}}=n\bigr\} \\ &\quad\geqslant c_{2}(a,b)x\,\frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c_{2}(a,b)>0 – постоянная, зависящая только от a и b.
Имеем если x_{0}(a,b) выбрано достаточно большим. Применяя (3.46) и учитывая, что \rho_{A}(x)=1, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{N_{A}(x)}{N_{A}(x)+\rho_{A}(x)\ln x}&\geqslant \frac{(\ln x/\ln a)^{1/b}}{2(\ln x/\ln a)^{1/b}+\ln x} \\ &\geqslant \frac{(\ln x/\ln a)^{1/b}}{2\ln x+\ln x}= \frac{1}{3 (\ln a)^{1/b}}\frac{1}{(\ln x)^{1-1/b}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\bigl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \text{существуют }p\in \mathbb{P}\text{ и }j\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}\text{ такие, что }p+ a^{j^{b}}=n\bigr\} \\ &\qquad\geqslant \frac{c_{2}(a,b)}{3 (\ln a)^{1/b}} \frac{x}{(\ln x)^{1-1/b}} = c_{1}(a, b)\frac{x}{(\ln x)^{1-1/b}} , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c_{1}(a,b)>0 – постоянная, зависящая только от a и b.
Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\#\bigl\{1\leqslant n \leqslant x\colon \text{существуют }p\in \mathbb{P}\text{ и }j\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}\text{ такие, что }p+ a^{j^{b}}=n\bigr\} \\ &\qquad\leqslant \#\bigl\{(p,j)\in \mathbb{P}\times \mathbb{Z}_{\geqslant 0}\colon p\leqslant x\text{ и }a^{j^{b}}\leqslant x\bigr\} = \#\{p\colon p\leqslant x\}\, \#\bigl\{j\geqslant 0\colon a^{j^{b}}\leqslant x\bigr\} \\ &\qquad=\pi(x) N_{A}(x) \leqslant c\,\frac{x}{\ln x}\,2\biggl(\frac{\ln x}{\ln a}\biggr)^{1/b}= c_{2}(a, b)\, \frac{x}{(\ln x)^{1-1/b}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где c_{2}(a, b)>0 – постоянная, зависящая только от a и b.
Поскольку для p=2 и j=0, утверждение тривиально для 3 \leqslant x < x_{0}(a,b). Теорема 1.9 доказана.Автор хотел бы поблагодарить Сергея Владимировича Конягина за множество полезных обсуждений и предложений, а также анонимного рецензента за полезные комментарии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rad23}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|