М. Д. Ковалёв, А. А. Кулешов, “О некоторых свойствах непрерывных монотонных функций”, Матем. заметки, 113:6 (2023), 945–949; Math. Notes, 113:6 (2023), 874

В 1946 г. Люстерником [1] была поставлена следующая геометрическая

Задача эта была решена лишь в нескольких частных случаях [2], [3], например, когда круги вырождаются в полуплоскости. В случае, когда два круга превращаются в полуплоскости, а третий – в точку, лежащую внутри дополнения до этих полуплоскостей, известны невыпуклые катки. Эту задачу выделял и пропагандировал Колмогоров [4]. Однако до сих пор неизвестно, существуют ли в этой задаче Люстерника–Колмогорова выпуклые отличные от круга катки. Исследуя эту возможность, один из авторов статьи столкнулся с необходимостью сравнения двух непрерывных монотонных функций, что привело к формулировке и доказательству составляющих содержание этой заметки теорем.

2. Однозначность восстановления пары непрерывных монотонных функций по их разности и разности им обратных

Рассмотрим две непрерывные строго возрастающие функции

$F$ и

$f$ , заданные на полуинтервале

$[0,a)$ , где

$0<a\leq \infty$ . Пусть

$F(0)=f(0)=0$ и

$F(x)>f(x)$ при

$x\in [0,a)$ . Тогда на

$[0,a)$ определена и непрерывна разность

$h(x):=F(x)-f(x)$ и

$h(x)>0$ на

$(0,a)$ , а на полуинтервале

$[0,B)$ , где

$B:=\sup_{x\in [0,a)} f(x)$ (возможен случай

$B=+\infty$ ), также определена непрерывная разность обратных функций

$l(y):=f^{-1}(y)-F^{-1}(y)$ и

$l(y)>0$ на

$(0,B)$ . Мы докажем, что функции

$F$ и

$f$ однозначно восстанавливаются по функциям

$h$ и

$l$ . Точнее, допустим, что на

$[0,a)$ заданы также непрерывные и возрастающие функции

$G(x)$ и

$g(x)$ , удовлетворяющие условиям

$G(0)=g(0)=0$ и

$G(x)>g(x)$ при

$x\in [0,a)$ . Пусть

Доказательство. Допустим,

$b\leq B$ . Зададим в прямоугольнике

$\Pi \colon 0\leq x<a$ ,

$0\leq y< b$ два векторных поля:

$\begin{equation*} \vec l(x,y):=(-l(y),0), \qquad \vec h(x,y):=(0,-h(x)). \end{equation*} \notag$

Пусть отображение

$T_x$ , определенное в прямоугольнике

$\Pi$ , переводит точку

$p=(x,y)$ в точку

$p+\vec l(p)=(x- l(y),y)$ , также определим отображение

$\begin{equation*} T_y\colon p \mapsto p+\vec h(p)=(x,y-h(x)). \end{equation*} \notag$

Отображение

$T_y$ переносит точки, лежащие на вертикали

$x=c$ , вниз на

$h(c)$ . По принципу Кавальери площади фигур, лежащих в

$\Pi$ , сохраняются при отображении

$T_y$ . Такое же заключение можно сделать и об отображении

$T_x$ .

Если бы было $g=f$ , то и $G=f+h=F$ , и заключение теоремы справедливо. Таким образом, достаточно разобрать случай $g\ne f$ . Если $b<B$ , то можно считать, что $g(x_0)<f(x_0)$ в какой-то точке $x_0\in (0,a)$ . Если же $b=B$ , то в силу равноправности в условии теоремы пар функций $F$ , $f$ и $G$ , $g$ также можно считать, что $g(x_0)<f(x_0)$ в точке $x_0\in (0,a)$ . Тогда в силу непрерывности функций $f(x)-g(x)>\varepsilon >0$ при $x_0-\varepsilon_1 \leq x\leq x_0+\varepsilon_1$ , и в пересечении этой полосы с прямоугольником $\Pi$ найдется фигура $E$ ненулевой площади $S$ , лежащая между графиками функций $g$ и $f$ .

Рассмотрим бесконечную последовательность отображений

$\begin{equation*} \mathcal T_1:=T_x, \qquad \mathcal T_2:= T_yT_x, \qquad \mathcal T_3:= T_xT_yT_x, \qquad \mathcal T_4:= T_yT_xT_yT_x, \qquad \dotsc\,. \end{equation*} \notag$

Отображение

$\mathcal T_1=T_x$ переводит фигуру

$E$ в фигуру

$E_1$ , лежащую между графиками функций

$G$ и

$F$ . Действительно, поскольку любая точка

$p=(x,y)$ фигуры

$E$ лежит левее графика

$y=g(x)$ и правее графика

$y=f(x)$ , то точка

$p+\vec l(p)$ лежит левее графика

$y=G(x)$ и правее графика

$y=F(x)$ . Поскольку

$\mathcal T_2(E)=T_y(E_1)$ , отображение

$\mathcal T_2$ переводит фигуру

$E$ в фигуру

$E_2$ , лежащую между графиками функций

$g$ и

$f$ . Точно так же и далее. Хотя отображения

$\mathcal T_i$ выводят некоторые точки прямоугольника

$\Pi$ за его пределы, это не касается точек фигуры

$E$ . Площадь каждой из фигур

$E_i:=\mathcal T_i(E)$ равна

$S$ .

Рассмотрим теперь последовательность $(\Pi_i)_1^\infty$ прямоугольников $0\leq x\leq a_i,\ 0\leq y\leq b_i$ наименьшего размера, содержащих фигуры $E_i$ . Последовательности $a_i$ и $b_i$ длин их сторон не возрастают и ограничены снизу, а значит, сходятся. Если хотя бы одна из них сходится к нулю, то это приводит к противоречию с тем, что площадь каждой фигуры $E_i\subset \Pi_i$ равна $S>0$ .

Далее допустим, что

$\begin{equation*} \lim_{i\to \infty} a_i=\alpha \in (0,a), \qquad \lim_{i\to \infty} b_i=\beta \in (0,b), \end{equation*} \notag$

и приведем это допущение к противоречию. Имеется такое

$\Delta\in (0,\alpha)$ , что функции

$f$ ,

$F$ ,

$g$ ,

$G$ определены на

$[0,\alpha +\Delta]$ , а им обратные определены при

$0\leq y\leq \beta +\Delta$ . Пусть

$\begin{equation*} c:=g(\alpha-\Delta)>0, \qquad l := \min_{c\leq y\leq \beta+\Delta} l(y)>0 \end{equation*} \notag$

(неравенство

$c\leq \beta+\Delta$ вытекает из того, что фигуры

$E_i$ лежат выше графика

$y=g(x)$ , поэтому предположение

$\beta+\Delta <c$ влекло бы при достаточно больших

$i$ отсутствие точек этих фигур вблизи правой стороны

$x=\alpha$ прямоугольника

$[0,\alpha]\times[0,\beta]$ ). Пусть

$\delta:=\min \{l, \Delta \}>0$ . Очевидно, найдется четный номер

$2k$ , для которого

$b_{2k}\leq \beta+\Delta$ и

$a_{2k}<\alpha +{\delta}/{2}$ . Но тогда фигура

$E_{2k}$ лежит в прямоугольнике

$\Pi_{2k}$ :

$0\leq x\leq a_{2k}$ ,

$0\leq y\leq b_{2k}$ между графиками функций

$g$ и

$f$ , а фигура

$E_{2k+1}$ лежит в прямоугольнике

$0\leq x\leq a_{2k}-\delta<\alpha-{\delta}/{2}$ ,

$0\leq y\leq b_{2k}$ , ибо точки фигуры

$E_{2k}$ с координатой

$x\geq \alpha -\Delta$ переместятся влево не менее, чем на

$l$ (см. рис. 1).

Это противоречит тому, что

$\lim_{i\to \infty} a_i=\alpha$ . Таким образом, допущение

$\alpha>0$ ложно, и тем самым теорема доказана. В частности, доказано и равенство

$b=B$ .

3. Свойства площадей фигур специального вида

Пусть

$0<a<+\infty$ , функции

$F,f\in C[0,a]$ строго возрастают и удовлетворяют условиям

$F(0)=f(0)=0$ ,

$F(x)>f(x)$ для всех

$x\in(0,a]$ . В этом случае существуют строго возрастающие непрерывные обратные функции

Каждая из функций

$S_r$ и

$S_l$ является непрерывной и строго положительной на

$(0,x_0]$ .

Нетрудно построить пример, в котором неравенство

$S_l(t) \geqslant S_r(t)$ выполняется для некоторого

$t\in (0,x_0]$ . Наша цель – показать, что данное неравенство не может быть выполнено для всех

$t\in (0,x_0]$ .

Имеем

$V(t)=S_r(t)$ для всех

$t\in [0,u^{-1}(x_0)]$ и

$V(t)<S_r(t)$ для всех

$t\in(u^{-1}(x_0),x_0]$ , поэтому

4. Замечания и дополнения

Отметим, что теорема 1 очевидным образом обобщается на случай, в котором разность

$h(x)\geq 0$ и множество ее нулей не имеет точек сгущения на

$[0,a)$ . С другой стороны, если

$h(x)=0$ на произвольном интервале, то восстановление возрастающих функций

$F(x)$ и

$f(x)$ по разностям

$h(x)$ и

$l(y)$ становится невозможным. Например, разности

Также отметим, что множество точек

$t_0\in(0,x_0]$ , для которых согласно теореме 2 имеем

$S_l(t_0)<S_r(t_0)$ , является множеством положительной меры.

1. Введение

2. Однозначность восстановления пары непрерывных монотонных функций по их разности и разности им обратных

3. Свойства площадей фигур специального вида

4. Замечания и дополнения

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ