А. А. Скутин, “Максимальные алгебры Ли среди локально нильпотентных дифференцирований”, Матем. сб., 212:2 (2021), 138–146; A. A. Skutin, “Maximal Lie subalgebras among locally nilpotent derivations”, Sb. Math., 212:2 (2021), 265

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2021, том 212, номер 2, страницы 138–146
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9360 (Mi sm9360)

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Максимальные алгебры Ли среди локально нильпотентных дифференцирований

А. А. Скутин

Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

PDF полного текста (431 kB) PDF английской версии (409 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9360

Аннотация: Исследуются максимальные подалгебры Ли среди локально нильпотентных дифференцирований алгебры многочленов. Дж. Фройденбургом была высказана гипотеза о том, что треугольная алгебра Ли локально нильпотентных дифференцирований алгебры многочленов является максимальной алгеброй Ли, содержащейся в множестве локально нильпотентных дифференцирований, и гипотеза о том, что каждая максимальная алгебра Ли, содержащаяся в множестве локально нильпотентных дифференцирований, сопряжена треугольной алгебре Ли. В настоящей работе мы доказываем справедливость первой части гипотезы и приводим контрпример ко второй ее части. Также мы покажем, что при некотором естественном условии, наложенном на максимальную алгебру Ли, существует сопряжение, переводящее эту алгебру Ли в треугольную алгебру Ли.
Библиография: 2 названия.

Ключевые слова: алгебра многочленов, алгебры Ли, локально нильпотентные дифференцирования.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований	19-01-00591-а
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 19-01-00591-а).

Поступила в редакцию: 07.12.2019 и 15.10.2020

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 2, Pages 265–271
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9360

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 512.714+512.554.35

MSC: Primary 13N15; Secondary 17B30

§ 1. Введение

В своей монографии [1] Дж. Фройденбург высказал следующие гипотезы о строении максимальных по вложению подалгебр Ли среди локально нильпотентных дифференцирований алгебры многочленов от $n$ переменных (см. [1; 11.7]).

Гипотеза 1. Алгебра Ли треугольных дифференцирований $\mathfrak{T}\,{=}\,\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots\oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ является максимальной по вложению алгеброй Ли, лежащей в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$ .

Гипотеза 2. Пусть $\mathscr{A}$ – максимальная по вложению алгебра Ли, лежащая в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n])$ . Тогда $\mathscr{A}$ сопряжена c алгеброй Ли $\mathfrak{T}=\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ .

Как мы покажем дальше, гипотеза 1 верна, а гипотеза 2 не верна в общем случае. Однако на алгебру Ли $\mathscr{A}$ можно наложить некоторые естественные дополнительные условия, при которых гипотеза 2 все же имеет место. В этой работе мы докажем, что гипотеза 2 верна в следующей более слабой форме.

Теорема 1. Пусть дана максимальная алгебра Ли $\mathscr{A}\subset\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n])$ и известно, что $\ker\mathscr{A} := \bigcap_{D\in\mathscr{A}}\ker D=\mathbb{K}$ . Тогда $\mathscr{A}$ сопряжена алгебре Ли $\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ .

§ 2. Используемые утверждения

Рассмотрим произвольную коммутативную алгебру $B$ с единицей, без делителей нуля над полем нулевой характеристики $\mathbb{K}$ . Пусть также известно, что $B$ имеет конечную степень трансцендентности. Далее в работе всегда будем рассматривать только такие алгебры.

Будем использовать следующие обозначения:

– для произвольного конечного числа элементов $x_1, \dots, x_n$ , лежащих в алгебре $B$ , будем писать $A=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ в том случае, когда элементы $x_i$ алгебраически независимы и алгебра $A\subseteq B$ порождается этими элементами;

– для каждой алгебры Ли $\mathscr{A}$ определим $d(\mathscr{A})$ как ее ступень разрешимости, также обозначим через $\mathscr{A}^{(i)}$ $i$ -й коммутант алгебры Ли $\mathscr{A}$ ;

– для произвольного семейства линейных операторов $S$ векторного пространства $V$ ядром $\ker S$ этого семейства будем называть пересечение ядер всех операторов, лежащих в множестве $S$ ;

– для произвольной пары семейств линейных операторов $S_1$ , $S_2$ векторного пространства $V$ обозначим через $[S_1, S_2]$ множество всевозможных коммутаторов вида $[A, B]=AB - BA$ , где $A\in S_1$ , $B\in S_2$ ;

– для произвольного семейства линейных операторов $S$ векторного пространства $V$ и произвольного элемента $v\in V$ обозначим через $S(v)$ множество элементов вида $A(v)$ , где $A$ – всевозможные операторы из $S$ ;

– для произвольного семейства линейных операторов $S$ векторного пространства $V$ обозначим через $\operatorname{ad}S$ множество присоединенных эндоморфизмов $\{\operatorname{ad}A$ : $X\to [A, X]\mid A\in S,\, X\in\operatorname{End}(V)\}$ векторного пространства $\operatorname{End}(V)$ .

Определение 1. Линейный оператор $A$ на векторном пространстве $V$ называется локально нильпотентным, если для каждого вектора $v$ из $V$ найдется натуральное число $k=k(v)>0$ такое, что $A^k(v)=0$ .

Определение 2. Множество линейных операторов $T$ на векторном пространстве $V$ будем называть локально нильпотентным, если для любой бесконечной последовательности операторов $A_1, A_2,\dots$ , лежащих в $T$ , и любого вектора $v\in V$ существует такое $k=k(v, \{A_i\})>0$ , что выполнено равенство $A_k\dotsb A_1(v)=0$ .

Лемма 1. Пусть $T$ – локально нильпотентное множество линейных операторов на векторном пространстве $V$ . Тогда для произвольного собственного векторного подпространства $U\subset V$ найдется элемент $v\in V\setminus U$ , для которого $T(v)\subseteq U$ .

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор

$v\in V\setminus U$ . Из того, что множество

$T$ является локально нильпотентным, имеем, что для некоторого конечного набора элементов

$A_1,A_2,\dots,A_k$ , лежащих в множестве

$T$ , элемент

$A_k\dotsb A_1(v)$ не принадлежит множеству

$U$ , однако элементы

$TA_k\dotsb A_1(v)$ лежат в множестве

$U$ . Теперь в качестве искомого элемента достаточно рассмотреть элемент

$v'=A_k\dotsb A_1(v)$ . Лемма доказана.

Лемма 2. Рассмотрим произвольное локально нильпотентное множество линейных операторов $T$ на векторном пространстве $V$ . Тогда для любого локально нильпотентного оператора $A$ на векторном пространстве $V$ такого, что $[A, T]\subseteq T$ , имеем $T\cup\{A\}$ – локально нильпотентное множество линейных операторов на $V$ .

Доказательство. Пусть

$U$ – максимальное по вложению линейное подпространство

$V$ , инвариантное для каждого линейного оператора из множества

$T\cup\{A\}$ такое, что ограничение

$T\cup\{A\}$ на

$U$ является локально нильпотентным множеством линейных операторов. Предположим, что

$U\ne V$ . По лемме 1 существует элемент

$v\in V\setminus U$ такой, что

$Tv\subseteq U$ . Рассмотрим линейное пространство

$U'=\langle U, v, Av, A^2v,\dots \rangle$ . Ясно, что

$U'$ – инвариантное пространство для

$A$ и

$U'=\langle U, v, Av, A^2v,\dots, A^Nv \rangle$ для достаточно большого

$N$ , так как

$A$ – локально нильпотентное дифференцирование. Докажем по индукции, что

$TA^iv\subseteq U$ для

$i\geqslant 0$ . База индукции: при

$i=0$ имеем

$\begin{equation*} TAv \subseteq AT(v) + [T, A](v)\subseteq A(U) + T(v)\subseteq U. \end{equation*} \notag$

Переход индукции от

$i=1,\dots, k$ к

$i=k+1$ :

$\begin{equation*} TA^{k+1}v \subseteq A^{k+1}Tv + \sum_{j=0}^{k}A^j[T, A]A^{k-j}v\subseteq A^{k+1}Tv + \sum_{j=0}^{k}A^jTA^{k-j}v\subseteq\sum_{j=0}^{k}A^jU\subseteq U. \end{equation*} \notag$

Таким образом,

$U'$ – инвариантное пространство для

$T\cup\{A\}$ и операторы из

$T\cup\{A\}$ переводят пространства

$\langle U, A^iv, A^{i+1}v,\dots, A^Nv \rangle$ в пространства

$\langle U, A^{i+1}v, A^{i+2}v,\dots, A^Nv \rangle$ . Поэтому ограничение

$T\,{\cup}\,\{A\}$ на

$U'$ является локально нильпотентным множеством линейных операторов. Противоречие к максимальности

$U$ . Лемма доказана.

Каждое локально нильпотентное дифференцирование алгебры $B$ также является локально нильпотентным линейным оператором на векторном пространстве $B_{\mathbb{K}}$ . Поэтому все предыдущие леммы о локально нильпотентных операторах применимы к случаю локально нильпотентных дифференцирований. Причем в случае с дифференцированиями алгебры $B$ локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$ называется произвольное множество дифференцирований алгебры $B$ , являющееся локально нильпотентным множеством линейных операторов на векторном пространстве $B_{\mathbb{K}}$ .

Лемма 3. Множество $\mathbb{K} \partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ является локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ .

Доказательство. Упорядочим переменные

$x_1\prec\dots\prec x_n$ и введем лексикографический порядок на мономах. При действии дифференцирований из

$\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ на произвольный многочлен порядок старшего монома этого многочлена уменьшается, откуда получаем доказательство леммы.

Лемма 4. Рассмотрим произвольное локально нильпотентное множество дифференцирований $S$ алгебры $B$ . Тогда для любого конечного множества локально нильпотентных дифференцирований $D_1, D_2,\dots, D_k$ такого, что

$\begin{equation*} [S\cup\{D_1, D_2, \dots, D_k\}, S\cup\{D_1, D_2, \dots, D_k\}]\subseteq S, \end{equation*} \notag$

имеем

$S\cup\{D_1, D_2, \dots, D_k\}$ – локально нильпотентное подмножество дифференцирований алгебры

$B$ .

Для доказательства леммы 4 достаточно воспользоваться индукцией по $k$ и леммой 2.

Лемма 5. Рассмотрим произвольное подмножество $S$ , лежащее в $\operatorname{Der}(B)$ . Тогда для некоторого конечного числа элементов $D_1, \dots, D_k\in S$ , $\ker S=\bigcap_{i=1}^k\ker D_i$ . Более того, $k$ можно выбрать равным $\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)-\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(\ker S)$ .

Доказательство. Предположим противное. Тогда найдется счетное семейство элементов

$\{D_i\in S\}_{i=1}^{\infty}$ такое, что

$\bigcap_{i=1}^{l+1}\ker D_i\subsetneqq\bigcap_{j=1}^l\ker D_j$ для всех

$l$ . Построим бесконечную цепочку элементов

$\{x_l{\kern1pt}{\in}{\kern1pt}(\bigcap_{i=1}^l\ker D_i)\setminus (\bigcap_{j=1}^{l+1}\ker D_j)\}_{l=1}^{\infty}$ . Применяя [1; предложение 1.8, (d)] к дифференцированиям

$D_i$ , получаем, что

$x_1, x_2,\dots$ образует бесконечное алгебраически независимое семейство элементов, что противоречит условию того, что

$\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)<\infty$ . Лемма доказана.

Следующая лемма является хорошо известным фактом в теории локально нильпотентных дифференцирований, поэтому мы приводим ее без доказательства.

Лемма 6. Любая абелева алгебра Ли $\mathscr{A}$ , лежащая в $\operatorname{LND}(B)$ , такая, что $\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$ , является конечномерной алгеброй Ли размерности не более чем $\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)$ .

§ 3. Опровержение гипотезы 2 в общем случае

Теорема 2. Гипотеза 2 не верна в случае $n=3$ .

Доказательство. Рассмотрим локально нильпотентное дифференцирование

$D=-P_z\partial y + P_y\partial z$ , где

$P_y=1 +y(xz+y^2)$ ,

$P_z=(xz+y^2)/2$ . Пусть

$\mathscr{A}$ – максимальная по вложению подалгебра Ли в

$\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x, y, z])$ , содержащая алгебру Ли

$\mathbb{K}\cdot D$ . В случае справедливости гипотезы 2 получаем, что

$\mathscr{A}$ сопряжена треугольной алгебре Ли и

$D$ является триангулизируемым дифференцированием, что противоречит [2; пример 3.5]. Теорема доказана.

§ 4. Основные свойства локально нильпотентных множеств дифференцирований

Теорема 3. Пусть $S$ – произвольное локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ , для которого $\ker S=\mathbb{K}$ . Тогда найдутся $x_i$ такие, что $B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $S\subseteq \mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ .

Доказательство. Рассмотрим семейство

$\mathscr{P}$ подалгебр

$A$ алгебры

$B$ , обладающих следующими свойствами:

1) $A$ инвариантна для каждого дифференцирования из $S$ ;

2) существуют алгебраически независимые элементы $a_1, a_2,\dots, a_k$ такие, что $A=\mathbb{K}[a_1,\dots, a_k]$ и $S|_A\subseteq\mathbb{K}\partial a_1\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[a_1, \dots, a_{k-1}]\partial a_k$ .

Введем частичный порядок на $\mathscr{P}$ . Будем говорить, что для двух подалгебр $A_1, A_2\in\mathscr{P}$ выполнено $A_1\prec A_2$ тогда и только тогда, когда существуют элементы $a_{1}, a_{2},\dots, a_{k_1}$ и $a_{k_1+1}, a_{k_1+2},\dots,$ $a_{k_2}$ такие, что $A_1= \mathbb{K}[a_{1}, a_{2},\dots, a_{k_1}]$ , $A_2=A_1[a_{k_1+1}, a_{k_1+2},\dots, a_{k_2}]\,{=}\,\mathbb{K}[a_{1},\dots, a_{k_2}]$ и $S|_{A_2}\,{\subseteq}\,\mathbb{K}\partial a_{1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[a_{1}, \dots, a_{k_2-1}]\partial a_{k_2}$ . Ясно, что не существует бесконечной возрастающей цепочки подалгебр, лежащих в $\mathscr{P}$ . Поэтому можно выбрать максимальную подалгебру $A$ из $\mathscr{P}$ . Предположим, что $A\ne B$ и выберем произвольный элемент $b\in B\setminus A$ такой, что $Sb\subseteq A$ (такой элемент существует по лемме 1). Проверим, что $b$ алгебраически независим над $A$ . Предположим противное: пусть для некоторых элементов $a_0, a_1, \dots, a_d\in A$ выполнено $a_0 + a_1b+\dots + a_db^d=0$ , причем $a_d\ne 0$ . Можем считать, что $d>0$ – минимально возможная степень аннулирующего многочлена. Заметим, что по построению алгебры $A$ и элемента $b$ элементы $D(a_j)$ , $D(b)$ лежат в $A$ для всех $a_j$ и всех дифференцирований $D$ , лежащих в $S$ . Имеем $0=D(a_0 + a_1b+\dots + a_db^d)=(D(a_0)+a_1D(b))+\dots + (D(a_{d-1})+da_dD(b))b^{d-1} + D(a_d)b^d$ для всех $D\in S$ . Поэтому в случае $a_d\notin\mathbb{K}$ , подставляя в последнем равенстве вместо элемента $D\in S$ такой элемент $D'\in S$ , что $a_d\notin\ker D'$ , получим аннулирующий многочлен элемента $b$ степени $d$ со старшим коэффициентом, равным $D'(a_d)\ne 0$ . Таким образом, из локальной нильпотентности множества дифференцирований $S$ после выполнения некоторого конечного числа таких операций получаем, что $b$ имеет аннулирующий многочлен степени $d$ со старшим коэффициентом, лежащим в поле $\mathbb{K}$ . Можем считать, что $a_0 + a_1b+\dots + a_db^d$ – искомый многочлен с $a_d\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ . Заметим тогда, что для каждого дифференцирования $D$ из $S$ выполнено $0=D(a_0 + a_1b+\dots + a_db^d)=(D(a_0)+a_1D(b))+\dots + (D(a_{d-1})+da_dD(b))b^{d-1}$ , а значит, из минимальности $d$ получаем $D(a_{d-1})+da_dD(b)=D(a_{d-1}+da_db)=0$ для всех $D\in S$ . Откуда $a_{d-1}+da_db\in\mathbb{K}$ и $b\in A$ , что противоречит определению элемента $b$ .

В итоге получаем, что $A\,{\subsetneq}\,A[b]\,{\in}\,\mathscr{P}$ . Противоречие с максимальностью $A\,{\in}\,\mathscr{P}$ . Значит алгебра $A$ совпадает с $B$ и для некоторых элементов $x_1, x_2,\dots, x_n$ , $B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $S\subseteq \mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ . Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть $S$ – произвольное локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ . Тогда алгебра Ли $\mathscr{A}$ , порожденная множеством $(\ker S)S$ , является разрешимой алгеброй Ли, которая также является локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$ .

Доказательство. Переходя к алгебре

$B'=(\ker S \setminus\{0\})^{-1}B$ над полем

$(\ker S \setminus\{0\})^{-1}\mathbb{K}$ и локально нильпотентному подмножеству дифференцирований

$S'=(\ker S\setminus\{0\})^{-1}S$ , можем считать, что

$\ker S=\mathbb{K}$ . По теореме 3 найдутся

$x_i$ такие, что

$B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и

$S\subseteq\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus\dots\oplus\mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ . Утверждение следствия теперь вытекает из того, что

$\operatorname{d} (\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n})=n$ и леммы 3. Следствие доказано.

Теорема 4. Множество дифференцирований $S$ алгебры $B$ является локально нильпотентным тогда и только тогда, когда каждое его конечное подмножество $S'\subseteq S$ является локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$ .

Доказательство. Докажем, что если каждое конечное подмножество некоторого множества дифференцирований

$S$ является локально нильпотентным, то и само

$S$ является локально нильпотентным множеством дифференцирований.

Ведем индукцию по степени трансцендентности алгебры $B$ . В случае если $\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)=0$ , имеем $\operatorname{LND}(B)=\{0\}$ , $S=\{0\}$ , и утверждение леммы очевидно. Из следствия 1 получаем, что алгебра Ли $\mathscr{A}$ , порожденная множеством $S$ , также обладает тем свойством, что каждое ее конечное подмножество образует локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ . Поэтому можем считать, что $S=\mathscr{A}$ – алгебра Ли. Рассматривая алгебру Ли $\mathscr{A}'=(\ker\mathscr{A}\setminus\{0\})^{-1}\mathscr{A}$ над полем $\mathbb{K}'=(\ker\mathscr{A}\setminus\{0\})^{-1}\mathbb{K}$ и алгебру $B'= (\ker\mathscr{A}\setminus\{0\})^{-1}B$ , можем считать, что $\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$ . Применяя следствие 1, а также лемму 5 к множествам дифференцирований $\mathscr{A}$ , $\mathscr{A}^{(1)}$ , получаем, что существует достаточно большая конечнопорожденная разрешимая подалгебра Ли $\mathscr{B}\subset\mathscr{A}$ , являющаяся локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$ , такая, что $\ker\mathscr{B}=\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$ и $\ker\mathscr{B}^{(1)}=\ker\mathscr{A}^{(1)}$ . Поэтому из теоремы 3 получаем, что для некоторых элементов $x_i$ $B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $\mathscr{B}\subseteq \mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ . Таким образом,

$\begin{equation*} \mathbb{K}[x_1] \subseteq \ker(\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n})^{(1)}\subseteq \ker\mathscr{B}^{(1)}= \ker\mathscr{A}^{(1)}. \end{equation*} \notag$

Пусть $\pi\colon \mathscr{A}\to\mathscr{A}|_{\ker\mathscr{A}^{(1)}}$ – гомоморфизм ограничения алгебры Ли $\mathscr{A}$ на инвариантную подалгебру $\ker\mathscr{A}^{(1)}$ . Понятно, что каждое дифференцирование, лежащее в $\ker\pi$ , содержит $\ker\mathscr{A}^{(1)}$ , а следовательно, и $\mathbb{K}[x_1]$ , в своем ядре. Рассмотрим алгебру $B'= (\mathbb{K}[x_1]\setminus\{0\})^{-1}B$ степени трансцендентности не более чем $\operatorname{tr.deg}_{\mathbb{K}}(B)-1$ и алгебру Ли $\mathscr{P}= (\mathbb{K}[x_1]\setminus\{0\})^{-1}\ker\pi$ . Алгебра Ли $\mathscr{P}$ является множеством дифференцирований алгебры $B'$ меньшей степени трансцендентности, чем $B$ , откуда по предположению индукции $\mathscr{P}$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B'$ , а значит, $\ker\pi$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ .

Заметим, что $\mathscr{A}^{(1)}\subseteq\ker\pi$ , поэтому $\mathscr{A}|_{\ker\mathscr{A}^{(1)}}\cong\mathscr{A}/\ker\pi$ является абелевой алгеброй Ли, лежащей в $\operatorname{LND}(\ker\mathscr{A}^{(1)})$ (мы воспользовались условием теоремы для одноэлементных подмножеств). По лемме 6 получаем, что $\mathscr{A}/\ker\pi$ – конечномерная алгебра Ли, откуда $\ker\pi$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ , имеющее конечную коразмерность в $\mathscr{A}$ . Применяя лемму 4 к множеству $\ker\pi$ и произвольному конечному базису $\{D_1, \dots, D_q\}$ факторпространства $\mathscr{A}/\ker\pi$ , получаем, что $\ker\pi\cup\{D_1,\dots, D_q\}$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ . А значит, из следствия 1 получаем, что $\mathscr{A}= \langle\ker\pi\cup\{D_1,\dots, D_q\}\rangle$ – локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ . Теорема доказана.

Следствие 2. Пусть $S_1\subset S_2\subset\dotsb$ – возрастающая цепочка вложенных друг в друга локально нильпотентных множеств дифференцирований алгебры $B$ . Тогда $\bigcup_{i\geqslant 1} S_i$ также является локально нильпотентным множеством дифференцирований алгебры $B$ .

Теорема 5. Пусть $S$ – произвольное локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ . Тогда множество $\operatorname{ad}(S)$ является локально нильпотентным множеством линейных операторов на векторном пространстве $\operatorname{Der}(B)$ .

Доказательство. Рассмотрим алгебру

$B'=(\ker S\setminus\{0\})^{-1}B$ над полем

$\mathbb{K}'=(\ker S\setminus\{0\})^{-1}\mathbb{K}$ и локально нильпотентное множество дифференцирований

$S'=(\ker S\setminus\{0\})^{-1}S$ алгебры

$B'$ . Из теоремы 3 следует, что существуют

$x_i$ такие, что

$B'=\mathbb{K}'[x_1,\dots, x_n]$ ,

$S\subseteq\mathbb{K}'\partial_{x_1}\oplus\mathbb{K}'[x_1]\partial_{x_2}\oplus \dots\oplus\mathbb{K}'[x_1,\dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ . Умножая элементы

$x_i\in B'$ на подходящие элементы из

$\ker S\subseteq\mathbb{K}'$ , можем считать, что

$x_i\in B$ . Пусть

$\{b_1, b_2,\dots, b_k\}$ – базис трансцендентности алгебры

$\ker S$ . Для каждого дифференцирования

$D\in\operatorname{Der}(B)$ рассмотрим его координаты

$D_1=D(b_1)$ ,

$D_2=D(b_2)$ ,

$\dots$ ,

$D_k=D(b_k)$ ,

$D_{k+1}=D(x_1)$ ,

$D_{k+2}= D(x_2)$ ,

$\dots$ ,

$D_{k+n}=D(x_n)$ . Высотой

$\operatorname{height}(D)$ дифференцирования

$D$ будем называть максимальное число

$t>0$ такое, что

$D_1=D_2=\dots=D_{t}=0$ . В случае, если

$\operatorname{height}(D)=n+k$ , имеем

$\ker D\supseteq\mathbb{K}[b_1,\dots, b_k, x_1,\dots, x_n]$ – алгебра степени трансцендентности, равной

$\operatorname{tr.deg.}_{\mathbb{K}}(B)$ , являющаяся алгебраически замкнутой в

$B$ (мы воспользовались [1; предложение 1.8, (d)]), а следовательно,

$\ker D=B$ ,

$D=0$ .

Введем частичный порядок на множестве $\operatorname{Der}(B)$ . Для произвольных дифференцирований $D, E\in\operatorname{Der}(B)$ будем говорить, что $D\prec E$ , если $h=\operatorname{height}(D)\geqslant \operatorname{height}(E)$ и порядок $(h+1)$ -й координаты дифференцирования $D$ как многочлена в $\mathbb{K}'[x_1, \dots, x_n]$ (считаем, что на многочленах уже введен лексикографический порядок с $x_1\prec x_2\prec\dots\prec x_n$ ) строго меньше порядка соответствующей координаты дифференцирования $E$ . По построению порядка на $\operatorname{Der}(B)$ понятно, что не существует бесконечной строго убывающей последовательности дифференцирований. Рассмотрим произвольную последовательность дифференцирований $\partial_1,\partial_2,\ldots\in S$ и произвольное дифференцирование $0\ne D\in\operatorname{Der}(B)$ . Для каждого $i\leqslant k$ и произвольных $\partial_k\in S$ , $E\in\operatorname{Der}(B)$ имеем, что $i$ -я координата дифференцирования $(\operatorname{ad}\partial_k)(E)$ равна $(\operatorname{ad}\partial_k)(E)_i = [\partial_k, E](b_i) = \partial_k E(b_i) = \partial_k E_i$ . Таким образом, $(\operatorname{ad}\partial_N\cdots\operatorname{ad}\partial_1)(D)_i = (\partial_N\cdots\partial_1)(D_i)$ для всех $N>0$ . Из локальной нильпотентности множества $S$ имеем, что для достаточно большого натурального $N$ $(\operatorname{ad}\partial_N\cdots\operatorname{ad}\partial_1)(D)_i = 0$ для всех $i\leqslant k$ . Откуда, рассматривая дифференцирование $\widehat{D} = (\operatorname{ad}\partial_N\cdots\operatorname{ad}\partial_1)(D)$ и меньшую последовательность $\partial_{N+1}, \partial_{N+2}, \ldots\in S$ , можем считать, что $\operatorname{height}(D)\geqslant k$ . Далее, имеем $D(b_i) = 0$ для всех $i\leqslant k$ , откуда $\ker S\subseteq\ker D$ , а значит, $D$ можно представить в виде $D = D_{h+1}\partial_{x_{h+1-k}} + \dots + D_{k+n}\partial_{x_n}$ , где $h = \operatorname{height}(D)\geqslant k$ . Поэтому для $\partial_1 = f_0^{(1)}\partial_{x_1}+\dots +f_{n-1}^{(1)}\partial_{x_n}\in S$ , $f_i^{(1)}\in\mathbb{K}'[x_1,\dots, x_{i-1}]$ получаем, что $(\operatorname{ad}\partial_1)(D)_{h+1} = (\sum_{i=1}^{h+1-k}f_{i-1}^{(1)}\partial_{x_i})(D_{h+1})$ имеет меньший лексикографический порядок, чем $D_{h+1}$ , а значит, $(\operatorname{ad}\partial_{1})(D)\prec D$ . Повторяя аналогичное рассуждение для дифференцирований $(\operatorname{ad}\partial_{1})(D)$ , $(\operatorname{ad}\partial_2\operatorname{ad}\partial_1)(D),\dots$ , получаем, что $D\succ (\operatorname{ad}\partial_{1})(D)\succ(\operatorname{ad} \partial_2\operatorname{ad}\partial_1)(D) \succ\cdots$ – последовательность дифференцирований, сходящаяся к $0$ . Из произвольности последовательности $\{\partial_i\in S\}$ следует, что $\operatorname{ad}S$ – локально нильпотентное множество линейных операторов на векторном пространстве $\operatorname{Der}(B)$ . Теорема доказана.

§ 5. Доказательство теоремы 1

Мы докажем несколько более сильное утверждение, имеющее место для всех коммутативных алгебр $B$ с единицей, без делителей нуля, конечной степени трансцендентности.

Теорема 6. Пусть дана алгебра Ли $\mathscr{A}$ , лежащая в $\operatorname{LND}(B)$ , и известно, что $\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$ . Тогда найдутся $x_i$ такие, что $B=\mathbb{K}[x_1,\dots, x_n]$ и $\mathscr{A}\subseteq\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots \oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ .

Для доказательства теоремы 6 остается показать, что всякая алгебра Ли, лежащая в $\operatorname{LND}(B)$ , образует локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ , после чего применить теорему 3.

Утверждение. Всякая алгебра Ли $\mathscr{A}$ , лежащая в $\operatorname{LND}(B)$ , образует локально нильпотентное множество дифференцирований алгебры $B$ .

Доказательство. По следствию 2 каждая возрастающая цепочка вложенных локально нильпотентных множеств дифференцирований алгебры

$B$ , лежащих в

$\mathscr{A}$ , имеет верхнюю грань. Поэтому по лемме Цорна существует максимальное по вложению локально нильпотентное множество дифференцирований

$S\subseteq\mathscr{A}$ , которое по следствию 1 является подалгеброй Ли в

$\mathscr{A}$ . Предположим, что

$S\ne\mathscr{A}$ . По теореме 5

$\operatorname{ad}S$ – локально нильпотентное множество линейных операторов на

$\operatorname{Der}(B)$ . Применим лемму 1 к локально нильпотентному множеству линейных операторов

$(\operatorname{ad}S)|_{\mathscr{A}}$ на векторном пространстве

$\mathscr{A}$ и собственному подпространству

$S\subsetneqq\mathscr{A}$ . Получим, что

$(\operatorname{ad}S)(D)=[S, D]\subseteq S$ для некоторого элемента

$D\in\mathscr{A}\setminus S$ , откуда по лемме 4

$S\cup\{D\}$ – локально нильпотентное множество дифференцирований, большее, чем

$S$ . Противоречие. Утверждение доказано.

§ 6. Доказательство гипотезы 1

Теорема 7. Алгебра Ли $\mathfrak{T}=\mathbb{K}\partial_{x_1}\oplus \dots\oplus \mathbb{K}[x_1, \dots, x_{n-1}]\partial_{x_n}$ является максимальной по вложению алгеброй Ли, лежащей в $\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$ .

Доказательство. Рассмотрим максимальную по вложению алгебру Ли

$\mathscr{A}$ , вложенную в

$\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$ , такую, что

$\ker\mathscr{A}=\mathbb{K}$ (в качестве примера такой алгебры Ли можно рассмотреть произвольную максимальную по вложению алгебру Ли, содержащую

$\mathfrak{T}$ и лежащую в

$\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$ ). По теореме 1 получаем, что алгебра Ли

$\mathscr{A}$ сопряжена некоторой подалгебре

$\mathscr{A}'$ алгебры Ли

$\mathfrak{T}$ . Из максимальности

$\mathscr{A}'$ среди подалгебр Ли в

$\operatorname{LND}(B)$ получаем, что

$\mathfrak{T}=\mathscr{A}'$ – максимальная по вложению алгебра Ли, лежащая в

$\operatorname{LND}(\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n])$ . Теорема доказана.

Благодарность

Автор выражает благодарность И. В. Аржанцеву за постановку задачи и внимание к работе.



Список литературы

1.	G. Freudenburg, Algebraic theory of locally nilpotent derivations, Encyclopaedia Math. Sci., 136, Invariant Theory Algebr. Transform. Groups, VII, Springer-Verlag, Berlin, 2006, xii+261 pp.
2.	D. Daigle, “A necessary and sufficient condition for triangulability of derivations of $k[X, Y, Z]$ ”, J. Pure Appl. Algebra, 113:3 (1996), 297–305

Образец цитирования: А. А. Скутин, “Максимальные алгебры Ли среди локально нильпотентных дифференцирований”, Матем. сб., 212:2 (2021), 138–146; A. A. Skutin, “Maximal Lie subalgebras among locally nilpotent derivations”, Sb. Math., 212:2 (2021), 265–271

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Sku21}

\by А.~А.~Скутин

\paper Максимальные алгебры Ли среди локально нильпотентных дифференцирований

\jour Матем. сб.

\yr 2021

\vol 212

\issue 2

\pages 138--146

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9360}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9360}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4223965}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1462.13025}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021SbMat.212..265S}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46074998}

\transl

\by A.~A.~Skutin

\paper Maximal Lie subalgebras among locally nilpotent derivations

\jour Sb. Math.

\yr 2021

\vol 212

\issue 2

\pages 265--271

\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9360}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701443200001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85105113234}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9360

https://doi.org/10.4213/sm9360

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v212/i2/p138

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

Oksana Bezushchak, Anatoliy Petravchuk, Efim Zelmanov, Contemporary Mathematics, 800, Amitsur Centennial Symposium, 2024, 233
O. Bezushchak, A. Petravchuk, E. Zelmanov, “Automorphisms and derivations of affine commutative and PI-algebras”, Trans. Amer. Math. Soc., 377:2 (2023), 1335

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	401
PDF русской версии:	71
PDF английской версии:	39
HTML русской версии:	134
Список литературы:	50
Первая страница:	22

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы