С. А. Кащенко, А. О. Толбей, “Бифуркации в логистическом уравнении с диффузией и запаздыванием в граничном условии”, Матем. заметки, 113:6 (2023), 940–944; Math. Notes, 113:6 (2023), 869

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 6, страницы 940–944
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13784 (Mi mzm13784)

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Краткие сообщения

Бифуркации в логистическом уравнении с диффузией и запаздыванием в граничном условии

С. А. Кащенко, А. О. Толбей

Региональный научно-образовательный математический центр при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова

PDF полного текста (379 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13784

Ключевые слова: логистическое уравнение, запаздывание, бифуркации, асимптотика, краевая задача, нормальная форма.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	21-71-30011
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда, проект № 21-71-30011, https://rscf.ru/project/21-71-30011/.

Поступило: 26.10.2022

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages 869–873
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050292

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

1. Введение

Рассмотрим хорошо известное (см., например, [1]–[4]) логистическое уравнение с запаздыванием, диффузией и краевыми условиями Неймана

$\begin{equation} \frac{\partial v}{\partial t}=-r v(t-T, x)[1+v]+d \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}, \qquad d>0, \end{equation} \tag{1}$

$\begin{equation} \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=0}=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}=0. \end{equation} \tag{2}$

Здесь

$t \ge t_0$ ,

$x \in [0, 1]$ . Принято считать, что функция

$u=1+v$ описывает динамику изменения плотности популяции, поэтому

$u(t)\ge 0$ . Параметр

$r$ называют мальтузианским коэффициентом. При значениях

$r$ , близких к

$\pi/2$ , наблюдается бифуркация Андронова–Хопфа. Асимптотика соответствующего цикла приведена в [5]–[8]. При

$r \gg 1$ в (1), (2) имеются релаксационные циклы. Они исследованы в [9].

В [10] уравнение (1) изучалось с более общими краевыми условиями

$\begin{equation} \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=0}=k_1 v|_{x=0}, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}=k_2 v|_{x=1}. \end{equation} \tag{3}$

Были определены значения параметров, при которых в (1), (3) возникают критические случаи в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия и для исследования всех решений в окрестности этого состояния равновесия были построены соответствующие нормальные формы.

Здесь предполагается, что в граничных условиях для (1) присутствует параметр запаздывания $h>0$ :

$\begin{equation} \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=0}=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}=\alpha v(t-h, 1). \end{equation} \tag{4}$

В настоящей работе рассматривается вопрос о роли параметра $h$ в бифуркационной задаче Андронова–Хопфа при изучении поведения решений (1), (4) из некоторой окрестности нулевого состояния равновесия. Основные предположения, которые открывают путь к применению аналитических методов исследования, состоят в том, что выполнено равенство

$\begin{equation} rT=\frac{\pi}{2} \end{equation} \tag{5}$

и параметр

$\alpha$ является достаточно малым: для некоторого фиксированного

$\alpha_1$ имеем соотношение

$\begin{equation} \alpha=\varepsilon \alpha_1, \qquad\text{где}\quad 0<\varepsilon \ll 1. \end{equation} \tag{6}$

При $\varepsilon=0$ характеристическое уравнение линеаризованной в нуле краевой задачи (1), (4) имеет вид

$\begin{equation} \lambda=-4 \pi^2dk^2-r\exp(-\lambda T), \qquad k=0, \pm 1, \pm 2, \dotsc\,. \end{equation} \tag{7}$

Условие (5) означает, что при

$k=0$ в (7) имеется пара чисто мнимых корней

$\pm i \pi (2T)^{-1}$ , а все остальные корни (7) имеют отрицательные вещественные части. Тем самым, в окрестности нуля краевой задачи (1), (4) имеется [11]–[14] локальное двумерное инвариантное интегральное многообразие, на котором эту краевую задачу можно с точностью до

$o(1)$ записать в виде скалярного комплексного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка – нормальной формы

$\begin{equation} \frac{d \xi}{d \tau}=a\xi+b \xi |\xi|^2. \end{equation} \tag{8}$

Здесь

$\tau=\varepsilon t$ – “медленное” время. Функции

$\xi(\tau)$ связаны с решениями (1), (4) асимптотическим равенством

$\begin{equation} v=\varepsilon^{1/2}v_1(t, \tau)+\varepsilon v_2(t, \tau, x)+\varepsilon^{3/2} v_3(t, \tau, x)+\dotsb, \end{equation} \tag{9}$

где

$\begin{equation} v_1(t, \tau)=\xi(\tau)\exp\bigl( i \pi (2T)^{-1}t\bigr)+\overline{\xi}(\tau) \exp \bigl( -i \pi (2T)^{-1}t \bigr), \end{equation} \tag{10}$

$v_j(t, \tau, x)$

$(4T)$ -периодичны по

$t$ . Коэффициенты

$a$ ,

$b$ и функции

$v_j(t, \tau, x)$ находятся в процессе применения алгоритма построения нормальной формы. После этого будут сделаны выводы о структуре решений (8), а значит, и краевой задачи (1), (4).

В п. 3 все построения будут проведены для изучения близких к (4), но нелинейных граничных условий

$\begin{equation} \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=0}=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}\bigg|_{x=1}=f(v(t-h, 1)), \end{equation} \tag{11}$

где

$\begin{equation} f(u)=\varepsilon\alpha u+au^2+bu^3. \end{equation} \tag{12}$

Затем будет рассмотрена краевая задача (1), (11) в предположении, что величина запаздывания

$h$ в граничном условии является достаточно большой: для некоторого фиксированного значения

$h_1>0$ выполнено условие

$\begin{equation} h=h_1 \varepsilon^{-1}. \end{equation} \tag{13}$

Этот случай существенно сложнее. Роль нормальной формы (8) будет играть распределенное уравнение с запаздыванием.

2. Построение нормальной формы для краевой задачи (1), (4)

Подставим в (1), (4) формальное выражение (9) и будем последовательно приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ . На первом шаге, собирая коэффициенты при $\varepsilon^{1/2}$ , получаем верное равенство. На следующем шаге находим, что

$\begin{equation*} v_2(t, \tau)=\frac{2-i}{5}\xi^2 \exp(i \pi T^{-1}t)+\overline{cc}. \end{equation*} \notag$

Здесь и ниже через

$\overline{cc}$ обозначено слагаемое, комплексно сопряженное к предыдущему. Собирая коэффициенты при

$\varepsilon^{3/2}$ , приходим к уравнению относительно

$v_3$ :

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{\partial v_3}{\partial t} =d\frac{\partial^2 v_3}{\partial x^2} -rv_3(t-T, \tau, x)-rv_2(t-T, \tau)v_1-rv_1(t-T, \tau)v_2, \\ \frac{\partial v_3}{\partial x}\bigg|_{x=0} =0, \qquad \frac{\partial v_3}{\partial x}\bigg|_{x=1}=\alpha_1 v_1(t-h, \tau). \end{gathered} \end{equation} \tag{14}$

Эта краевая задача является линейной относительно

$v_3$ и с периодическим воздействием, которое содержит гармоники по

$t$

$\begin{equation*} \exp (\pm i \pi (2T)^{-1}t) \qquad\text{и}\qquad \exp(\pm i \pi 3(2T)^{-1}t). \end{equation*} \notag$

Тогда

$v_3$ тоже ищем в виде суммы этих же гармоник с коэффициентами, зависящими от

$\tau$ и

$x$ :

$\begin{equation*} v_3(t, \tau, x)= v_{31}(\tau, x)\exp( i \pi (2T)^{-1}t)+\overline{cc}+v_{33}(\tau, x) \exp( 3i \pi (2T)^{-1}t)+\overline{cc}. \end{equation*} \notag$

Функция

$v_{33}(\tau, x)$ просто находится, а условие разрешимости соответствующего уравнения для

$v_{31}(\tau, x)$ состоит в выполнении равенств

$\begin{equation} \frac{\partial^2 v_{31}}{\partial x^2} -\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)\frac{\partial \xi}{\partial \tau}+b\xi |\xi|^2=0, \end{equation} \tag{15}$

$\begin{equation} \frac{\partial v_{31}}{\partial x}\bigg|_{x=0} =0, \qquad \frac{\partial v_{31}}{\partial x}\bigg|_{x=1}=\alpha_1 \exp( -i \pi h(2T)^{-1}) \xi(\tau), \end{equation} \tag{16}$

$\begin{equation} b=-\frac{\pi}{2}(3\pi-2+i(\pi+6))\biggl(10\biggl(1+\frac{4}{\pi^2}\biggr)\biggr)^{-1}, \qquad \operatorname{Re} b<0. \end{equation} \tag{17}$

Из (15) тогда получаем, что

$\begin{equation*} v_{31}(\tau, x)=\frac{1}{2}x^2 \biggl[\biggl(1+i\frac{\pi}{2} \biggr) \frac{\partial \xi}{\partial \tau}+b\xi |\xi|^2 \biggr], \end{equation*} \notag$

а из (16) окончательно приходим к уравнению относительно

$\xi(\tau)$ , т.е. к нормальной форме (8), где коэффициент

$b$ определен равенством (17), а для коэффициента

$a$ имеем равенство

$\begin{equation*} a=\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}\alpha_1 \exp( -i \pi h (2T)^{-1}). \end{equation*} \notag$

Отметим, что уравнение (8) интегрируется в явном виде. Приведем для примера наиболее интересное утверждение о решениях (8) и (1), (4).

Теорема 1. Пусть $\operatorname{Re} a>0$ и $\operatorname{Re} b<0$ . Тогда уравнение (8) имеет устойчивый цикл $\xi_0 \exp (i \varphi_0 \tau)$ , где

$\begin{equation*} \xi_0=(-\operatorname{Re} a (\operatorname{Re} b)^{-1})^{1/2}, \qquad \varphi_0=\operatorname{Im} a+\xi_0^2 \operatorname{Im} b, \end{equation*} \notag$

а краевая задача (1), (4) имеет устойчивый цикл

$v_0(t, x, \varepsilon)$ , для которого

$\begin{equation} v_0(t, x, \varepsilon)=\varepsilon^{1/2}\bigl(\xi_0 \exp [i (\pi (2T)^{-1}+\varepsilon \varphi_0 )t]+\xi_0 \exp [-i (\pi (2T)^{-1}+\varepsilon \varphi_0 )t ] \bigr)+O(\varepsilon). \end{equation} \tag{18}$

3. Нормальная форма для краевой задачи (1), (11)

Воспользуемся той же схемой построения нормальной формы из п. 2. Формальное выражение (9) подставим в (1), (11) и будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ .

Функцию $v_2$ представляем в виде

$\begin{equation*} v_2=v_{20}(x)|\xi|^2+[v_{21}+v_{22}(x)] \exp(i\pi T^{-1}t)+\overline{cc}. \end{equation*} \notag$

Тогда для определения

$v_{2j}(x)$ ,

$j=0, 1, 2$ , получаем равенства

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, dv^{''}_{20}-r v_{20}=0, \qquad v^{'}_{20}|_{x=0}=0, \qquad v^{'}_{20}|_{x=1}=2\beta, \qquad v_{21}=\frac{2-i}{5}, \\ dv^{''}_{22}-r(2i-1)v_{22}=-ir, \qquad v^{'}_{22}|_{x=0}=0, \qquad v^{'}_{22}|_{x=1}=\beta \exp(-i \pi T^{-1}h). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

В итоге получаем, что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, v_{20}=2\beta \bigl( \operatorname{sh} ((rd^{-1})^{1/2})\bigr)^{-1} \operatorname{ch} \bigl((rd^{-1})^{1/2}x\bigr), \\ v_{22}=\beta \exp(-2\pi i T^{-1}h)\bigl( \operatorname{sh} ((2i-1) rd^{-1})^{1/2}\bigr)^{-1} \operatorname{ch} \bigl(((2i-1)rd^{-1})^{1/2}x\bigr). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

На следующем шаге приходим к уравнению для

$u_3(t, \tau, x)$ . Из условия его разрешимости получаем уравнение относительно неизвестной амплитуды

$\xi(\tau, x):$

$\begin{equation} \frac{d\xi}{d\tau}=\alpha_1\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}A\xi +\bigl[B+b+C(2+A^2(2i-1)^{1/2})\bigr]\xi|\xi|^2, \end{equation} \tag{19}$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, A =\exp(-i\pi(2T)^{-1}h), \qquad B =d\biggl(1+i \frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}\bigl[3g+2\beta(v_{20}(1)+v_{22}(1))\bigr], \\ C =d^{3/2}r^{1/2}\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}(1-i). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Уравнение (19) является нормальной формой для краевой задачи (1), (11) в рассматриваемом случае (5), (6), поэтому имеет место аналог приведенной выше теоремы о связи решений (19) и (1), (11).

4. Нормальная форма в случае больших значений коэффициента $h$

Пусть выполнено условие (13). Выражение

$\begin{equation*} A=\exp(-i\pi (2T)^{-1} \varepsilon^{-1}h_1) \end{equation*} \notag$

является быстро осциллирующим по параметру

$\varepsilon$ при

$\varepsilon \to 0$ . Пусть величина

$\theta=\theta(\varepsilon) \in [0, 2\pi)$ определена по правилу

$\begin{equation*} \theta(\varepsilon)=(-i \pi h_1(2\varepsilon T)^{-1}) |_{\operatorname{mod}2\pi}. \end{equation*} \notag$

Тогда

$A=A(\theta)=\exp(i\theta)$ . Основное отличие рассматриваемого случая от тех, которые были рассмотрены в п. 2 и п. 3, состоит в том, что при условии (13) бесконечно много корней характеристического уравнения для линеаризованной в нуле краевой задачи (1), (11) стремятся к мнимой оси при

$\varepsilon \to 0$ . Тем самым реализуется критический случай бесконечной размерности. Такого типа критические случаи были рассмотрены в работах [5], [14]. И здесь построения базируются на использовании формального выражения (9), в котором фигурирует неизвестная амплитуда

$\xi(\tau)$ . Поэтому ограничимся тем, что приведем итоговое уравнение для определения амплитуды

$\xi(\tau)$ , которое играет роль нормальной формы:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{d \xi}{d \tau} &=-\alpha_1\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}A(\theta)\xi(\tau-h_1) +b\xi(\tau)|\xi(\tau)|^2 \nonumber \\ &\qquad -\biggl(1+i\frac{\pi}{2}\biggr)^{-1}A(\theta) \bigl[B_1 \xi(\tau-h_1)|\xi(\tau-h_1)|^2 \nonumber \\ & \qquad\qquad +B_2 \xi^2(\tau-2h_1)\overline{\xi}(\tau-h_1) +B_3 \xi^2(\tau-h_1)\overline{\xi}(\tau)\bigr] +B_4 \xi(\tau) |\xi(\tau-h_1)|^2, \end{aligned} \end{equation} \tag{20}$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, B_1 =3\gamma+2\beta v_{21}, \qquad B_2 =2\beta^2\bigl(A(\theta) \operatorname{cth} ((2i-1)rd^{-1})^{1/2}\bigr)+2 \operatorname{cth} ((rd^{-1})^{1/2}), \\ B_3 =(rd)^{1/2}(i-1)(2i-1)^{-1/2}\beta A(\theta), \qquad B_4 =-(1-i)(rd)^{1/2} 2\beta. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Сформулируем основной результат. Через

$\varepsilon_n(\theta_0)$ будем обозначать последовательность

$\begin{equation*} \varepsilon_n(\theta_0)=\pi h_1(2T(2\pi n-\theta_0))^{-1}. \end{equation*} \notag$

Теорема 2. Пусть выполнены условия (5), (6) и (13). Фиксируем произвольно $\theta_0 \in [0, 2\pi]$ , и пусть уравнение (20) при $A=A(\theta_0)=\exp(i \theta_0)$ имеет ограниченное при $\tau \to \infty$ решение $\xi_0(\tau)$ . Тогда при всех достаточно больших $n$ функция

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, v(t, x, \varepsilon) &= \varepsilon_n^{1/2}(\theta_0)\bigl[\xi_0(\tau) \exp (i \pi (2T)^{-1}t)+\overline{cc}\bigr] \\ &\qquad+\varepsilon_n(\theta_0)\bigl[v_{20}(x)|\xi_0(\tau)|^2 +[v_{21}+v_{22}(x)]\xi_0^2(\tau)\exp(i \pi T^{-1}t)+\overline{cc}\bigr], \qquad \tau=\varepsilon_n(\theta_0)t \end{aligned} \end{equation*} \notag$

удовлетворяет краевой задаче (1), (11) с точностью до

$O(\varepsilon^{3/2}_n(\theta_0))$ .

5. Выводы

В критических случаях построены нормальные формы для уравнения (1) с краевыми условиями (4) и (11). При дополнительном условии (13) нормальная форма является уравнением с запаздываниями (20). Варьируя параметр $h$ , можно управлять структурой решений краевой задачи в окрестности нулевого состояния равновесия.

Динамические свойства решений (20) могут быть существенно богаче, чем у решений (8). Интересно отметить, что уравнение (20) может иметь несколько простейших циклов вида $\rho \exp(i \varphi \tau)$ в зависимости от значений параметров этого уравнения.

Обратим внимание, что при $\varepsilon \to 0$ параметр $\theta$ бесконечно много раз пробегает все значения от нуля до $2\pi$ . Для различных $\theta$ количество простейших циклов и динамические свойства решений (20) могут меняться. Это означает, что при $\varepsilon \to 0$ в краевой задаче (1), (4) может происходить неограниченный процесс прямых и обратных бифуркаций.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	J. D. Murray, Mathematical Biology, v. II, Interdisciplinary Appl. Math., 18, Spatial Models and Biomedical Applications, Springer-Verlag, New York, 2003
2.	J. Wu, Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Appl. Math. Sci., 119, Springer-Verlag, New York, 1996
3.	Y. Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, Math. Sci. Engrg., 191, Academic Press, Boston, 1993
4.	S. A. Gourley, J. W. H. Sou, J. H. Wu, J. Math. Sci. (N.Y.), 124:4 (2004), 5119–5153
5.	С. А. Кащенко, Изв. вузов. Матем., 2020, № 10, 47–64
6.	С. А. Кащенко, Матем. заметки, 98:1 (2015), 85–100
7.	С. А. Кащенко, Матем. заметки, 102:2 (2017), 216–230
8.	G. Oster, J. Guckenheimer, The Hopf Bifurcation and Its Applications, Applied Math. Sci., 19, Springer, New York, 1976, 327–353
9.	S. A. Kashchenko, Automatic Control and Comp. Sci., 47 (2013), 470–494
10.	С. А. Кащенко, Д. О. Логинов, Матем. заметки, 106:1 (2019), 138–143
11.	J. K. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1977
12.	P. Hartman, Ordinary Differential Equations, Classics in App. Math., 38, Philadelphia, PA, USA, 2002
13.	A. D. Bruno, Local Methods in Nonlinear Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1989
14.	S. A. Kashchenko, Mathematics, 10:5 (2022), 775

Образец цитирования: С. А. Кащенко, А. О. Толбей, “Бифуркации в логистическом уравнении с диффузией и запаздыванием в граничном условии”, Матем. заметки, 113:6 (2023), 940–944; Math. Notes, 113:6 (2023), 869–873

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{KasTol23}

\by С.~А.~Кащенко, А.~О.~Толбей

\paper Бифуркации в~логистическом уравнении с~диффузией и запаздыванием в~граничном условии

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 113

\issue 6

\pages 940--944

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13784}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13784}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 113

\issue 6

\pages 869--873

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623050292}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85163207020}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13784

https://doi.org/10.4213/mzm13784

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i6/p940

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

I. S. Kashchenko, S. A. Kashchenko, I. N. Maslenikov, “Stability of Solutions to the Logistic Equation with Delay, Diffusion, and Nonclassical Boundary Conditions”, Dokl. Math., 2024
I. S. Kashchenko, S. A. Kashchenko, I. N. Maslenikov, “Stability of solutions to the logistic equation with delay, diffusion and nonclassical boundary conditions”, Doklady Rossijskoj akademii nauk. Matematika, informatika, processy upravleniâ, 517:1 (2024), 101

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	171
PDF полного текста:	13
HTML русской версии:	79
Список литературы:	30
Первая страница:	22

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Построение нормальной формы для краевой задачи (1), (4)

3. Нормальная форма для краевой задачи (1), (11)

4. Нормальная форма в случае больших значений коэффициента hh

5. Выводы

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

4. Нормальная форма в случае больших значений коэффициента $h$