| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О почти периодических траекториях управляемых систем с обратной связью в форме sweeping процессов М. И. Каменскийa, В. В. Обуховскийb, Г. Г. Петросянb a Воронежский государственный университет b Воронежский государственный педагогический университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070088 
Реферативные базы данных:
  ВведениеМоделирование процессов в системах управления с обратной связью с помощью дифференциальных включений и вариационных неравенств различных типов в конечномерных и бесконечномерных пространствах является актуальной задачей современной математики. В частности, значительный интерес представляет исследование управляемых систем, динамика которых описывается некоторыми дифференциальными уравнениями или включениями в бесконечномерном банаховом пространстве с управляющими параметрами. Во многих случаях ограничения по обратной связи, накладываемые на выбор управления, рассматриваются как решения так называемых sweeping процессов в гильбертовых пространствах, зависящих от состояния системы. Фундаментальные теоремы о существовании, единственности и непрерывной зависимости решений для систем со sweeping процессами, были получены Moreau [1], Monteiro Marques [2], Valadier [3], Adly и Le [4], Brogliato и Thibault [5], Castaing и Monteiro Marques [6], Paoli [7]. Пусть H1,…,Hp и W1,…,Wq – гильбертовы пространства. Мы рассматриваем следующую управляемую систему с обратной связью: где i=1,…,p, j=1,…,q, Cj:R⊸Wj – многозначные функции с выпуклыми замкнутыми значениями, Ai:D(Ai)⊂Hi→Hi – линейные замкнутые операторы, порождающие C0-полугруппы операторов {eAit,t⩾ в пространствах H_i, \gamma_j>0 – заданные константы. Через N_{C_j(t)}(u_j) обозначен нормальный конус, определяемый для замкнутого выпуклого множества C_j(t)\subset W_j следующим образом:
\begin{equation}
N_{C_j(t)}(u_j)=\begin{cases} \bigl\{\xi\in W_j\colon \langle\xi,c-u_j\rangle\leqslant 0\text{ для всех }c\in C_j(t)\bigr\}, &\text{если }u_j \in C_j(t), \\ \varnothing, &\text{если }u_j\notin C_j(t), \end{cases}
\end{equation}
\tag{0.3}
а отображения
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_i\colon\mathbb R\times H_1\times\dotsb\times H_p\times W_1 \times\dotsb\times W_q\to H_i, \\ g_j\colon\mathbb R\times H_1\times\dotsb\times H_p\times W_1 \times\dotsb\times W_q\to W_j \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
являются нелинейными и липшицевыми по всем переменным, кроме первой. Мы приводим теорему о существовании и единственности почти периодического решения для системы (0.1), (0.2), а также устанавливаем для нее аналог принципа усреднения.
1. Sweeping процессы в гильбертовом пространствеПусть W – гильбертово пространство. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C(W) &=\{A\subset W\colon A-\text{непусто и замкнуто}\}; \\ Cb(W) &=\{A\in C(W)\colon A-\text{ограничено}\}; \\ Cv(W) &= \{A\in C(W)\colon A-\text{выпукло}\}; \\ K(W) &=\{A\in C(W)\colon A-\text{компактно}\}; \\ Kv(W) &= \{A\in K(W)\colon A-\text{выпукло}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пусть M_1, M_2\in K(W); тогда хаусдорфово расстояние между ними будем обозначать как d_W(M_1,M_2). Пусть мультифункция C\colon\mathbb R\to K(W) такова, что
Для мультифункции C\colon\mathbb R\to Kv(W) рассмотрим следующий sweeping процесс с возмущением: где h\colon\mathbb R\to W – ограниченная измеримая функция и \gamma>0.Используя результаты работы [8], можно показать, что при выполнении условия (W2) для каждого начального условия u(t_0)\in C(t_0) sweeping процесс (1.2) допускает единственное абсолютно непрерывное решение \widehat u, удовлетворяющее (1.2) почти для всех t\geqslant t_0. Более того, справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть h\colon\mathbb R\to W – ограниченная измеримая функция. Предположим, что мультифункция C\colon\mathbb R\to Kv(W) удовлетворяет условиям (W1), (W2), (W3). Тогда sweeping процесс (1.2) допускает абсолютно непрерывное ограниченное решение \widehat u, определенное на \mathbb R. Замечание 1. Если u является решением (1.2), определенным для t\geqslant t_0, то u(t)\in C(t), для всех t\geqslant t_0, поскольку N_{C(t)}(u(t)) в противном случае не определено. В частности, если \sup\{\|c\|\colon c\in C(t),\,t\in\mathbb R\}\leqslant K для некоторого K>0, то \|u(t)\|\leqslant K для любого решения u уравнения (1.2) с начальным условием u(t_0)\in C(t_0) и t\geqslant t_0. Мы будем рассматривать Cb(W) как метрическое пространство, снабженное хаусдорфовой метрикой d_W. Определение 1 [9]. Непрерывная мультифункция \Phi\colon\mathbb R\to Cb(W) называется почти периодической, если для любого \varepsilon>0 существует число p(\varepsilon)>0, обладающее тем свойством, что каждый отрезок длины p(\varepsilon)>0 вещественной прямой содержит хотя бы одну точку s такую, что Понятие однозначной почти периодической функции \phi\colon\mathbb R\to W см., например, в [10]. Отметим работы [11]–[14], посвященные исследованию многозначных почти периодических отображений и задаче существования почти периодических решений для различных классов дифференциальных уравнений. Справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и пусть \widehat u – абсолютно непрерывное ограниченное решение включения (1.2). Если обе функции h(t) и C(t) почти периодические, то \widehat u является единственным почти периодическим решением и удовлетворяет следующей оценке: 2. Существование почти периодического решения системы, описываемой дифференциальными уравнениями и sweeping процессамиРассмотрим в гильбертовом пространстве H следующее дифференциальное уравнение: где A удовлетворяет условию а \varphi – почти периодическая функция. Известно (см. [15]), что дифференциальное уравнение (2.1) имеет единственное почти периодическое решение и при этом
\begin{equation*}
\|y\|_{C(\mathbb R,H)}\leqslant\frac{1}{\alpha}\|\varphi\|_{C(\mathbb R,H)}.
\end{equation*}
\notag
Пространство почти периодических функций на \mathbb R со значениями в гильбертовом пространстве H будем обозначать через AP(\mathbb R;H). Определение 2. Отображение p\colon\mathbb R\times H\to H называется равномерно почти периодическим, если для любого \varepsilon>0 и r>0 найдется l(\varepsilon,r)>0 такое, что в каждом интервале [t_0,t_0+l(\varepsilon,r)] существует \tau, для которого Известно (см., например, [16]), что если отображение p\colon\mathbb R\times H\to H равномерно почти периодично и функция k\colon\mathbb R\to H является почти периодической, то функция суперпозиции \widehat p\colon\mathbb R\to H также почти периодическая.Будем считать, что выполняются следующие условия для системы (0.1), (0.2):
Из этих предположений ясно, что соответствующие функции суперпозиции
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f_i\bigl(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)\bigr), \\ &g_j\bigl(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
почти периодические, если x_i и u_j почти периодические для всех i=1,\dots,p, j=1,\dots,q. Будем также полагать, что операторы A_i\colon D(A_i)\subset H_i\to H_i удовлетворяют условию (A) с константами \alpha_i.
\begin{equation*}
(x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q) \in AP(\mathbb R;H_1)\times\dotsb\times AP(\mathbb{R};H_p) \times AP(\mathbb R;W_1)\times\dotsb\times AP(\mathbb{R};W_q)
\end{equation*}
\notag
называется решением задачи (0.1), (0.2), если функции x_i и u_j удовлетворяют соотношениям (0.1), (0.2). Теперь рассмотрим следующее понятие (см. [17]). Множество \mathbb X называется обобщенным метрическим пространством, если каждой паре элементов (\mathbf x,\mathbf y) из этого пространства сопоставлен вектор
\begin{equation*}
\overline{\mathbf\rho}(\mathbf x,\mathbf y) =\bigl(\rho_1(\mathbf x,\mathbf y),\rho_2(\mathbf x,\mathbf y), \dots,\rho_n(\mathbf x,\mathbf y)\bigr)^{\top}
\end{equation*}
\notag
из вещественного n-мерного пространства \mathbb R^n таким образом, что все обычные свойства метрики выполняются в векторном смысле. Функция \overline{\boldsymbol\rho}\colon\mathbb X\times\mathbb X\to\mathbb R^n называется векторной метрикой. Основные определения и факты из теории обычных метрических пространств естественным образом переносятся на обобщенные метрические пространства. Определение 4. Оператор F\colon\mathbb X\to\mathbb X называется обобщенным отображением сжатия, если для любых \mathbf x,\mathbf y\in\mathbb X он удовлетворяет следующему условию:
\begin{equation*}
\overline{\boldsymbol\rho}(F\mathbf x,F\mathbf y) \leqslant\mathbf Q\overline{\boldsymbol\rho}(\mathbf x,\mathbf y),
\end{equation*}
\notag
где \mathbf Q – вещественная квадратная неотрицательная n\times n-матрица, спектральный радиус которой \operatorname{spr}\mathbf Q<1. Теорема 3 [17]. Пусть оператор F\colon\mathbb X\to\mathbb X является обобщенным отображением сжатия. Тогда он имеет единственную неподвижную точку. Теорема 4 [18]. Предположим, что \Gamma=\operatorname{diag}(\lambda_i), \lambda_i>0, i=1,\dots,n, – диагональная матрица и M=(m_{i,j})^n_{i,j=1} – матрица с неотрицательными элементами. Спектральный радиус \operatorname{spr}(\Gamma^{-1}M)<1 тогда и только тогда, когда матрица -\Gamma+M экспоненциально устойчива. Отметим, что AP(\mathbb R;H_1)\times\dotsb\times AP(\mathbb R;H_p) \times AP(\mathbb R;W_1)\times\dotsb\times AP(\mathbb R;W_q), в дальнейшем обозначаемое как \prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i)\times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j), можно рассматривать как обобщенное метрическое пространство с векторной метрикой
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\overline{\boldsymbol\rho}_{\mathbf{AP}}((x^1_1,\dots,x^1_p,u^1_1,\dots,u^1_q); (x^2_1,\dots,x^2_p,u^2_1,\dots,u^2_q)) \\ &\qquad=\bigl(\|x^1_1-x^2_1\|_{AP(\mathbb R;H_1)};\dots; \|x^1_p-x^2_p\|_{AP(\mathbb R;H_p)}; \\ &\qquad\qquad \|u^1_1-u^2_1\|_{AP(\mathbb R;W_1)}; \dots;\|u^1_q-u^2_q\|_{AP(\mathbb R;W_q)}\bigr)^{\top}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Построим разрешающий оператор задачи (0.1), (0.2)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda\colon\prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i) \times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j) &\to\prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i)\times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j), \\ \Lambda(x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q) &=(y_1,\dots,y_p,v_1,\dots,v_q). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Здесь y_i – решения дифференциальных уравнений с \varphi_i(t)=f_i(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)), а v_j – решения sweeping процессов с h_j(t)=g_j(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)). Решением задачи (0.1), (0.2) является неподвижная точка оператора \Lambda, поэтому в дальнейшем необходимо показать ее существование. Лемма 1. Пусть y^1_i, y^2_i – решения дифференциальных уравнений (2.2) и v^1_j, v^2_j – решения sweeping процессов (2.3). При выполнении условий (A), (W1)–(W3), (f1), (f2), (g1), (g2) для всех функций x^1_i,x^2_i\in AP(\mathbb R;H_i) и u^1_j,u^2_j\in AP(\mathbb R;W_j) имеет место соотношение
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\overline{\boldsymbol\rho}_{\mathbf{AP}} ((y^1_1,\dots,y^1_p,v^1_1,\dots,v^1_q); (y^2_1,\dots,y^2_p,v^2_1,\dots,v^2_q)) \nonumber \\ &\qquad\leqslant\mathbf Q\overline{\boldsymbol\rho}_{\mathbf{AP}} ((x^1_1,\dots,x^1_p,u^1_1,\dots,u^1_q); (x^2_1,\dots,x^2_p,u^2_1,\dots,u^2_q)), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
где
\begin{equation*}
\mathbf Q=\begin{pmatrix} \dfrac{2k_{1,1}}{\alpha_1} &\dfrac{2k_{2,1}}{\alpha_1} &\dots &\dfrac{2k_{p,1}}{\alpha_1} &\dots &\dfrac{2k_{p+q,1}}{\alpha_1} \\ \dfrac{2k_{1,2}}{\alpha_2} &\dfrac{2k_{2,2}}{\alpha_2} &\dots &\dfrac{2k_{p,2}}{\alpha_2} &\dots &\dfrac{2k_{p+q,2}}{\alpha_2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{2k_{1,p}}{\alpha_p} &\dfrac{2k_{2,p}}{\alpha_p} &\dots &\dfrac{2k_{p,p}}{\alpha_p} &\dots &\dfrac{2k_{p+q,p}}{\alpha_p} \\ \dfrac{2m_{1,1}}{\gamma_1} &\dfrac{2m_{2,1}}{\gamma_1} &\dots &\dfrac{2m_{p,1}}{\gamma_1} &\dots &\dfrac{2m_{p+q,1}}{\gamma_1} \\ \dfrac{2m_{1,2}}{\gamma_2} &\dfrac{2m_{2,2}}{\gamma_2} &\dots &\dfrac{2m_{p,2}}{\gamma_2} &\dots &\dfrac{2m_{p+q,2}}{\gamma_2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \dfrac{2m_{1,q}}{\gamma_q} &\dfrac{2m_{2,q}}{\gamma_q} &\dots &\dfrac{2m_{p,q}}{\gamma_q} &\dots &\dfrac{2m_{p+q,q}}{\gamma_q} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
Из теорем 3, 4 и последней леммы получаем следующий основной результат данного раздела. Теорема 5. При выполнении условий (A), (W1)–(W3), (f1), (f2), (g1), (g2), если матрица
\begin{equation*}
\Xi=\begin{pmatrix} 2k_{1,1}-\alpha_1 &2k_{2,1} &\dots &2k_{p,1} &\dots &\dots &2k_{p+q,1} \\ 2k_{1,2} &2k_{2,2}-\alpha_2 &\dots &2k_{p,2} &\dots &\dots &2k_{p+q,2} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ 2k_{1,p} &2k_{2,p} &\dots &2k_{p,p}-\alpha_p &\dots &\dots &2k_{p+q,2} \\ 2m_{1,1} &2m_{2,1} &\dots &2m_{p,1} &2m_{p+1,1}-\gamma_1 &\dots &2m_{p+q,1} \\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ 2m_{1,q} &2m_{2,q} &\dots &2m_{p,q} &2m_{p+1,q} &\dots &2m_{p+q,q}-\gamma_q \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
экспоненциально устойчива, то задача (0.1), (0.2) имеет единственное почти периодическое решение. 3. Принцип усредненияПерейдем к рассмотрению следующей системы:
\begin{equation}
x'_i(t) =A_ix_i(t)+f_i\biggl(\frac{t}{\varepsilon}\,,t,x_1(t),\dots, x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)\biggr),\qquad t\in\mathbb R,\quad i=1,\dots,p,
\end{equation}
\tag{3.1}
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -u'_j(t) \in N_{C_j(t)}(u_j(t))+g_j(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)) +\gamma_ju_j(t), \\ t\in\mathbb R,\qquad j=1,\dots,q, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.2}
считая выполненными вышеперечисленные условия (A), (W1)–(W3), (g1), (g2), кроме (f1), (f2), которые заменим на следующие:
Для решения задачи (3.1), (3.2) вводится оператор
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda_\varepsilon\colon\prod^{p}_{i=1}AP(\mathbb{R};H_i) \times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j) &\to\prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i)\times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j), \\ \Lambda_\varepsilon(x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q) &=(y^\varepsilon_1,\dots,y^\varepsilon_p,v_1,\dots,v_q), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где y^\varepsilon_i – решения дифференциальных уравнений
\begin{equation}
y'_i(t)= A_iy_i(t)+\varphi^\varepsilon_i(t),\qquad t\in\mathbb R,
\end{equation}
\tag{3.3}
с \varphi^\varepsilon_i(t)=f_i(t/\varepsilon,t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)), а v_j – решения sweeping процессов с h_j(t)=g_j(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)). Из теоремы 5 следует, что при каждом \varepsilon>0 система (3.1), (3.2) имеет единственное решение (x^\varepsilon_1,\dots,x^\varepsilon_p,u^\varepsilon_1,\dots,u^\varepsilon_q). Совместно с (3.1) рассмотрим уравнения
\begin{equation}
x'_i(t)=A_i x_i(t)+f^0_i(t,x_1(t),\dots,x_p(t),u_1(t),\dots,u_q(t)),\qquad t\in\mathbb R,\quad i=1,\dots,p,
\end{equation}
\tag{3.4}
где
\begin{equation*}
f^0_i(t,x_1, \dots,x_p,u_1,\dots,u_q) =\lim_{T\to+\infty}\frac{1}{2T} \int^T_{-T}f_i(s,t,x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q)\,ds,
\end{equation*}
\notag
причем предел равномерен относительно x_1,\dots,x_p,u_1,\dots,u_q из ограниченного множества. Легко видеть, что каждое отображение f^0_i удовлетворяет условиям (\mathrm f'1), (\mathrm f'2), поэтому система (3.4), (3.2) имеет единственное решение x^0_1,\dots,x^0_p,u^0_1,\dots,u^0_q). Более того, имеет место следующее утверждение. Теорема 6. При выполнении условий (A), (W1)–(W3), (\mathrm f'1), (\mathrm f'2), (g1), (g2), решения (x^\varepsilon_1,\dots,x^\varepsilon_p,u^\varepsilon_1,\dots,u^\varepsilon_q) при \varepsilon\to 0 равномерно сходятся в пространстве
\begin{equation*}
\prod^p_{i=1}AP(\mathbb R;H_i)\times\prod^q_{j=1}AP(\mathbb R;W_j)
\end{equation*}
\notag
к функциям (x^0_1,\dots,x^0_p,u^0_1,\dots,u^0_q). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KamObuPet23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|