О приближении функций на сфере

Пусть $S^n$ – единичная сфера в $\mathbf R^{n+1}$, $n\geqslant 1$, с центром в начале координат, $\|*\|_p$ – норма пространства $L_p(S^n)$, $1\leqslant p\leqslant\infty$ $(L_\infty(S^n)\equiv C(S^n))$.
В работе решаются задачи, поставленные П. Л. Бутцером, Г. Йоненом [4] и М. Веренсом (см. РЖ. Мат. 1982. № 8 Б 60), а именно, доказываются прямая теорема наилучшего приближения для модуля гладкости произвольного (дробного) порядка $r$ $(r>0)$ :
$$\omega_r(f;\tau)_p\colon=\sup_{0<t\leqslant\tau}\|(E-\operatorname{sh}_t)^{r/2}f\|_p, \qquad 0<\tau<\pi,$$
где $\operatorname{sh}_t$ – оператор сдвига на сфере:
$$(\operatorname{sh}_tf)(\Theta)=\frac{\Gamma (n/2)}{2\pi^{n/2}(\sin t)^{n-1}}\int_{\Theta\cdot \mu=\cos t}f(\mu)\,dt(\mu),\qquad 0<t<\pi,$$
а также ее эквивалентность $K$-функционалу.
Частные случаи установленных результатов были известны из работ Г. Г. Кушниренко, П. Л. Бутцера и Г. Йонена, Й. Лёфстрёма и Й. Петре, С. Павелке, П. И. Лизоркина и С. М. Никольского, Г. А. Калябина и др.