Большие уклонения ветвящихся процессов в случайной среде с произвольным начальным числом частиц

Нами рассматривается ветвящийся процесс $Z_n$ с дробно-линейной производящей функцией распределения числа непосредственных потомков в случайной среде $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_n\dots)$, представляющей собой последовательность независимых одинаково распределенных величин. Известно, что при определенных условиях имеет место эквивалентность
$$\mathsf P(\ln Z_n\geq\theta n\mid Z_0=1)\sim I(\theta)\mathsf P(S_n\geq\theta n)$$
при $n\to\infty$, $I(\theta)>0$, где $S_n$ есть сопровождающее случайное блуждание. В этих условиях в работе получена асимптотика вероятностей больших уклонений $\mathsf P(\ln Z_n\geq\ln m+\theta n\mid Z_0=m)$ при $n\to\infty$ и $m$ конечном или стремящемся к бесконечности.