Критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов редуцированных абелевых $p$-групп

Рассмотрим редуцированные абелевы $p$-группы ($p\geq3$) $A_1$ и $A_2$. Мы доказываем, что группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}A_1$ и $\operatorname{Aut}A_2$ элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда группы $A_1$ и $A_2$ эквивалентны в логике второго порядка, ограниченной мощностями базисных подгрупп групп $A_1$ и $A_2$.