О рациональности производящей функции для числа корневых лесов циркулянтных графов

Пусть $\Phi(x)=\sum_{n=1}^\infty f_\Gamma(n)x^n$ – производящая функция для числа корневых лесов $f_\Gamma(n)$ в циркулянтном графе $\Gamma=C_n(s_1,s_2,\dots,s_k)$ либо $\Gamma=C_{2n}(s_1,s_2,\dots,s_k,n)$. Мы покажем, что $\Phi(x)$ является рациональной функцией с целочисленными коэффициентами, удовлетворяющей условию $\Phi(x)=-\Phi(1/x)$. Полученный результат мы иллюстрируем с помощью конкретных примеров.