О свойствах решений задачи Коши для вырождающегося вне отрезка уравнения Шредингера и спектральных аспектах регуляризации

Рассматривается эволюционное уравнение Шредингера с производящим оператором второго порядка на прямой. Исследуется корректная постановка задачи Коши для уравнения Шредингера с вырожденным оператором, характеристическая форма которого обращается в нуль вне некоторого отрезка $I=[-l,l]$ на прямой $\mathbb R$. Определены условия на начальные данные задачи, необходимые и достаточные для существования и единственности ее решения на заданном временном промежутке. Рассматривается также последовательность регуляризованных задач Коши с равномерно эллиптическими операторами и изучаются вопросы о сходимости последовательности решений невырожденных задач к решению вырожденной задачи, а также о сходимости регуляризованных полугрупп преобразований в сильной операторной топологии. Доказана расходимость произвольной последовательности решений регуляризованных задач с начальными данными, не удовлетворяющими условию существования решения. Однако не исключена возможность существования такой подпоследовательности параметров регуляризации, что соответствующая последовательность регуляризованных полугрупп сходится в сильной операторной топологии равномерно на любом отрезке. В работе дано описание множества всех возможных частичных пределов последовательности регуляризованных полугрупп в терминах совокупности самосопряженных расширений вырожденного оператора. Вопрос о достижимости каждого из возможных частичных пределов подпоследовательностью регуляризованных полугрупп остается открытым.
В работе рассматривается также задача Коши для уравнения Шредингера, производящий оператор которого является симметрическим вырождающимся линейным дифференциальным оператором в гильбертовом пространстве $H=L_2(\mathbb R)$. Исследуется вопрос о зависимости поведения последовательности регуляризованных полугрупп от выбора регуляризации производящего оператора. Определена линейная самосопряженная регуляризация задачи Коши с вырожденным оператором как направленное множество корректных задач, аппроксимирующих исходную. В классе линейных самосопряженных регуляризаций вырожденного оператора определено множество правильных регуляризаций, для которых корректность и такие свойства регуляризуемости задачи Коши с вырожденным оператором, как сходимость и слабая сходимость последовательности регуляризованных решений, определяются его индексами дефекта. Получены достаточные и необходимые условия сходимости в сильной и в слабой операторных топологиях последовательности правильно регуляризованных полугрупп.