Н. Ян, Чж. У, Д. О. Ревин, Е. П. Вдовин, “О точной теореме Бэра–Сузуки для $\pi$-радикала конечной группы”, Матем. сб., 214:1 (2023), 113–154; N. Yang, Zh. Wu, D. O. Revin, E. P. Vdovin, “On the sharp Baer-Suzuki theorem for the $\pi$-radical of a finite group”, Sb. Math., 214:1 (2023), 108

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2023, том 214, номер 1, страницы 113–154
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9698 (Mi sm9698)

Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 9 статьях)

О точной теореме Бэра–Сузуки для

$\pi$ -радикала конечной группы

Н. Ян^a, Чж. У^a, Д. О. Ревин^bc, Е. П. Вдовин^bc

^a Jiangnan University, Wuxi, P. R. China
^b Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск
^c Новосибирский национальный исследовательский государственный университет

PDF полного текста (937 kB) PDF английской версии (738 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (9)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9698

Аннотация: Пусть

$\pi$ – некоторое собственное подмножество множества всех простых чисел. Обозначим через

$r$ наименьшее простое число, не лежащее в

$\pi$ , и положим

$m=r$ , если

$r=2,3$ , и

$m=r-1$ , если

$r\geqslant 5$ . Изучается гипотеза о том, что класс сопряженности

$D$ конечной группы

$G$ порождает

$\pi$ -подгруппу в

$G$ (эквивалентно, содержится в

$\pi$ -радикале) тогда и только тогда, когда любые

$m$ элементов из

$D$ порождают

$\pi$ -группу. Доказано, что данная гипотеза верна, если всякий неабелев композиционный фактор группы

$G$ изоморфен спорадической, знакопеременной, линейной или унитарной простой группе.
Библиография: 49 названий.

Ключевые слова: простые линейные группы, простые унитарные группы,

$\pi$ -радикал группы,

$\pi$ -теорема Бэра–Сузуки.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Natural Science Foundation of Jiangsu Province	BK20210442
Jiangsu Shuangchuang (Mass Innovation and Entrepreneurship) Talent Program	JSSCBS20210841
Российский фонд фундаментальных исследований	20-51-00007-Бел_а
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	FWNF-2022-0002 075-15-2022-281
Исследование Чж. У выполнено при поддержке Natural Science Foundation of Jiangsu Province (грант № BK20210442) и Jiangsu Shuangchuang (Mass Innovation and Entrepreneurship) Talent Program (грант № JSSCBS20210841). Исследование Д. О. Ревина выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (грант № 20-51-00007-Бел_а) и Минобрнауки России в рамках выполнения государственного задания для Института математики Сибирского отделения Российской академии наук (проект № FWNF-2022-0002). Исследование Е. П. Вдовина выполнено в Математическом центре в Академгородке при поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-15-2022-281).

Поступила в редакцию: 24.11.2021 и 25.04.2022

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages 108–147
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9698e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: Primary 20D20; Secondary 20D06, 20D08

§ 1. Введение

В работе рассматриваются только конечные группы и под термином “группа” подразумевается конечная группа. Всюду через $\pi$ обозначено некоторое подмножество множества $\mathbb{P}$ всех простых чисел. Конечная группа называется $\pi$ -группой, если все простые делители ее порядка принадлежат $\pi$ . Используются стандартные обозначения: через $\mathrm{O}_\pi(G)$ обозначается $\pi$ -радикал группы $G$ , т.е. ее наибольшая нормальная $\pi$ -подгруппа; если $M$ – подмножество группы $G$ , то через $\langle M\rangle$ обозначается подгруппа, порожденная $M$ .

Теорема Бэра–Сузуки – классический результат в теории конечных групп, вошедший во многие монографии и учебники, например, [1; теорема 39.6], [2; гл. A, (14.11)], [3; гл. 3, теорема 8.2], [4; теорема 2.12], [5; теорема 6.7.6].

Теорема Бэра–Сузуки. Пусть $p$ – простое число, $G$ – конечная группа и $x\in G$ . Тогда $x\in \mathrm{O}_p(G)$ , если и только если $\langle x_1,x_2 \rangle$ – $p$ -группа для любых элементов $x_1,x_2\in G$ , сопряженных с $x$ .

Теорема впервые была доказана Р. Бэром (см. [6]) и передоказана М. Сузуки (см. [7]). Короткое доказательство, основанное на теореме Силова, найдено в работе Дж. Алперина и Р. Лайонса [8]. Еще одно короткое доказательство, вытекающее из общих фактов о субнормальных подгруппах конечных групп, предложил Х. Виланд (см. [9]). Нетривиальной в этой теореме является часть “если”. Ее ценность понятна из следующих соображений. Для класса сопряженности $D$ группы $G$ условие $D\subseteq \mathrm{O}_p(G)$ равносильно тому, что $\langle D\rangle$ – $p$ -подгруппа. Поскольку класс $D$ может быть сколь угодно велик, проверка последнего условия может быть затруднительна. Теорема Бэра–Сузуки показывает, что достаточно протестировать подгруппы, порожденные подмножествами из $D$ ограниченной мощности, а именно мощности 2. Эта теорема служит одновременно признаком непростоты группы и инструментом локального анализа. Она применяется в теории разрешимых групп (см. [2]), а также сыграла важную роль в классификации конечных простых групп¹.

Теорема Бэра–Сузуки имеет несколько эквивалентных формулировок. Наряду с приведенной наиболее известна формулировка, дающая полностью аналогичный критерий для принадлежности элемента нильпотентному радикалу (иначе, подгруппе Фиттинга) группы. Обобщения и аналоги этой теоремы, в том числе для бесконечных групп, исследовались многими авторами; см., например, [8], [9], [12]–[29]. Такого рода аналоги часто также называют теоремами Бэра–Сузуки или теоремами типа Бэра–Сузуки. Так, Н. Гордеевым, Ф. Груневальдом, Б. Кунявским и Е. Плоткиным (см. [14]–[16]) и независимо П. Флавеллом, С. Гэстом и Р. Гуралником (см. [17], [12]) доказана теорема Бэра–Сузуки для разрешимого радикала, утверждающая, что если любые четыре элемента из класса сопряженности в конечной группе порождают разрешимую подгруппу, то весь класс содержится в разрешимом радикале группы. Причем уменьшить данное число не только до двух, но даже до трех элементов нельзя, и в этом смысле полученная в процитированных работах теорема Бэра–Сузуки для разрешимого радикала является точной. Вопрос о том, для каких еще радикалов конечной группы справедлива теорема Бэра–Сузуки, поставлен в [15; проблема 1.16].

В теории групп нередко важные результаты удается получить, если вместо простого числа $p$ рассматривать некоторое множество $\pi$ простых чисел, а вместо $p$ -подгрупп – $\pi$ -подгруппы (ср., например, классические теоремы Силова в [30] и Холла в [31]; см. также [3; теоремы 1.2.9 и 6.4.3]). Поэтому естественно попытаться получить теорему Бэра–Сузуки для $\pi$ -радикала, при необходимости увеличив по сравнению с оригинальной теоремой Бэра–Сузуки число сопряженных элементов, порождающих тестируемые подгруппы.

В [32; теорема 1.2] авторами доказано, что для любого $\pi\subseteq \mathbb{P}$ всегда найдется неотрицательное целое число $m=m(\pi)$ такое, что в произвольной группе $G$ выполнено равенство

$\begin{equation*} \mathrm{O}_\pi(G)=\{x\in G\mid \langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m}\rangle\text{ - } \pi\text{-группа для любых } g_1,\dots, g_m\in G\}. \end{equation*} \notag$

Наименьшее такое

$m$ согласно [15; определение 1.15] называется шириной Бэра–Сузуки класса

$\pi$ -групп и обозначается

$\operatorname{BS}(\pi)$ . Кроме того, доказано (см. [32; теорема 1.3]), что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \textit{если }\ \varnothing\ne\pi\ne \mathbb{P} \quad\textit{и }\ r=r(\pi)=\min\mathbb{P}\setminus\pi, \\ \textit{то }r-1\leqslant \operatorname{BS}(\pi)\leqslant \max\{11, 2(r-2)\}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Нижнюю оценку для $\operatorname{BS}(\pi)$ в последнем неравенстве можно получить из следующего утверждения²: если $r\geqslant 3$ , то в симметрической группе $S_r$ любые $r-2$ транспозиции порождают $\pi$ -подгруппу; при этом $\mathrm{O}_\pi(S_r)=1$ (см. [32; предложение 1.1]). Данная оценка демонстрирует, что ширина Бэра–Сузуки класса $\pi$ -групп может быть сколь угодно большой для подходящего $\pi$ . В то же время для любого $\pi$ эта ширина конечна³, и возникает вопрос, каково ее точное значение? Высказано предположение (см. [32; гипотеза 1]), что $\operatorname{BS}(\pi)$ в большинстве случаев совпадает с нижней оценкой $r-1$ . Более точно, стоит вопрос о справедливости следующего утверждения.

Гипотеза 1 (см. [32]). Пусть $\pi$ – собственное подмножество множества всех простых чисел и $r$ – наименьшее простое число, не входящее в $\pi$ . Тогда

$\begin{equation*} \operatorname{BS}(\pi)\leqslant \begin{cases} r, & \text{если } r\in\{2,3\}, \\ r-1, & \text{если } r\geqslant 5. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Если бы гипотезу 1 удалось подтвердить, ее можно было бы рассматривать как точную теорему Бэра–Сузуки для $\pi$ -радикала: ее справедливость означала бы, что $\operatorname{BS}(\pi)=r-1$ , если $r\geqslant 5$ . Для $r=2$ гипотеза верна, как следует из результата В. Н. Тютянова [29] (см. также [24; теорема 1]); при этом если $\pi\ne\varnothing$ , то $\operatorname{BS}(\pi)=2$ . Насколько точной могла бы быть оценка в гипотезе 1 при $r=3$ , видно из следующего: ясно, что $\operatorname{BS}(\pi)\geqslant 2$ ; для $\pi=\{2\}$ имеем $r=3$ и по теореме Бэра–Сузуки $\operatorname{BS}(\pi)=2<3$ ; в то же время есть примеры множеств $\pi$ с $r=3$ и таких, что $\operatorname{BS}(\pi)\ne 2$ (см. [24; пример 2]).

Результаты из [24] сводят гипотезу к изучению так называемых почти простых групп. Чтобы сформулировать утверждение о почти простых группах, которое гарантировало бы справедливость гипотезы 1, напомним обозначения, введенные Р. Гуралником и Я. Сакслом в [33] и авторами в [32].

Определение 1. Пусть $L$ – неабелева простая группа, $r$ – простой делитель ее порядка и $x\in\operatorname{Aut}(L)$ – ее неединичный автоморфизм. Мы отождествляем $L$ c подгруппой $\operatorname{Inn}(L)$ в $\operatorname{Aut}(L)$ .

• В [33] через $\alpha(x,L)$ обозначено наименьшее число $m$ такое, что найдутся $L$ -сопряженные с $x$ элементы $x_1,\dots,x_m$ , порождающие $\langle L,x\rangle$ .
• По аналогии в [32] через $\beta_r(x,L)$ обозначено наименьшее число $m$ такое, что найдутся $L$ -сопряженные с $x$ элементы $x_1,\dots,x_m$ , порождающие в $\langle L,x\rangle$ подгруппу, порядок которой делится⁴ на $r$ .

Из определения видно, что если $\alpha(x,L)$ и $\beta_r(x,L)$ определены, то

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant \alpha(x,L). \end{equation*} \notag$

С учетом имеющейся редукции к почти простым группам и результатов для $r=2$ (см. [29], [24]) справедливость гипотезы 1 была бы установлена, если бы удалось доказать следующее утверждение.

Гипотеза 2 (см. [32]). Пусть $r$ – нечетное простое число. Предположим, что для конечной неабелевой простой группы $L$ выбран простой делитель $s$ ее порядка, причем $s=r$ , если $r$ делит $|L|$ , и $s>r$ в противном случае. Тогда

$\begin{equation*} \beta_{s}(x,L)\leqslant \begin{cases} 3,&\text{если }r=3, \\ r-1,&\text{если }r>3, \end{cases} \end{equation*} \notag$

для любого автоморфизма

$x$ простого порядка группы

$L$ .

Здесь простота порядка $x$ эквивалентным образом заменяет a priori более широкое предположение $x\ne1$ . Гипотеза 2 подтверждена для случаев, когда $L$ – знакопеременная (см. [32; предложение 1.5]) или спорадическая (см. [34; теорема 1]) группа.

Основной результат настоящей статьи состоит в том, что гипотеза 2 верна для двух серий простых классических групп лиева типа, а именно для простых линейных и унитарных групп.

Теорема 1. Пусть $r$ – нечетное простое число. Пусть $L=L_n(q)$ или $L=U_n(q)$ – конечная простая линейная или унитарная группа, $x\in \operatorname{Aut}(L)$ – элемент простого порядка. Пусть также простой делитель $s$ порядка группы $L$ выбран так, что $s=r$ , если $r$ делит $|L|$ , и $s> r$ в противном случае. Тогда

$\begin{equation*} \beta_{s}(x,L)\leqslant \begin{cases} 3,&\textit{если }r=3, \\ r-1,&\textit{если }r>3, \end{cases} \end{equation*} \notag$

для любого автоморфизма

$x$ простого порядка группы

$L$ .

Гипотеза 2 пока не доказана и не опровергнута для симплектических, ортогональных групп и исключительных групп лиева типа. Тем не менее известно (см. [32; теорема 1.4]), что для любой неабелевой конечной простой группы $L$ , порядок которой делится на $r\in\mathbb{P}$ , величина $\beta_r(x,L)$ ограничена числом $\max\{11,2(r- 2)\}$ , зависящим только от $r$ и не зависящим от самой группы $L$ (в отличие от величины $\alpha(x,L)$ , которая может быть сколь угодно большой для подходящих группы $L$ и ее автоморфизма $x$ ).

В доказательстве теоремы 1 мы в целом следуем схеме рассуждений, примененной при работе с классическими группами в работе [32]. Доказательство ведется одновременной для $L_n(q)$ и $U_n(q)$ индукцией по размерности $n$ векторного пространства, ассоциированного с группой. Сначала изучаются случаи, когда $n\leqslant 3$ или $n=4$ и $q=2,3,5$ . Общий случай распадается на два подслучая. Либо удается показать, что $x$ в группе $L$ индуцирует нетождественный автоморфизм на некоторой $x$ -инвариантной секции, изоморфной $L_k(q')$ или $U_k(q')$ для $k<n$ и такой, что ее порядок делится на $s$ , после чего применяется предположение индукции. Либо оказывается, что сама размерность $n$ ограничена в терминах $r$ . В последнем случае часто, хотя далеко не всегда, оказывается достаточно оценки из [33] (см. также табл. 1), ограничивающей $\alpha(x,L)$ , а следовательно, и $\beta_s(x,L)$ , функцией от $n$ . Ситуации, возникающие для автоморфизма $x$ , разбиваются на два больших блока: либо $x$ является внутренне-диагональным (возможные случаи перечислены в лемме 10), либо $x$ оказывается полевым, графовым или графово-полевым по модулю группы внутренне-диагональных автоморфизмов. К сожалению, для получения более тонкой по сравнению с теоремой 1.4 из [32] оценки, которую требует гипотеза 2, результатов из [33] часто недостаточно и приходится разбирать большое количество весьма непростых исключительных случаев. Разбору наиболее принципиальных случаев для внутренне-диагонального автоморфизма $x$ посвящены леммы 13 и 14. Сложным оказывается также разбор случаев, перечисленных в лемме 16, когда $x$ – графовая инволюция, особенно для относительно небольшой размерности, при которой число $\alpha(x,L)$ слишком велико по сравнению с $n$ . При этом группы $L_4(q)$ и $U_4(q)$ оказывается удобно рассматривать как ортогональные группы $O^\pm_6(q)$ , а секции, на которых $x$ индуцирует нетождественный автоморфизм, оказываются изоморфными $O_4^-(q)\cong L_2(q^2)$ и в наиболее тонком случае $O_5(q)\cong S_4(q)$ (леммы 17 и 26).

С помощью теоремы 1 и результатов из [24], [32], [34] получаем следующее утверждение, частично подтверждающее гипотезу 1.

Теорема 2. Пусть $\pi$ – некоторое множество простых чисел и $r$ – наименьшее простое число, не лежащее в $\pi$ . Положим

$\begin{equation*} m=\begin{cases} r, & \textit{если } r\in\{2,3\}, \\ r-1, & \textit{если } r\geqslant 5. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \mathrm{O}_\pi(G)=\{x\in G\mid \langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m}\rangle\textit{ - } \pi\textit{-группа для любых } g_1,\dots, g_m\in G\} \end{equation*} \notag$

для любой конечной группы

$G$ , всякий неабелев композиционный фактор которой изоморфен спорадической, знакопеременной, линейной или унитарной группе.

Авторы надеются, что дальнейшее изучение гипотезы 2 позволит доказать точную теорему Бэра–Сузуки для $\pi$ -радикала в полном объеме. Можно также ожидать, что получение неулучшаемых оценок для $\beta_r(x,L)$ будет представлять интерес и вне исследования теорем типа Бэра–Сузуки. Во всяком случае оценки на $\alpha(x,L)$ , полученные в [33], и их последующие уточнения находят весьма обширные применения.

§ 2. Предварительные результаты

2.1. Теоретико-групповые обозначения, редукция к почти простым группам и другие общие леммы

Используются стандартные для теории групп обозначения (см. [1], [3], [35]), а также обозначения из “Атласа конечных групп” [36]. Так, если $G$ – группа и $x,g\in G$ , то $x^g=g^{-1}xg$ и $[x,g]=x^{-1}x^g$ . Также для группы $G$ через $\mathrm{O}_\infty(G)$ , $\operatorname{Z}(G)$ , $\operatorname{F}(G)$ , $\operatorname{F}^*(G)$ , $\Phi(G)$ , $G'=[G,G]$ и $G^{\infty}=\mathrm{O}^{\infty}(G)$ обозначены разрешимый радикал, центр, подгруппа Фиттинга, обобщенная подгруппа Фиттинга, подгруппа Фраттини, коммутант и последний член ряда коммутантов (разрешимый корадикал) группы $G$ соответственно. Также для натурального числа $n$ и для группы $G$ через $\pi(n)$ и $\pi(G)$ обозначены множества всех простых делителей чисел $n$ и $|G|$ соответственно. Для подмножества $\pi$ множества $\mathbb{P}$ всех простых чисел полагаем $\pi'=\mathbb{P}\setminus\pi$ . Пусть $\mathrm{O}^\pi(G)$ – $\pi$ -корадикал группы $G$ , т.е. наименьшая по включению нормальная подгруппа, факторгруппа по которой является $\pi$ -группой. Подгруппу $\mathrm{O}^\pi(G)$ можно трактовать также как подгруппу, порожденную всеми $\pi'$ -подгруппами. Множество нетривиальных элементов группы $G$ обозначаем как $G^\sharp$ .

Следуя [24], используем следующее обозначение. Пусть $\pi$ – некоторое множество простых чисел, $m$ – неотрицательное целое число. Для группы $G$ будем писать $G\in{{\mathscr B}{\mathscr S}}_{\pi}^{m}$ , если

$\begin{equation*} \mathrm{O}_\pi(G)=\{x\in G\mid \langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m}\rangle\text{ - } \pi\text{-группа для любых } g_1,\dots, g_m\in G\}. \end{equation*} \notag$

Следующая лемма описывает строение минимального контрпримера к гипотезе 1.

Лемма 1 (см. [24; лемма 7]). Пусть $\mathscr{X}$ – класс конечных групп, замкнутый относительно взятия нормальных подгрупп, гомоморфных образов и расширений и содержащий все $\pi$ -группы. Допустим, $\mathscr{X}\nsubseteq\mathscr{BS}_{\pi}^{m}$ для некоторого натурального $m\geqslant 2$ и группа $G\in\mathscr{X}\setminus\mathscr{BS}_{\pi}^{m}$ выбрана так, что ее порядок является наименьшим. Тогда группа $G$ содержит подгруппу $L$ и элемент $x$ такие, что:

$L\trianglelefteq G$ ;

$L$ является неабелевой простой группой;

$L$ не является $\pi$ - или $\pi'$ -группой;

$\operatorname{C}_G(L)=1$ ;

любые $m$ сопряженных с $x$ элементов порождают $\pi$ -группу;

$x$ имеет простой порядок, принадлежащий $\pi$ ;

$G=\langle x, L\rangle$ .

Лемма 2 (см. [24; теорема 1]). Если $2\not\in\pi$ , то $\mathscr{BS}_\pi^2$ совпадает с классом всех конечных групп.

Лемма 3 (см. [37; лемма 15]). Пусть $G$ – группа и $x\in\operatorname{Aut}(G)$ – автоморфизм, порядок которого равен степени простого числа $p$ . Положим $M=\operatorname{C}_G(x)$ и допустим, что $p$ делит $|G:M|$ и либо $M=\operatorname{N}_G(M)$ , либо $\operatorname{Z}(M) =1$ . Тогда $x$ нормализует, но не централизует некоторую подгруппу в $G$ , сопряженную с $M$ .

В индукционных рассуждениях будут использоваться следующие две очевидные леммы.

Лемма 4. Пусть $L$ – неабелева простая группа и $x\in \operatorname{Aut}(L)^\sharp$ . Предположим, что $x$ оставляет инвариантными некоторую подгруппу $H$ и ее нормальную подгруппу $N$ и индуцирует на $\overline{H}=H/N$ нетождественный автоморфизм, который мы обозначим через $\overline{x}$ . Допустим, группа $\overline{H}$ неабелева простая и ее порядок делится на простое число $r$ . Тогда

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant \beta_r(\overline{x},\overline{H}). \end{equation*} \notag$

Лемма 5. Пусть $L$ – неабелева конечная простая группа, $x,y\in \operatorname{Aut}(L)^\sharp$ . Предположим, что $y\in \langle x^{g_1},\dots,x^{g_k}\rangle$ для некоторых $g_1,\dots,g_k\in L$ . Тогда

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant k\cdot\beta_r(y,L) \end{equation*} \notag$

для любого простого делителя

$r$ порядка группы

$L$ .

2.2. Обозначения и предварительные сведения, касающиеся классических групп

При работе с классическими группами мы используем обозначения из [38] и [36]. Используя лиевскую нотацию, мы следуем [39].

Везде далее предполагается, что $q$ – степень фиксированного простого числа $p$ , через $F=\mathbb{F}_q$ обозначено конечное поле порядка $q$ . Напомним, что для векторного пространства $V$ над полем $F$ символ $V^\sharp$ обозначает множество всех ненулевых векторов этого пространства. Для вектора $v\in V$ и элемента $g\in \operatorname{GL}(V)$ образ $v$ под действием $g$ обозначен через $vg$ . Если же $v\in V$ и $g\in \operatorname{GL}(V)$ , то $[v,g]=vg-v$ . Для подгруппы $G\leqslant\operatorname{GL}(V)$ положим $[v,G]=\langle [v,g]\mid g\in G\rangle_F$ . Заметим, что, поскольку $[v,G]=\langle vg-vh\mid g,h\in G\rangle_F$ , подпространство $[v,G]$ пространства $V$ является $G$ -инвариантным.

Если пространство $V$ снабжено невырожденной билинейной, эрмитовой или квадратичной формой, то мы будем говорить, что подпространство $U$ пространства $V$ невырожденно, если ограничение соответствующей формы на $U$ невырожденно, и будем говорить, что $U$ вполне изотропно, если ограничение на него соответствующей формы тождественно нулевое.

Образ в группе $\operatorname{PGL}_n(q)$ матрицы $(a_{ij})\in\operatorname{GL}_n(q)$ , заданной своими элементами, будем обозначать с помощью тех же элементов, заключенных в квадратные скобки: $[a_{ij}]$ .

Далее через $\tau$ будем обозначать автоморфизм группы $\operatorname{GL}_n(q)$ , действующий по правилу

$\begin{equation*} \tau\colon A\mapsto (A^{-1})^\top, \end{equation*} \notag$

где

${}^\top$ – символ транспонирования матрицы. Через

$\varphi_{p^m}$ обозначен автоморфизм группы

$\operatorname{GL}_n(q)$ , действующий по правилу

$\begin{equation*} \varphi_{p^m}\colon (a_{ij})\mapsto (a_{ij}^{p^m}). \end{equation*} \notag$

Теми же символами

$\tau$ и

$\varphi_{p^m}$ мы обозначаем индуцированные

$\tau$ и

$\varphi_{p^m}$ автоморфизмы групп

$\operatorname{SL}_n(q)$ ,

$\operatorname{PGL}_n(q)$ и

$\operatorname{PSL}_n(q)$ . В частности, если

$q=p^k$ и

$r$ делит

$k$ , то

$\varphi_{q^{1/r}}$ – полевой автоморфизм порядка

$r$ .

Как правило, мы отождествляем группу $\operatorname{PSU}_n(q)$ с $\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_{\operatorname{PGL}_n(q^2)}(\tau\varphi_{q}))$ . Как обычно, при изучении линейных и унитарных групп мы будем часто использовать унифицированное обозначение $\operatorname{PSL}_n^\varepsilon(q)$ , где $\varepsilon\in\{+,-\}$ , полагая

$\begin{equation*} \operatorname{PSL}_n^{+}(q)=\operatorname{PSL}_n(q), \qquad \operatorname{PSL}_n^{-}(q)=\operatorname{PSU}_n(q). \end{equation*} \notag$

Аналогичным образом определены

$\operatorname{PGL}^\varepsilon_n(q)$ ,

$\operatorname{GL}^\varepsilon_n(q)$ и

$\operatorname{SL}^\varepsilon_n(q)$ . Следуя [36], мы используем также краткую нотацию

$\begin{equation*} L_n(q)=L_n^+(q)=\operatorname{PSL}_n(q), \qquad U_n(q)=L_n^-(q)=\operatorname{PSU}_n(q). \end{equation*} \notag$

При использовании лиевской нотации мы считаем, что

$\begin{equation*} A_{n-1}(q)=A_{n-1}^+(q)=\operatorname{PSL}_n(q), \qquad {}^2A_{n-1}(q)=A_{n-1}^-(q)=\operatorname{PSU}_n(q). \end{equation*} \notag$

Символом

$E_t$ обозначается единичная

$(t\times t)$ -матрица, а символом

$A\otimes B$ – кронекерово произведение матриц

$A$ и

$B$ .

Применительно к автоморфизмам групп лиева типа мы будем использовать следующую терминологию, близкую к принятой в [39] и несколько отличающуюся от принятой в [40]. Понятия внутренне-диагонального автоморфизма в [40] и [39] совпадают и не отличаются от используемого нами. В [39; определение 2.5.10] введены подгруппы $\Phi_K$ и $\Gamma_K$ в группе автоморфизмов произвольной группы лиева типа $K$ . Для групп лиева типа мы будем использовать обычно букву $L$ , поэтому соответствующие подгруппы будем обозначать через $\Phi_L$ и $\Gamma_L$ . Эти подгруппы можно отождествить соответственно с группами полевых и графовых автоморфизмов группы $L$ в смысле [40]. Через $\widehat{L}$ обозначается группа внутренне-диагональных автоморфизмов группы $L$ .

Применительно к линейным и унитарным группам скажем об автоморфизмах более подробно. В случае, когда $L=\operatorname{PSL}^\varepsilon_n(q)$ , имеем $\widehat{L}=\operatorname{PGL}^\varepsilon_n(q)$ .

Лемма 6 (см. [39; теорема 2.5.12]). Пусть ${\mathbb F}_q$ – поле порядка $q=p^k$ , $n\geqslant 2$ и $L=A_{n-1}^\varepsilon(q)$ . Тогда $\operatorname{Aut}(L)$ является расщепляемым расширением группы $\widehat{L}$ с помощью абелевой группы $\Phi_L\Gamma_L$ . При этом $\Phi_L\Gamma_L\cong \Phi_L\times \Gamma_L$ , а группы $\Phi_L$ и $\Gamma_L$ циклические. Если $\varepsilon=+$ , то $|\Phi_L|=k$ , а $|\Gamma_L|=2$ при $n>2$ и $|\Gamma_L|=1$ при $n=1$ . Если же $\varepsilon=-$ , то $|\Phi_L|=2k$ , а $|\Gamma_L|=1$ .

Для линейной простой группы $L$ автоморфизм $x\in\operatorname{Aut}(L)\setminus\widehat{L}$ будем называть:

•полевым по модулю $\widehat{L}$ , если образ $x$ в $\operatorname{Aut}(L)/\widehat{L}$ лежит в $\widehat{L}\Phi_L/\widehat{L}$ ; при этом элементы группы $\Phi_L$ мы будем называть каноническими полевыми автоморфизмами группы $L$ ;
• графовым по модулю $\widehat{L}$ , если образ $x$ в $\operatorname{Aut}(L)/\widehat{L}$ лежит в $\widehat{L}\Gamma_L/\widehat{L}$ ; при этом элементы группы $\Gamma_L$ мы будем называть каноническими графовым автоморфизмами группы $L$ ;
• графово-полевым по модулю $\widehat{L}$ во всех остальных случаях; при этом элементы из $\Phi_L\Gamma_L\setminus(\Phi_L\cup\Gamma_L)$ мы будем называть каноническими графово-полевыми автоморфизмами группы $L$ .

Пусть $L$ – унитарная простая группа. Пусть $x\in\operatorname{Aut}(L)\setminus\widehat{L}$ . Автоморфизм $x$ будем называть:

•полевым по модулю $\widehat{L}$ , если порядок образа $x$ в $\operatorname{Aut}(L)/\widehat{L}$ не делится на $2$ ; при этом такие элементы из группы $\Phi_L$ будем называть каноническими полевыми автоморфизмами группы $L$ ;
• графовым по модулю $\widehat{L}$ , если порядок образа $x$ в $\operatorname{Aut}(L)/\widehat{L}$ равен $2$ ; при этом такие элементы из группы $\Phi_L$ будем называть каноническими графовыми автоморфизмами группы $L$ ;
• графово-полевым по модулю $\widehat{L}$ , если порядок образа $x$ делится на $2$ , но не равен $2$ ; при этом такие элементы из группы $\Phi_L$ будем называть каноническими графово-полевыми автоморфизмами группы $L$ .

Заметим, что так определенные понятия полевого и графово-полевого по модулю $\widehat{L}$ автоморфизма $x$ группы $L$ совпадают с понятиями полевого и графово-полевого автоморфизма в [39; определение 2.5.13] соответственно в случае, когда $\langle x\rangle\cap \widehat{L}=1$ (в частности, когда $x$ имеет простой порядок).

Следующая лемма содержит информацию о параметре $\alpha(x,L)$ , где $x$ – автоморфизм простого порядка классической простой группы $L$ , взятую из [33].

Лемма 7. Пусть $S$ – простая классическая группа и $x\in \operatorname{Aut} L$ – элемент простого порядка. Тогда $\alpha(x,L)$ удовлетворяет условию, указанному в последнем столбце таблицы 1.

Доказательство следующего утверждения можно извлечь из общего доказательства теорем 4.1–4.4 в [33]. Более точно, в [33] это утверждение доказано для линейных групп на с. 534, для унитарных – на с. 536, для симплектических – на с. 538 и для ортогональных – на с. 539.

Оценки на $\alpha(x,L)$ для классических групп $L$

Лемма 8. Пусть $L$ – простая классическая группа и $x\in \widehat{L}$ – нетривиальный элемент простого порядка, индуцированный неприводимым полупростым элементом соответствующей $L$ группы подобий. Тогда $\alpha(x,L)\leqslant 3$ .

Лемма 9. Пусть $L=L_2(q)$ и $r\in \pi(L)$ – нечетное число, не делящее $q$ . Тогда для любой инволюции $x\in\widehat{L}$ выполнено $\beta_r(x,L)=2$ .

Доказательство. Из условия следует, что

$r$ делит

$q-\varepsilon$ для некоторого

$\varepsilon=\pm1$ . Допустим сначала, что

$x\in L$ . Поскольку все инволюции в

$L$ сопряжены (если

$q$ четно, это следует из теоремы Силова, равенства

$L=\widehat{L}$ и хорошо известного факта, что нормализатор силовской 2-подгруппы в

$L$ является группой Фробениуса с ядром порядка

$q$ и дополнением порядка

$q-1$ , регулярно действующим на неединичных 2-элементах силовской 2-подгруппы, а если

$q$ нечетно; см. [39; теорема 4.5.1 и таблица 4.5.1]), мы можем считать, что

$x$ содержится в подгруппе диэдра

$D$ порядка

$q-\varepsilon$ или

$2(q-\varepsilon)$ в зависимости от четности

$q$ и инвертирует все элементы единственной подгруппы

$\langle y\rangle$ порядка

$r$ в группе

$D$ (см. [5; утверждение 1.6.9]). Тогда элемент

$\begin{equation*} xx^y=(y^{-1})^xy=y^2 \end{equation*} \notag$

имеет порядок

$r$ и

$\beta_r(x,L)=2$ , как и утверждается.

Если $x\notin L$ , то $q$ нечетно. Все инволюции в $\widehat{L}\setminus L$ сопряжены элементами из $L$ , как следует из [39; теорема 4.5.3 и таблица 4.5.2], причем сопряжены с инволюцией из подгруппы диэдра $\widehat{D}$ порядка $2(q-\varepsilon)$ , которая инвертирует элементы единственной подгруппы $\langle y\rangle$ порядка $r$ в группе $\widehat{D}$ . Рассуждая, как и в предыдущем случае, получаем требуемое.

Лемма доказана.

Лемма 10. Пусть $\Delta=\Delta(V)$ – группа всех подобий конечномерного векторного пространства $V$ , снабженного невырожденной или тривиальной билинейной или эрмитовой формой. Пусть $x\in\Delta$ – элемент примарного порядка, образ которого в группе $\Delta(V)/\operatorname{Z}(\Delta(V))$ имеет простой порядок. Тогда имеет место один из следующих случаев:

элемент $x$ унипотентен и стабилизирует подпространство размерности $1$ ;

форма тривиальна, элемент $x$ полупрост и оставляет инвариантными два дополняющих друг друга ненулевых подпространства;

форма невырожденна, элемент $x$ полупрост и оставляет инвариантными собственное ненулевое невырожденное подпространство и ортогональное дополнение к нему;

форма невырожденна, ее индекс Витта равен $\frac{1}{2}\dim V$ (в частности, размерность $V$ четна), элемент $x$ полупрост и оставляет инвариантным максимальное вполне изотропное подпространство;

$x$ полупрост и действует неприводимо на $V$ .

Доказательство. Элемент

$x$ либо унипотентен, либо полупрост. В первом случае пусть

$l$ – наименьшее натуральное число такое, что

$(x-1)^l=0$ . Тогда

$(x-1)^{l-1}\ne 0$ и существует вектор

$v\in V$ такой, что

$\begin{equation*} v(x-1)^{l-1}\ne 0, \qquad v(x-1)^{l}= 0. \end{equation*} \notag$

Таким образом, для ненулевого вектора

$u=v(x-1)^{l-1}$ выполнено

$ux=u$ . Значит,

$\langle u\rangle$ – одномерное

$x$ -инвариантное подпространство, т.е. верно 1).

Пусть теперь элемент $x$ полупрост. Если он неприводим, то верно 5). Если форма тривиальна, то по теореме Машке (см. [35; теорема (1.9)]) верно 2). Поэтому считаем, что $x$ приводим и форма невырожденна. Пусть $U$ – собственное ненулевое $x$ -инвариантное подпространство. Элемент то $x$ стабилизирует ортогональное дополнение $U^\perp$ . Если $U$ невырожденно, то $U\cap U^\perp=0$ и $U^\perp$ – дополнение к $U$ в $V$ , тем самым верно 3).

Если $U$ не является невырожденным, то его радикал ${\operatorname{rad}U=U\cap U^\perp}$ – собственное ненулевое вполне изотропное $x$ -инвариантное подпространство. Можно, таким образом, считать $U$ вполне изотропным. Если $\dim U<\frac{1}{2}\dim V$ , то $U<U^\perp$ , $U=\operatorname{rad}U^\perp$ и по теореме Машке $U^\perp$ обладает $x$ -инвариантным дополнением $W$ к $U$ , причем $W\cong U^\perp/U$ невырожденно, т.е. имеет место 3). Если же $\dim U=\frac{1}{2}\dim V$ , то выполнено 4).

Лемма доказана.

Лемма 11 (см. [33; лемма 2.2]). Пусть $L$ – простая группа лиева типа, $G = \widehat{L}$ и $x\in G^\sharp$ . Тогда выполнены следующие утверждения.

Если элемент $x$ унипотентный, то пусть $P_1$ и $P_2$ – различные параболические максимальные подгруппы в $G$ , содержащие общую подгруппу Бореля, и $U_1$ , $U_2$ – унипотентные радикалы подгрупп $P_1$ и $P_2$ соответственно. Тогда элемент $x$ сопряжен с элементом из $P_i\setminus U_i$ для $i = 1$ или $i = 2$ .

Если элемент $x$ полупростой, то допустим, что $x$ содержится в некоторой параболической подгруппе группы $G$ . Если ранг группы $L$ не меньше 2, то существует параболическая максимальная подгруппа $P$ c дополнением Леви $J$ такая, что элемент $x$ сопряжен с некоторым элементом из $J$ , не централизующим никакую из (возможно, разрешимых) компонент Леви группы $J$ .

Лемма 12. Пусть $\mathbb{F}_q$ – поле нечетной характеристики $p$ и $\beta\in\mathbb{F}^*_q$ . Обозначим через $\mathbb{F}_{q_0}$ подполе в $\mathbb{F}_q$ , порожденное $\beta^3$ . Рассмотрим в $\operatorname{SL}_2(q)$ элементы

$\begin{equation*} x=\begin{pmatrix} 1 & {} \\ \beta^2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad y=\begin{pmatrix} 1 & \beta \\ {} & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Тогда подгруппа

$H=\langle x,y \rangle$ группы

$\operatorname{SL}_2(q)$ либо изоморфна

$\operatorname{SL}_2(q_0)$ , либо

$q_0=9$ и

$H$ изоморфна подгруппе в

$\operatorname{SL}_2(q_0)$ , образ которой в

$\operatorname{PSL}_2(q_0)$ изоморфен

$A_5$ , а сама

$H$ содержит подгруппу, изоморфную

$\operatorname{SL}_2(3)$ . В частности,

$H$ всегда содержит подгруппу, изоморфную

$\operatorname{SL}_2(p)$ , и в ней матрицу

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & {} \\ & -1 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

которая является единственным элементом порядка

$2$ группы

$\operatorname{SL}_2(q)$ .

Доказательство. Рассмотрим матрицу

$\begin{equation*} g=\begin{pmatrix} 1 & {} \\ {} & \beta^2 \end{pmatrix}\in \operatorname{GL}_2(q) \end{equation*} \notag$

и подгруппу

$H^g=\langle x^g,y^g\rangle\cong H$ . Непосредственными вычислениями убеждаемся, что

$\begin{equation*} x^g=\begin{pmatrix} 1 & {} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad y^g=\begin{pmatrix} 1 & \beta^3 \\ {} & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Теперь из [3; гл. 2, теорема 8.4] следует, что подгруппа

$H^g$ , а значит, и

$H$ , такая, как утверждается в лемме.

Лемма доказана.

Лемма 13. Пусть $V$ – пространство с невырожденной эрмитовой формой над полем $F=\mathbb{F}_{q^2}$ нечетной размерности $\dim V=n\geqslant 5$ . Тогда для унипотентного элемента $x\in\operatorname{SU}(V)$ простого порядка имеет место один из следующих случаев:

$x$ стабилизирует невырожденное подпространство размерности $1$ ;

$x$ стабилизирует максимальное вполне изотропное подпространство и индуцирует на нем нетождественное преобразование;

$q$ нечетно и существует сопряженный с $x$ элемент $x^g$ такой, что в подгруппе $\langle x, x^g\rangle$ некоторая инволюция стабилизирует максимальное вполне изотропное подпространство и индуцирует на нем нескалярное преобразование.

Доказательство. Для

$\alpha\in F=\mathbb{F}_{q^2}$ положим

$\overline{\alpha}=\alpha^q$ .

В [41; предложение 2.2] найдены представители классов сопряженности унипотентных элементов группы $\operatorname{SU}(V)\cong\operatorname{SU}_n(q)$ . Известно, что с точностью до сопряженности элементом из $\operatorname{GU}(V)$ унипотентному элементу $x$ соответствует однозначно с точностью до перестановки слагаемых определенное разбиение

$\begin{equation*} n=n_1+\dots+n_s \end{equation*} \notag$

и соответствующее ему разложение

$\begin{equation*} V=V_1+\dots+ V_s \end{equation*} \notag$

пространства

$V$ в сумму попарно ортогональных невырожденных

$x$ -инвариантных подпространств

$V_1,\dots,V_s$ таких, что

$\dim V_t=n_t$ для

$t\in\{1,\dots,s\}$ , и действие

$x$ на

$V_t$ задается следующим образом.

Зафиксируем $\beta,\gamma\in F^*$ так, что $\beta+\overline{\beta}=0$ и $\gamma+\overline{\gamma}=-1$ . Если $n_t=2k$ для некоторого $k=k(t)$ , то в $V_t$ существует упорядоченный базис

$\begin{equation*} e^t_1,\dots,e^t_k,f^t_k,\dots,f^t_1 \end{equation*} \notag$

такой, что

$\begin{equation*} (e_i^t,e_j^t)=(f_i^t,f_j^t)=0, \quad (e_i^t,f_j^t)=\delta_{ij} \quad\text{для всех }\ i,j=1,\dots,k, \end{equation*} \notag$

и выполнены равенства

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, e^t_ix&=e^t_i+\dots+e^t_k+\beta f^t_k \quad\text{для всех }\ i=1,\dots,k, \\ f^t_ix&=f^t_i- f^t_{i-1} \quad\text{для всех }\ i=2,\dots,k, \\ f^t_1x&=f^t_{1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Если же $n_t=2k+1$ , $k=k(t)$ , то в $V_t$ существует упорядоченный базис

$\begin{equation*} e^t_1,\dots,e^t_k,d^t,f^t_k,\dots,f^t_1 \end{equation*} \notag$

такой, что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, (e_i^t,e_j^t)=(f_i^t,f_j^t)=(e_i^t,d^t)=(f_i^t,d^t)=0, \\ (d^t,d^t)=1,\qquad (e_i^t,f_j^t)=\delta_{ij} \quad\text{для всех }\ i,j=1,\dots,k, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

и выполнены равенства

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, e^t_ix&= e^t_i+\dots+e^t_k+d^t+\gamma f^t_k \quad\text{для всех }\ i=1,\dots,k, \\ d^tx&=d^t- f^t_{k}, \\ f^t_ix&=f^t_i- f^t_{i-1} \quad\text{для всех }\ i=2,\dots,k, \\ f^t_1x&=f^t_{1}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Ясно, что случай 1), т.е. существование одномерного

$x$ -инвариантного невырожденного подпространства, равносилен тому, что

$n_t=1$ для некоторого

$t\in\{1,\dots,s\}$ . Поэтому считаем, что

$n_t>1$ для всех

$t$ . Поскольку

$n$ нечетно, некоторое

$n_t$ также нечетно и для него

$n_t\geqslant 3$ . Теперь из того, что

$x$ имеет порядок

$p$ , где

$p$ – характеристика поля, заключаем, что

$p>2$ . В самом деле, при

$p=2$ элемент

$x^2$ нетождественно действует на

$V_t$ :

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, e^t_kx^2 &=(e^t_k+d^t+\gamma f_k^t)x=e_k^t+d^t+\gamma f_k^t+d^t+f_k^t+\gamma(f_k^t+f) \\ &=e_k^t+f_k^t+\gamma f\ne e_k^t, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$f=0$ , если

$k=1$ , и

$f=f^t_{k-1}$ в противном случае.

Обозначим через $U$ подпространство, порожденное всеми $f^t_i$ , где $t=1,\dots,s$ , $i=1,\dots, k(t)$ . Ясно, что $U$ вполне изотропно и $x$ -инвариантно.

Предположим, что ровно одно слагаемое в сумме $n_1+\dots+n_s$ нечетно. Тогда подпространство $U$ является максимальным вполне изотропным. При этом если $k=k(t)>1$ для некоторого $t\in\{1,\dots,s\}$ , то из равенства

$\begin{equation*} f^t_{k}x=f^t_k-f^t_{k-1} \end{equation*} \notag$

следует, что

$x$ действует на

$U$ нетождественно, т.е. имеет место случай 2) леммы. Поэтому мы можем считать, что

$\begin{equation*} n_1=\dots=n_{s-1}=2, \qquad n_s=3. \end{equation*} \notag$

Так как

$n\geqslant 5$ , мы видим, что

$s\geqslant 2$ и

$n_1=2$ . Рассмотрим элемент

$g\in \operatorname{GL}(V)$ такой, что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, e^1_1g=\beta^{-1}f^1_1, \qquad f^1_1g=-\beta e_1^1, \\ e^t_1g=e^t_1, \quad f^t_1g=f^t_1 \quad\text{при }\ t>1, \\ d^sg=d^s, \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где, как и выше,

$\beta\in F^*$ и

$\beta+\overline{\beta}=0$ . Тогда, как легко проверить,

$g\in\operatorname{SU}(V)$ и матрицы элементов

$x$ и

$x^g$ в базисе

$\begin{equation*} e^1_1,f^1_1,e^2_1,f^2_1,\dots, e^{s-1}_1,f^{s-1}_1,e^{s}_1,d^s,f^{s}_1 \end{equation*} \notag$

имеют вид

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & \beta & & & & & & & & \\ & 1 & & & & & & & & \\ & & 1 & \beta & & & & & & \\ & & & 1 & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & 1 & \beta & & & \\ & & & & & & 1 & & & \\ & & & & & & & 1 & 1 & \gamma \\ & & & & & & & & 1 & -1 \\ & & & & & & & & & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & & & & & & & & & \\ -\beta^2 & 1 & & & & & & & & \\ & & 1 & \beta & & & & & & \\ & & & 1 & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & 1 & \beta & & & \\ & & & & & & 1 & & & \\ & & & & & & & 1 & 1 & \gamma \\ & & & & & & & & 1 & -1 \\ & & & & & & & & & 1 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$

соответственно, где элементы

$\beta$ и

$\gamma$ из

$F$ выбраны описанным выше способом. Далее, рассмотрим подгруппу

$\begin{equation*} H=\langle x,x^g\rangle=\langle (x^g)^{-1},x\rangle. \end{equation*} \notag$

Тогда

$H$ – подгруппа в группе

$K$ всех блочно-диагональных матриц вида

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} A & {} \\ {} & B \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

где

$A\in\operatorname{SL}_2(q^2)$ , a

$B$ – произвольная унитреугольная матрица над

$\mathbb{F}_{q^2}$ порядка

$n-2$ . Рассмотрим также эпиморфизм

$\begin{equation*} \overline{\phantom{G}}\colon K\to \operatorname{SL}_2(q^2), \end{equation*} \notag$

действующий по правилу

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} A & {} \\ {} & B \end{pmatrix}\mapsto A. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} \overline{(x^g)}{}^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & {} \\ \beta^2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \overline{x}= \begin{pmatrix} 1 & \beta \\ {} & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Поэтому, как следует из леммы 12, подгруппа

$\begin{equation*} \overline{H}=\overline{\langle(x^g)^{-1},{x} \rangle} \leqslant\overline{K}=\operatorname{SL}_2(q^{{2}}) \end{equation*} \notag$

содержит единственный элемент

$\overline{y}$ порядка 2 группы

$\operatorname{SL}_2(q^{{2}})$ , и это матрица

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & {} \\ {} & -1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Возьмем его прообраз

$y$ в

$H$ также порядка

$2$ . Тогда матрица

$y$ в базисе

$\begin{equation*} e^1_1,f^1_1,e^2_1,f^2_1,\dots, e^{s-1}_1,f^{s-1}_1,e^{s}_1,d^s,f^{s}_1 \end{equation*} \notag$

имеет вид⁵^[x]⁵Можно заметить, что на месте символов

$*$ стоят нули, так как в противном случае порядок образа элемента

$y$ в некотором гомоморфном образе подгруппы

$H$ был бы кратен

$p$ , вопреки выбору

$y$ , но для наших рассуждений это неважно.

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 & & & & & & & & & \\ & -1 & & & & & & & & \\ & & 1 & * & & & & & & \\ & & & 1 & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & 1 & * & & & \\ & & & & & & 1 & & & \\ & & & & & & & 1 & * & * \\ & & & & & & & & 1 & * \\ & & & & & & & & & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

и векторы

$f_1^1,f_1^2,\dots, f_1^{s-1}, f^s_1$ будут собственными для

$y$ :

$\begin{equation*} f_1^1y=-f^1_1,\qquad f_1^ty=f_1^t \quad\text{при }\ t>1. \end{equation*} \notag$

Следовательно, максимальное вполне изотропное подпространство

$\begin{equation*} U=\langle f_1^1,\dots, f_1^{s-1}, f^s_1\rangle_F \end{equation*} \notag$

инвариантно относительно элемента

$y$ , и на

$U$ этот элемент индуцирует нескалярное преобразование. Таким образом, имеет место случай 3).

Покажем, наконец, что если среди $n_1,\dots, n_s$ более одного нечетного числа, то снова имеет место случай 2). Не умаляя общности, можем считать, что нечетными будут числа $n_1,\dots, n_{s'}$ , а числа $n_{s'+1},\dots, n_s$ будут четными, причем, поскольку $n$ нечетно, число $s'$ также нечетно. Рассмотрим ортогональное дополнение $U^\perp$ к $U$ . Оно $x$ -инвариантно, и из того, что $\operatorname{codim} U^\perp=\dim U=n-\dim U^\perp$ совпадает с числом векторов $e_i^t$ , $t=1,\dots,s$ , $i=1,\dots, k_t$ , следует

$\begin{equation*} U^\perp=\langle d^{t'}, f_i^t\mid t'=1,\dots,s', \ t=1,\dots,s,\ i=1,\dots, k_t\rangle_F. \end{equation*} \notag$

Рассмотрим $(s'-1)/2$ пар векторов $(d^1,d^2),\dots,(d^{s'-2},d^{s'-1})$ . Возьмем одну такую пару $(d^{t'},d^{t'+1})=(d,d')$ и построим по ней пару $(a,b)=(a^{t'},b^{t'})$ по следующему правилу. Возьмем $\mu\in \mathbb{F}_{q^2}$ таким, что $\mu\overline{\mu}=-1$ , и положим

$\begin{equation*} a=d+\mu d', \qquad b=d-\mu d'. \end{equation*} \notag$

Так как

$(d,d')= 0$ и

$(d,d)=(d',d')=1$ , имеем

$\begin{equation*} (a,a)=(d+\mu d',d+\mu d')=1+\mu\overline{\mu}=0 \end{equation*} \notag$

и аналогично

$(b,b)=0$ . Заметим, что

$\begin{equation*} dx+U= d+U, \qquad d'x+U=d'+U, \end{equation*} \notag$

т.е.

$x$ индуцирует тождественное преобразование факторпространства

$\begin{equation*} (\langle d,d'\rangle_F+U)/U=(\langle a,b\rangle_F+U)/U. \end{equation*} \notag$

Теперь понятно, что

$\begin{equation*} W=\langle a^1,a^3,\dots,a^{s'-2}, U\rangle_F \end{equation*} \notag$

является максимальным вполне изотропным подпространством пространства

$V$ , которое к тому же

$x$ -инвариантно. При этом

$\begin{equation*} a^1x=(d^1+\mu d^2)x=d^1+\mu d^2 - f^1_{k(1)}-\mu f^1_{k(2)}\ne d^1+\mu d^2= a^1, \end{equation*} \notag$

т.е.

$x$ действует на

$W$ нетождественно, и имеет место случай 2).

Лемма 13 доказана.

Лемма 14. Пусть имеет место одно из утверждений:

$(+)$ $V$ – конечномерное векторное пространство над конечным полем $F$ , $V\,{=}\,U\,{\oplus}\, W$ для некоторых подпространств $U$ и $W$ и $2\leqslant \dim U\leqslant \dim W$ ;
$(-)$ выполнено то же, что и в утверждении $(+)$ , и, кроме того, на $V$ задана невырожденная эрмитова форма, ограничения которой на $U$ и $W$ невырожденны, причем $U\perp W$ .

Пусть знак $\varepsilon\in\{+,-\}$ показывает, какое из данных утверждений имеет место, и пусть $F=\mathbb{F}_q$ при $\varepsilon=+$ и $F=\mathbb{F}_{q^2}$ при $\varepsilon=-$ , а $n=\dim V$ .

Допустим, подгруппы $L_U\leqslant \operatorname{GL}^\varepsilon(U)$ и $L_W\leqslant \operatorname{GL}^\varepsilon(W)$ неприводимы, и определим естественным образом $L=L_U\times L_W$ как подгруппу в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$ . Предположим, что элемент $x\in L$ таков, что его естественная проекция на $L_U$ действует неприводимо на $U$ .

Тогда справедливы следующие утверждения.

Существует элемент $g\in \operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ такой, что подгруппа $G=\langle L,x^g\rangle$ неприводимо действует на $V$ .

Предположим, что $\dim U\leqslant\dim W$ и $\operatorname{SL}^\varepsilon(W)\leqslant L_W\leqslant\operatorname{GL}^\varepsilon(W)$ . Тогда либо элемент $g\in \operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ можно выбрать так, что подгруппа $G\leqslant \operatorname{GL}^\varepsilon(V)$ , определенная в 1), примитивна, либо $(n,q)\in\{(4,2),(4,3)\}$ и мощность системы импримитивности группы $G$ , определенной в 1), равна $4$ .

Допустим, $(n,q)\notin\{(4,2),(4,3),(4,5)\}$ , $|x|$ – простое число и элемент $x$ при $\varepsilon=+$ не имеет собственных векторов, a при $\varepsilon=-$ не имеет невырожденных собственных векторов. Пусть $U$ является $x$ -инвариантным подпространством наименьшей размерности, $t=\operatorname{codim} U$ . Положим

$\begin{equation*} m=\begin{cases} t & \textit{при } t>2, \\ 3&\textit{при }t=2. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Тогда некоторые

$m+1$ элементов, сопряженных с

$x$ посредством элементов из

$\operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ , порождают подгруппу, содержащую одну из подгрупп:

$\bullet$ $\operatorname{SL}^\varepsilon_n(q)$ ;
$\bullet$ $\operatorname{Sp}_n(q)$ ;
$\bullet$ $\operatorname{SL}_n^-(q_0)$ при $q=q_0^2$ ;
$\bullet$ $\mathrm{O}^\pm_n(q)$ при четных $q$ ;
$\bullet$ $S_{n+1}$ при $q=2$ и нечетном $n> 6$ ;
$\bullet$ $S_{n+2}$ при $q=2$ и четном $n\geqslant 6$ .

Доказательство. Покажем сначала, что

$(*)$ $U$ и $W$ – это единственные собственные ненулевые $L$ -инвариантные подпространства пространства $V$ .

Действительно, предположим, что собственное подпространство $X$ пространства $V$ является $L$ -инвариантным. Поскольку $2\leqslant \dim U\leqslant \dim W$ и подгруппы $L_U$ и $L_W$ неприводимы на соответствующих подпространствах, для любых $u\in U^\sharp$ и $w\in W^\sharp$ справедливы равенства $[u,L_U]=U$ и $[w,L_W]=W$ . Пусть $v\in X^\sharp$ . Тогда вектор $v$ единственным образом представим в виде $v=u+w$ , где $u\in U$ и $w\in W$ . Если $u\ne 0$ , то в силу неприводимости группы $L_U$ имеем

$\begin{equation*} X\geqslant[ v,L] \geqslant [ v,L_U]=[u,L_U] =U. \end{equation*} \notag$

Следовательно, если

$u\ne 0$ , то

$X$ содержит

$U$ . Аналогичные рассуждения показывают, что если

$w\ne 0$ , то

$X$ содержит

$W$ . Утверждение

$(*)$ доказано.

Далее, мы утверждаем, что

$(**)$ существует такой элемент $g\in \operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ , что
$\begin{equation*} Ug\cap U\ne 0, \qquad Ug\cap W\ne 0; \end{equation*} \notag$
в частности, $Ug\nleqslant U$ и $Ug\nleqslant W$ .

Действительно, выберем в $U$ и $W$ базисы $e_1,\dots,e_s$ и $f_1,\dots,f_t$ соответственно, которые в случае $(-)$ будут ортонормированными. Поскольку $s=\dim U\geqslant 2$ , утверждение $(**)$ выполнено для элемента $g\in\operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ , определенного равенствами

$\begin{equation*} e_ig=e_i \quad\text{при }\ i<s, \qquad f_ig= f_i \quad\text{при }\ i<t, \qquad e_sg=- f_t, \qquad f_tg= e_s. \end{equation*} \notag$

Покажем, что подгруппа $G=\langle L,x^g\rangle$ неприводима. Допустим, $X$ – собственное ненулевое $G$ -инвариантное подпространство. Тогда оно является $L$ -инвариантным, а значит, либо $X=U$ , либо $X=W$ . С другой стороны, $Ug$ – это $x^g$ -инвариантное $x^g$ -неприводимое подпространство, значит, $Ug\cap X$ также является $x^g$ -инвариантным, что противоречит $x^g$ -неприводимости подпространства $Ug$ . Утверждение 1) доказано.

Прежде чем доказывать утверждение 2), сделаем очевидное замечание: выбор элемента $g\in \operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ в доказательстве утверждения 1) можно при необходимости скорректировать так, что пара подпространств $\{U,W\}$ не будет системой импримитивности для группы $G$ .

Предположим, что

$\begin{equation*} V=V_1\oplus\dots\oplus V_m, \end{equation*} \notag$

$m>1$ и

$V_i^y\in\Omega:=\{V_1,\dots, V_m\}$ для любых

$i\in\{1,\dots,m\}$ и

$y\in G$ , т.е.

$\Omega$ – система импримитивности для группы

$G$ . Наша цель – показать, что

$m=n=4$ и

$q\leqslant 3$ .

Из неприводимости группы $G$ заключаем также, что $G$ действует транзитивно на $\Omega$ , в частности, все $V_i$ изометричны и их размерности одинаковы. Пусть $\dim V_i=k$ .

Поскольку сумма элементов любой $L$ -орбиты на $\Omega$ инвариантна относительно $L$ , из утверждения $(*)$ заключаем, что либо $L$ действует транзитивно на $\Omega$ , либо имеется ровно две $L$ -орбиты на этом множестве, сумма элементов одной из которых равна $U$ , а другой $W$ .

Легко видеть, что случай нетранзитивного действия $L$ на $\Omega$ эквивалентен существованию $V_i\in\Omega$ такого, что $V_i\leqslant W$ . Заметим, что в этом случае $\{V_j\mid V_j\leqslant W\}$ – система импримитивности для групп $L$ и $L_W$ на $W$ . Пусть

$\begin{equation*} \operatorname{SL}^\varepsilon(W)\leqslant L_W\leqslant\operatorname{GL}^\varepsilon(W), \end{equation*} \notag$

как в утверждении 2). Тогда группа

$L_W$ примитивна и, значит,

$W$ совпадает с

$V_i$ . При этом

$\begin{equation*} U=\sum_{j\ne i}V_j, \end{equation*} \notag$

как следует из

$(*)$ . Учитывая, что

$\begin{equation*} (m-1)k=\dim U\leqslant\dim W=\dim V_i=k, \end{equation*} \notag$

получаем

$m=2$ и

$\Omega =\{U,W\}$ . Но мы считаем, что,

$\{U,W\}$ не является системой импримитивности для группы

$G$ .

Рассмотрим случай, когда $L$ транзитивна на $\Omega$ . Пусть

$\begin{equation*} \omega\colon V\to W \end{equation*} \notag$

обозначает проекцию на

$W$ параллельно

$U$ . Тогда

$vy\omega=v\omega y$ для любых

$v\in V$ и

$y\in L$ . В частности,

$L_W$ транзитивно действует на

$\Omega\omega=\{V_i\omega\mid i=1,\dots,m\}$ и размерности всех проекций

$V_i\omega$ одинаковы. Обозначим их через

$k'$ .

Рассмотрим сначала случай $(+)$ . Группа $\operatorname{SL}(W)$ действует транзитивно на подпространствах пространства $W$ одинаковых размерностей. Поскольку $\operatorname{SL}(W)\leqslant L_W$ , множество $\Omega\omega$ совпадает с множеством $k'$ -мерных подпространств пространства $W$ , которых заведомо не меньше, чем одномерных. Таким образом, если $\dim W=t$ , то

$\begin{equation*} m=|\Omega|\geqslant |\Omega\omega|\geqslant \frac{q^t-1}{q-1}\geqslant 2^t-1\geqslant 2^{n/2}-1. \end{equation*} \notag$

Если

$m<n$ , то

$m=n/k\leqslant n/2$ . Из условия следует, что

$n\geqslant 4$ , но при таких

$n$ неравенство

$n/2\geqslant 2^{n/2}-1$ неверно. Поэтому

$m=n$ . При

$n>4$ нарушается неравенство

$\begin{equation*} n\geqslant 2^{t}-1, \quad\text{где }\ t\geqslant \frac n2. \end{equation*} \notag$

Поэтому

$n=4$ . Наконец, неравенство

$\begin{equation*} 4=n\geqslant \frac{q^t-1}{q-1}\geqslant \frac{q^{n/2}-1}{q-1}=q+1 \end{equation*} \notag$

означает, что

$q\leqslant 3$ .

Тем самым, 2) в случае $(+)$ доказано. Отметим, что число $(q^t-1)/(q-1)$ одномерных подпространств $t$ -мерного пространства $W$ над $\mathbb{F}_q$ , как правило, совпадает со степенью $\mu(\operatorname{SL}_t(q))$ минимального подстановочного представления группы $\operatorname{SL}(W)=\operatorname{SL}_t(q)$ ; см. [42].

Разбирая случай $(-)$ , исключим сначала возможность $t=3$ . Для этого детально рассмотрим действие $\operatorname{SU}(W)$ непосредственно на $\Omega\omega$ при $t=3$ . При всех других $t$ мы воспользуемся информацией о степенях минимальных подстановочных представлений $\mu(\operatorname{SU}_t(q))$ группы $\operatorname{SU}_t(q)$ , вычисленных в той же работе [42]. Пользуемся также цепочкой неравенств

$\begin{equation*} 2t\geqslant n\geqslant m=|\Omega|\geqslant |\Omega\omega|\geqslant \mu(\operatorname{SU}_t(q)), \end{equation*} \notag$

которые имеют место аналогично случаю

$(+)$ .

Пусть $t=3$ . По лемме Витта любые два изометричных подпространства пространства $W$ некоторый элемент $\operatorname{SU}(W)$ переводит друг в друга. Размерность вполне изотропных подпространств в $W$ не превосходит $[3/2]=1$ . Вычисляя число соответствующих подпространств как индекс стабилизатора одного из них в группе $\operatorname{SU}(W)$ , заключаем, что, вопреки неравенству $2t\geqslant |\Omega\omega|$ , имеет место один из следующих случаев:

• $V_i\omega$ вполне изотропны, их размерность равна 1 и
$\begin{equation*} |\Omega\omega|=q^3+1\geqslant 2^3+1= 9> 6=2t; \end{equation*} \notag$
• $V_i\omega$ невырожденные размерности 1,
$\begin{equation*} |\Omega\omega|=q^2(q^2+q+1)\geqslant 2^2(2^2+2+1)= 28>6=2t; \end{equation*} \notag$
• $V_i\omega$ невырожденные размерности 2, их столько же, сколько (одномерных невырожденных) ортогональных дополнений к ним, и тем самым имеет место оценка из предыдущего случая;
• $V_i\omega$ вырожденные, но не изотропные, размерности 2, это в точности ортогональные дополнения к своим (одномерным изотропным) радикалам, их столько же, сколько одномерных изотропных подпространств, т.е. справедлива оценка из первого случая.

Из [42; таблица 1] с учетом изоморфизма $\operatorname{SU}_2(q)\cong \operatorname{SL}_2(q)$ имеем

$\begin{equation*} \mu(\operatorname{SU}_t(q)) =\begin{cases} 2, &\text{если } (t,q)=(2,2), \\ 3, &\text{если } (t,q)=(2,3), \\ 5, &\text{если } (t,q)=(2,5), \\ 7, &\text{если } (t,q)=(2,7), \\ 6, &\text{если } (t,q)=(2,9), \\ 11, &\text{если } (t,q)=(2,11), \\ q+1, &\text{если } t=2, \ q\ne 2,3,5,7,9, 11, \\ 2, &\text{если } (t,q)=(3,2), \\ 50, &\text{если } (t,q)=(3,5), \\ q^3+1, &\text{если } t=3, \ q\ne 2,5, \\ (q+1)(q^3+1), &\text{если } t=4, \\ \displaystyle\frac{(q^{t-1}-(-1)^{t-1})(q^{t}-(-1)^{t})}{(q^{2}-1)}, &\text{если } t>4. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Мы предполагаем, что $(t,q)\notin\{(2,2),(2,3)\}$ , так как в противном случае $(n,q)\in\{(4,2),(4,3)\}$ и $m=n$ , как в заключении утверждения 2).

Если $t=2$ и $q\in\{5,7,9,11\}$ , то $\mu(\operatorname{SU}_t(q))>4=2t$ , вопреки неравенству $2t\geqslant \mu(\operatorname{SU}_t(q))$ . Если же $q\ne 5,7,9,11$ , то снова

$\begin{equation*} \mu(\operatorname{SU}_t(q))=q+1\geqslant 4+1>4=2t. \end{equation*} \notag$

Случай $t=3$ исключен выше.

При $t=4$ снова имеем

$\begin{equation*} \mu(\operatorname{SU}_t(q))=(q+1)(q^3+1)\geqslant (2+1)(2^3+1)=27>8=2t. \end{equation*} \notag$

Наконец, исключим случай

$t>4$ . При четном

$t=2d>4$ имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mu(\operatorname{SU}_t(q)) &=\frac{(q^{t-1}-(-1)^{t-1})(q^{t}-(-1)^{t})}{(q^{2}-1)} \\ &=(q^{t-1}+1)\sum_{i=0}^{d-1}q^{2i}\geqslant d(2^{t-1}+1)>t\cdot 2^{t-2}>2t. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

При нечетном

$t=2d+1>4$ имеем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mu(\operatorname{SU}_t(q)) &=\frac{(q^{t-1}-(-1)^{t-1})(q^{t}-(-1)^{t})}{(q^{2}-1)} \\ &=(q^{t}+1)\sum_{i=0}^{d-1}q^{2i}\geqslant d(2^t+1)>(t-1)\cdot 2^{t-1}>2t. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Всюду получаем противоречие с неравенством

$2t\geqslant \mu(\operatorname{SU}_t(q))$ . Утверждение 2) доказано полностью.

Докажем 3). Пусть $x=x_Ux_W$ , где $x_U\in \operatorname{GL}^\varepsilon(U)$ и $x_W\in \operatorname{GL}^\varepsilon(W)$ . Так как элемент $x$ полупростой, имеет простой порядок и при $\varepsilon=+$ не имеет собственных векторов, a при $\varepsilon=-$ не имеет невырожденных собственных векторов в $V$ , получаем

$\begin{equation*} |x|=|x_U|=|x_W|, \qquad (|x|, q-\varepsilon)=1. \end{equation*} \notag$

Мы не будем предполагать, что группа

$L$ уже дана, но построим ее для элемента

$x$ специальным образом, после чего убедимся, что она удовлетворяет условию леммы.

Из условия ясно, что $t\geqslant n/2\geqslant 2$ . Так как $x$ – полупростой элемент и $(n,q)\notin\{(4,2),(4,3),(4,5) \}$ , по лемме 7 существуют $m$ элементов $g_1,\dots,g_m\in \operatorname{SL}^\varepsilon(W)$ таких, что

$\begin{equation*} L_W:=\langle x_W^{g_1}, \dots, x_W^{g_m}\rangle\geqslant \operatorname{SL}^\varepsilon(W). \end{equation*} \notag$

При этом

$L_W=\langle \operatorname{SL}^\varepsilon(W), x_W\rangle$ . Положим

$\begin{equation*} L_U:=\langle x_U\rangle, \qquad L:=\langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m}\rangle. \end{equation*} \notag$

Тогда

$L\leqslant L_U\times L_W$ и проекции

$L$ на сомножители

$L_U$ и

$L_W$ сюръективны. Чтобы показать, что

$L$ удовлетворяет условию леммы, осталось установить, что

$L$ совпадает с

$L_U\times L_W$ .

Во-первых, заметим, что $x_W\in \operatorname{SL}^\varepsilon(W)$ ; в частности, $L_W=\operatorname{SL}^\varepsilon(W)$ . Это следует из того, что порядок образа элемента $x_W$ в факторгруппе $\operatorname{GL}^\varepsilon(W)/\operatorname{SL}^\varepsilon(W)$ делит $(|x|, q-\varepsilon)=1.$ Далее, рассмотрим канонический эпиморфизм

$\begin{equation*} \phi\colon {L_U\times L_W}\to ({L_U\times L_W})\,/\,\Phi({L_U\times L_W}). \end{equation*} \notag$

Учитывая, что

$L_U$ – группа простого порядка,

$L_W\cong \operatorname{SL}^\varepsilon(W)$ , и по известным свойствам подгруппы Фраттини (см. [2; гл. A, лемма (9.4)]) имеем

$\begin{equation*} \Phi({L_U\times L_W})=\Phi(L_U)\times \Phi(L_W)=\Phi(L_W)=\operatorname{Z}(L_W). \end{equation*} \notag$

Поэтому

$L^\phi$ изоморфна подгруппе в

$\mathbb{Z}_{|x|}\times L_n^\varepsilon(q)$ , проекции которой на каждый из сомножителей сюръективны. Но

$L^\phi$ обладает композиционными факторами, изоморфными

$\mathbb{Z}_{|x|}$ и

$L_n^\varepsilon(q)$ , поэтому

$\begin{equation*} L^\phi=({L_U\times L_W})\,/\,\Phi({L_U\times L_W}), \end{equation*} \notag$

откуда получаем

$L=L_U\times L_W$ .

Теперь по доказанным утверждениям 1) и 2) леммы существует $g\in\operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ такой, что группа

$\begin{equation*} G:=\langle L, x^{g}\rangle=\langle x^{g_1}, \dots, x^{g_m},x^{g}\rangle \end{equation*} \notag$

неприводима и примитивна как подгруппа в

$\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$ . Так как

$\operatorname{SL}^\varepsilon(W)\leqslant G$ , группа

$G$ содержит длинную корневую подгруппу группы

$\operatorname{SL}^\varepsilon(V)$ . Пусть

$R$ – нормальное замыкание в

$G$ этой корневой подгруппы. Ввиду того, что подгруппа

$G$ примитивна, подгруппа

$R$ неприводима. В частности,

$\mathrm{O}_p(R)=1$ . Теперь, как вытекает из [43; теорема II], группа

$R$ изоморфна одной из групп, указанных в утверждении 3) (для случая, когда

$\varepsilon=+$ , можно воспользоваться также результатами работ [44], [45]).

Лемма 14 доказана.

Лемма 15 (см. [39; предложение 4.9.1]). Пусть $L={}^d\Sigma(q)$ – простая группа лиева типа над полем ${\mathbb F}_q$ , где $\Sigma$ – неприводимая корневая система, $d$ – либо пустой символ, либо $2$ (т.е. ${}^d\Sigma(q)\ne{}^3D_4(q)$ ). Пусть $x$ и $y$ – автоморфизмы группы $L$ , имеющие один и тот же простой порядок, и допустим, что $x$ и $y$ являются одновременно полевыми или графово-полевыми автоморфизмами по модулю группы $\widehat{L}$ . Тогда подгруппы $\langle x\rangle$ и $\langle y\rangle$ в $\operatorname{Aut}(L)$ сопряжены элементом из $\widehat{L}$ . Если $x$ – полевой автоморфизм, то

$\begin{equation*} {}^d\Sigma(q^{1/|x|})\leqslant \operatorname{C}_{L}(x)\leqslant \operatorname{C}_{\widehat{L}}(x)=\widehat{{}^d\Sigma(q^{1/|x|})}. \end{equation*} \notag$

Если же

$x$ – графово-полевой автоморфизм и

${}^d\Sigma\in\{A_{n-1},D_{n}\}$ , то

$|x|=2$ и

$\operatorname{C}_{L}(x)={}^2\Sigma(q^{1/2})$ .

Лемма 16. Пусть $L=L_n^\varepsilon(q)$ – простая проективная специальная линейная или унитарная группа и $n\geqslant 4$ , и мы рассматриваем графовые по модулю $\widehat{L}$ инволюции в группе автоморфизмов группы $L$ . Тогда справедливы следующие утверждения.

Если $n$ нечетно, то все графовые по модулю $\widehat{L}$ инволюции сопряжены относительно $\widehat{L}$ и каждая такая инволюция нормализует в $L$ некоторую подгруппу $K$ , изоморфную $\operatorname{SL}^\varepsilon_{n-2}(q)$ , и индуцирует нетривиальный автоморфизм на $K/\operatorname{Z}(K)$ .

Если $n$ четно, а $q$ нечетно, то существует три класса $\widehat{L}$ -сопряженности графовых по модулю $\widehat{L}$ инволюций, и для их представителей $x_0$ , $x_+$ , $x_-$ выполнено

$\begin{equation*} \operatorname{F}^*(C_L(x_\delta))\cong \begin{cases} S_n(q), &\textit{если } \delta=0, \\ O^+_n(q), &\textit{если } \delta=+, \\ O^-_n(q), &\textit{если } \delta=-. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Элемент

$x_\delta$ нормализует подгруппу

$K_{\delta}$ в

$L$ , которая является образом относительно естественного гомоморфизма подгруппы вида

$\begin{equation*} \bigl(\operatorname{GL}_m^\varepsilon(q)\times \operatorname{GL}_{n-m}^\varepsilon(q)\bigr) \cap \operatorname{SL}_n^\varepsilon(q) \end{equation*} \notag$

из

$\operatorname{SL}_n^\varepsilon(q)$ , где

$\begin{equation*} m=\begin{cases} 2 & \textit{при } (\varepsilon,\delta)\in \{(+,0),(+,+),(-,+),(-,-)\}, \\ 1 & \textit{при } (\varepsilon,\delta)\in \{(+,-),(-,0)\}, \end{cases} \end{equation*} \notag$

$x_\delta$ индуцирует нетривиальный автоморфизм на той компоненте факторгруппы

$K_{\delta}/\operatorname{Z}(K_{\delta})$ , которая изоморфна

$\operatorname{PSL}_{n-m}^\varepsilon(q)$ .

Если оба числа $n$ и $q$ четны, то существует два класса $\widehat{L}$ -сопряженности графовых по модулю $\widehat{L}$ инволюций. Для любой инволюции $x$ в группе $L$ имеется $x$ -инвариантная подгруппа $K$ , для которой $K/\operatorname{Z}(K)\cong\operatorname{PSL}_n^\varepsilon(q)$ , и $x$ индуцирует нетривиальный автоморфизм на $K/\operatorname{Z}(K)$ .

Доказательство. Графовые по модулю

$\widehat{L}$ инволюции содержатся в смежном классе

$\widehat{L}\tau$ (см. начало п. 2.2). Информацию о классах

$\widehat{L}$ -сопряженности таких инволюций, их числе, представителях и централизаторах можно найти в [37; лемма 10].

Если $q$ нечетно, то все инволюции в $\widehat{L}\tau$ сопряжены с $\tau$ посредством элементов из $\widehat{L}$ . Поэтому мы можем считать, что $x=\tau$ . Тогда $x$ нормализует подгруппу $K$ в $L$ , которая является образом в $\operatorname{PSL}_n^\varepsilon(q)$ подгруппы вида

$\begin{equation*} \bigl(\operatorname{GL}_{n-1}^\varepsilon(q)\times \operatorname{GL}_1^\varepsilon(q)\bigr)\cap \operatorname{SL}_n^\varepsilon(q) \end{equation*} \notag$

и состоит из образов матриц вида

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} A&0 \\ 0&(\det A)^{-1} \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

где

$A$ пробегает

$\operatorname{GL}^\varepsilon_{n-1}(q)$ и нормализует подгруппу

$K^{\infty}\cong \operatorname{SL}_{n-1}^\varepsilon(q)$ . Ясно, что

$x=\tau$ индуцирует нетривиальный автоморфизм на

$K^{\infty}/Z(K^{\infty})\cong \operatorname{PSL}^\varepsilon_{n-1}(q)$ . Утверждение 1) доказано.

Рассмотрим случай, когда $n$ четно, а $q$ нечетно. При $\varepsilon=-$ доказательство утверждения о существовании требуемой подгруппы $K_\delta$ см. в [46; с. 288] и [47; с. 43]. Поэтому мы считаем, что $\varepsilon=+$ . В этом случае (см. [46; с. 285]) элемент $x$ сопряжен посредством элемента из $\widehat{L}$ с одной из трех попарно несопряженных инволюций $x_0$ , $x_+$ , $x_-$ , индуцированных на $L$ образами произведений

$\begin{equation*} J^0\tau,J^+\tau,J^-\tau\in \langle\operatorname{GL}_n(q),\tau\rangle \end{equation*} \notag$

соответственно, где:

• $J^0$ – блочно-диагональная матрица, на диагонали которой стоят блоки
$\begin{equation*} \begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}; \end{equation*} \notag$
• $J^+$ – блочно-диагональная матрица, на диагонали которой стоят блоки
$\begin{equation*} \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}; \end{equation*} \notag$
• $J^-$ – блочно-диагональная матрица, на диагонали которой стоят $n/2-1$ блоков
$\begin{equation*} \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$
и один блок имеет вид
$\begin{equation*} \begin{pmatrix}\mu&0\\0&1 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$
для такого $\mu\in \mathbb{F}_q$ , что $-\mu/2$ не является квадратом в $\mathbb{F}_q$ .

При этом централизаторы элементов $x_\delta$ такие, как указано в утверждении 2). Покажем, что $x_\delta$ нормализует некоторую подгруппу $K_\delta$ такую, как указано в 2).

Элементы $J^-$ и $\tau$ , а значит, и их произведение $J^-\tau$ нормализуют подгруппу вида

$\begin{equation*} (\operatorname{GL}_{n-1}(q)\times \operatorname{GL}_1(q))\cap \operatorname{SL}_n(q) \end{equation*} \notag$

группы $\operatorname{SL}_n(q)$ , поэтому $x_-$ нормализует подгруппу $K_-$ , которая определена так же, как подгруппа $K$ в доказательстве утверждения 1), и понятно, что $x_-$ индуцирует на $K_-$ неединичный автоморфизм. Для случая, когда $x$ сопряжен с $x_-$ , утверждение 2) доказано.

Элементы $J^0\tau$ и $J^+\tau$ нормализуют подгруппу в $\operatorname{GL}_n(q)$ , состоящую из блочно-диагональных матриц вида

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} A&0\\ 0&B \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

где

$A\in \operatorname{GL}_{n-2}(q)$ ,

$B\in\operatorname{GL}_2(q)$ . Пересекая ее с

$\operatorname{SL}_n(q)$ и рассматривая образ этого пересечения в

$\operatorname{PSL}_n(q)$ , получим группу

$K_0=K_+$ , инвариантную относительно

$x_0$ и

$x_+$ и такую, как указано в утверждении 2), c

$m=2$ . Утверждение 2) доказано.

Наконец, рассмотрим случай, когда $q$ и $n$ четны. Здесь в соответствии с [37; замечание 11] и [47; лемма 3.7] при $\varepsilon=-$ мы будем рассматривать $\operatorname{GL}^\varepsilon_n(q)=\operatorname{GU}_n(q)$ как группу матриц относительно некоторого упорядоченного базиса $e_1, \dots, e_m, f_m, \dots, f_1$ тех линейных преобразований векторного пространства размерности $n =2m$ над полем $\mathbb{F}_{q^2}$ , которые сохраняют эрмитову форму $(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ , определенную равенствами

$\begin{equation*} (e_i, e_j) =(f_i, f_j) =0, \quad (e_i, f_j) =\delta_{ij} \quad\text{для всех }\ i,j=1,\dots,m. \end{equation*} \notag$

Тогда (см. [37; лемма 10]) у группы $L$ имеется ровно два класса $\widehat{L}$ -сопряженности графовых по модулю $\widehat{L}$ автоморфизмов порядка $2$ , и некоторые их представители индуцированы элементами:

• $\tau$ и $J^0t\tau$ из $\langle\operatorname{GL}_n(q),\tau\rangle$ при $\varepsilon=+$ , где матрица $J^0$ определена выше, а
$\begin{equation*} t=\begin{pmatrix} 1 & 1 & & & \\ {} & 1 & & & \\ {} & & 1 & & \\ {} & & &\ddots & \\ {} & & & & 1 \end{pmatrix}; \end{equation*} \notag$
• $\varphi_q$ и $t_0\varphi_q$ из $\langle\operatorname{GU}_n(q),\varphi_q\rangle$ при $\varepsilon=-$ , где
$\begin{equation*} t_0=\begin{pmatrix} 1 & & & & 1\\ {} & 1 & & & \\ {} & & \ddots & & \\ {} & & & 1& \\ {} & & & & 1 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$
(корневой элемент максимальной высоты).

Пусть вначале $\varepsilon=+$ . Тогда $\tau$ , $J^0$ и $t$ нормализуют в $\operatorname{SL}_n(q)$ подгруппу всех блочно-диагональных матриц вида

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} A & {} \\ {}& B \end{pmatrix}, \quad \text{где }\ A\in \operatorname{GL}_2(q), \quad B\in\operatorname{GL}_{n-2}(q), \quad \det A\cdot\det B=1. \end{equation*} \notag$

Образ этой подгруппы в

$\operatorname{PSL}_n(q)$ содержит нормальную подгруппу

$K\cong \operatorname{SL}_{n-2}(q)$ , инвариантную относительно автоморфизмов, индуцированных

$\tau$ и

$J^0t\tau$ , причем оба автоморфизма нетривиальны на

$K/\operatorname{Z}(K)$ .

Пусть теперь $\varepsilon=-$ . Элемент $t_0$ в группе $\operatorname{GL}_n(q^2)$ централизует $\langle\tau,\varphi_q\rangle$ -инвариантную подгруппу $G^*$ , состоящую из матриц вида

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & & \\ {}& A & \\ {} & & 1 \end{pmatrix}, \quad \text{где } \ A\in \operatorname{SL}_{n-2}(q^2), \end{equation*} \notag$

и централизует в ней каждую подгруппу. В ней подгруппа

$K^*=C_{G^*}(\tau\varphi_q)\cong \operatorname{SU}_{n-2}(q)$ инвариантна относительно

$\varphi_q$ и

$t_0$ и содержится в

$\operatorname{SU}_n(q)$ . Элементы

$\varphi_q$ и

$t_0\varphi_q$ нормализуют в

$\operatorname{SU}_n(q)$ подгруппу

$\begin{equation*} N_{\operatorname{SU}_n(q)}(K^*)\cong (\operatorname{GU}_{n-2}(q)\times\operatorname{GU}_2(q))\cap\operatorname{SU}_n(q). \end{equation*} \notag$

Обозначим через

$K$ образ в группе

$\operatorname{PSL}_n(q^2)$ подгруппы

$K^*$ . Ясно, что

$K\leqslant \operatorname{PSU}_n(q)$ . Элементы

$\varphi_q$ и

$t_0\varphi_q$ индуцируют на изоморфных группах

$K^*/\operatorname{Z}(K^*)$ и

$K/\operatorname{Z}(K)\cong \operatorname{PSU}_{n-2}(q)$ нетривиальные автоморфизмы с согласованным действием.

Лемма 16 доказана.

Ввиду того, что в случае графового по модулю $\widehat{L}$ автоморфизма $x$ группы $L=L_n^\pm(q)$ при $n=4$ оценка на $\alpha(x,L)$ является нерегулярной (см. лемму 7), нам при $n=4$ понадобится дополнительная информация о подгруппах в $L$ , нормализуемых, но не централизуемых $x$ . Эту информацию дает следующая лемма, в которой мы пользуемся известными изоморфизмами $L_4^\pm(q)\cong O_6^\pm(q)$ ; см. [38; предложение 2.9.1].

Лемма 17. Пусть $V$ – векторное пространство над полем $\mathbb{F}_q$ нечетного порядка, $\dim V=6$ и $V$ снабжено невырожденной симметрической билинейной формой знака $\varepsilon\in\{+,-\}$ . Пусть $\mathrm{O}$ – группа изометрий пространства $V$ , $\Delta$ – его группа подобий, $\operatorname{SO}$ – группа элементов из $\mathrm{O}$ c определителем $1$ , $\Omega=\mathrm{O}'=\Delta'$ . Пусть

$\begin{equation*} \overline{\phantom{G}}\colon \Delta\to\Delta/\operatorname{Z}(\Delta) \end{equation*} \notag$

обозначает канонический эпиморфизм. Пусть

$L=\overline{\Omega}=O_{2n}^\varepsilon(q)$ . Тогда справедливы следующие утверждения.

Канонический графовый автоморфизм $\overline{\gamma}$ группы $L$ содержится в $\overline{\mathrm{O}}\setminus \overline{\operatorname{SO}}$ , а группа $\overline{\Delta}$ совпадает с $\langle\widehat{L},\overline{\gamma}\rangle$ .

Все графовые по модулю $\widehat{L}$ инволюции являются образами инволюций из $\Delta$ .

Имеется три класса $\widehat{L}$ -сопряженности графовых по модулю $\widehat{L}$ инволюций с представителями $\overline{\gamma}_1=\overline{\gamma}$ , $\overline{\gamma}_2$ и $\overline{\gamma}_{2}'$ , где $\gamma_i$ для каждого $i=1,2$ – инволюция в $\mathrm{O}$ , у которой собственное значение $-1$ имеет кратность $2i-1$ , а $\gamma_{2}'$ – инволюция в $\Delta\setminus \mathrm{O}$ , у которой кратность собственного значения $-1$ равна $3$ . При этом каждая инволюция $\overline{\gamma}_1$ и $\overline{\gamma}_2$ нормализует, но не централизует подгруппу в $L$ , изоморфную $O_{5}(q)\cong S_4(q)$ , а инволюция $\overline{\gamma}_{2}'$ нормализует, но не централизует подгруппу в $L$ , изоморфную $O_{4}^-(q)\cong L_2(q^2)$ .

Доказательство. Все утверждения леммы, кроме существования подгрупп, нормализуемых, но не централизуемых соответствующими инволюциями, следуют⁶^[x]⁶В таблицах 4.5.1 и 4.5.2 информацию о графовых инволюциях и их централизаторах нужно брать в строке для групп

$A^\varepsilon_m(q)$ при нечетном

$m$ , имея в виду, что

$A^\varepsilon_3(q)=D^\varepsilon_3(q)\cong O_6^\varepsilon(q)$ . из [39; теоремы 4.5.1, 4.5.2, таблицы 4.5.1, 4.5.2 и замечание 4.5.4].

Докажем, что инволюции $\gamma_i$ , $i=1,2$ , нескалярно действуют на некотором невырожденном подпространстве $U$ пространства $V$ таком, что $\dim U=5$ . Поскольку $\gamma_i$ – изометрия, подпространства $V_+$ и $V_-$ , состоящие из собственных векторов с собственными значениями $1$ и $-1$ соответственно, ортогональны друг другу и $V= V_+\oplus V_-$ . Поэтому $V_+$ и $V_-$ – невырожденные $\gamma_i$ -инвариантные подпространства, на каждом из которых $\gamma_i$ действует скалярно. Пусть $u\in V_+$ – невырожденный вектор. Тогда подпространство $W=u^\perp$ является $\gamma_i$ -инвариантным невырожденным дополнением к $\langle u\rangle$ . Поскольку $\dim V_+=6\,{-}\,2i\,{+}\,1>1$ , преобразование $\gamma_i$ имеет на $W$ оба собственных значения, $1$ и $-1$ , и действует на $W$ нескалярно. Значит, $\overline{\gamma}_i$ нормализует, но не централизует образ коммутанта группы изометрий пространства $W$ , изоморфный $O_{5}(q)$ .

Согласно [39; таблица 4.5.1] централизатор $\overline{\gamma}_{2}'$ в $\widehat{L}$ изоморфен некоторой группе автоморфизмов группы $O_{4}^-(q)\cong L_2(q^2)\cong O_3(q^2)$ , содержащей эту группу, имеет тривиальный центр и четный индекс в $\widehat{L}$ . Из леммы 3 заключаем, что $\overline{\gamma}_{2}'$ нормализует, но не централизует подгруппу в $L$ , изоморфную $O_{4}^-(q)$ .

Лемма доказана.

Лемма 18 (см. [32; лемма 2.18]). Пусть $L$ – простая классическая группа или знакопеременная группа и $r$ – нечетное простое число, не делящее порядок группы $L$ . Тогда справедливы следующие утверждения.

Если $L=A_n$ , то $r\geqslant n+1$ и $n\leqslant r-1$ .

Если $L=L_n(q)$ , то $r\geqslant n+2$ и $n\leqslant r-2$ .

Если $L=U_n(q)$ , то $r\geqslant n+2$ и $n\leqslant r-2$ .

Если $L=S_{n}(q)$ , то $r\geqslant n+3$ и $n\leqslant r-3$ .

Если $S=O_{n}(q)$ , $n$ нечетно, то $r\geqslant n+2$ и $n\leqslant r-2$ .

Если $S=O^+_{n}(q)$ или $S=O^-_{n}(q)$ , $n$ четно, то $r\geqslant n+1$ и $n\leqslant r-1$ соответственно.

Если $L=L_n(q^2)$ , то $r\geqslant 2n+3$ и $n\leqslant (r-3)/2$ .

Лемма 19. Пусть $L=L_n^\varepsilon(q)$ и $x$ – автоморфизм нечетного простого порядка группы $L$ . Тогда имеет место одно из следующих утверждений.

Существует элемент $g\in L$ такой, что подгруппа $\langle x,x^g\rangle$ неразрешима.

$q=3$ , $x$ – трансвекция и существуют $g_1,g_2\in L$ такие, что подгруппа $\langle x,x^{g_1},x^{g_2}\rangle$ неразрешима.

$\varepsilon=-$ , $q=2$ , $x$ – псевдоотражение порядка $3$ и существуют $g_1,g_2,g_3\in L$ такие, что подгруппа $\langle x,x^{g_1},x^{g_2},x^{g_3}\rangle$ неразрешима.

Доказательство следует из [17; теорема A*].

Лемма 20 (см. [32; предложение 2]). Пусть $L=A_n$ , $n\geqslant 5$ , $r\leqslant n$ – нечетное простое число и $x\in \operatorname{Aut} (L)$ – элемент простого порядка. Тогда:

$\beta_{r}(x,L)=r-1$ , если $x$ – транспозиция;

2) справедливо одно из утверждений

$\beta_{r}(x,L)\leqslant r-1$ ,

$r=3$ , $n=6$ , $x$ – инволюция, не лежащая в $S_6$ , и $\beta_{r,L}(x)= 3$ .

Лемма 21 (см. [34; теорема 1]). Пусть $r$ – нечетное простое число. Пусть $L$ – одна из $26$ спорадических простых групп. Пусть также простой делитель $s$ порядка группы $L$ выбран так, что $s=r$ , если $r$ делит $|L|$ , и $s> r$ в противном случае. Тогда

$\begin{equation*} \beta_{s}(x,L)\leqslant \begin{cases} 3,&\textit{если }r=3, \\ r-1,&\textit{если }r>3, \end{cases} \end{equation*} \notag$

для любого автоморфизма

$x$ простого порядка группы

$L$ .

§ 3. Доказательство теоремы 1

Доказательство теоремы 1 разобьем на несколько случаев. Начнем с разбора случаев малой размерности, которые рассматриваются в серии последовательных лемм. Затем рассмотрим внутренне-диагональные автоморфизмы $x$ , которые допускают естественное действие на ассоциированном векторном пространстве. Мы рассмотрим отдельно ситуации, когда $x$ стабилизирует одномерное подпространство так называемого унаследованного типа (в частности, здесь будет полностью разобран случай, когда автоморфизм $x$ индуцирован унипотентным элементом) и когда $x$ – полупростой элемент, не стабилизирующий такие одномерные подпространства. И наконец, разберем ситуации, когда автоморфизм $x$ является полевым, графово-полевым или графовым по модулю группы внутренне-диагональных автоморфизмов.

3.1. Случаи малой размерности

Лемма 22. Теорема 1 справедлива, если $L\in\{L^\pm_4(2),L^\pm_4(3),L^\pm_4(5)\}$ .

Доказательство. Пусть

$L=L_4^\varepsilon(q)$ , где

$\varepsilon\in\{+,-\}$ и

$q\in\{2,3,5\}$ . Теорема 1 верна для группы

$L=L_4(2)\cong A_8$ в силу леммы 20, поэтому считаем, что

$(\varepsilon,q)\ne(+,2)$ .

Рассмотрим случай $r=3$ . Тогда $s=r=3$ . О ситуации, когда $|x|=2$ , см. замечание в конце доказательства леммы, а здесь будем считать, что $|x|>2$ . По лемме 19 за исключением случая, когда $L=U_4(2)$ , а $x$ – псевдоотражение порядка $3$ (и мы можем это исключение не рассматривать), некоторые два или три сопряженных с $x$ элемента порождают неразрешимую группу. Рассматриваемая группа $L$ не имеет секций, изоморфных простым группам Сузуки, поэтому из теоремы Томпсона–Глаубермана (см. [48; гл. II, следствие 7.3]) следует, что порядок неразрешимой подгруппы в $L$ делится на 3. Таким образом, во всех случаях $\beta_3(x,L)\leqslant 3$ .

Считаем теперь, что $r\geqslant 5$ . По лемме 7 имеем $\alpha(x,L)\leqslant 4$ , за исключением следующих случаев:

• $L=L_4(q)$ , $q\in\{3,5\}$ и $x$ – графовый автоморфизм по модулю $\widehat{L}$ ; в этом случае $\alpha(x,L)\leqslant 6$ ;
• $L=U_4(2)$ и $x$ – трансвекция; в этом случае $\alpha(x,L)\leqslant 5$ ;
• $L=U_4(q)$ , $q\in\{2,3,5\}$ и $x$ – графовый автоморфизм по модулю $\widehat{L}$ ; в этом случае $\alpha(x,L)\leqslant 6$ .

Отсюда вытекает справедливость леммы при $r>5$ , а также, кроме перечисленных исключительных случаев, при $r=5$ .

Рассмотрим оставшиеся исключения, считая, что $r=5$ . Так как $5$ делит $|L|$ , имеем $s=5$ .

Пусть $L=L_4^\pm(5)$ и $x$ – графовая инволюция по модулю $\widehat{L}$ . Тогда согласно лемме 16, 2) элемент $x$ нормализует некоторую подгруппу $K$ группы $L$ такую, что $K/\operatorname{Z}(K)\cong L_2^\pm(5)\cong A_5$ или $K/\operatorname{Z}(K)\cong L_3^\pm(5)$ и $x$ индуцирует на $K/\operatorname{Z}(K)$ нетривиальный автоморфизм $y$ . Отсюда и из лемм 4, 7 и 20 заключаем, что

$\begin{equation*} \beta_5(x,L)\leqslant\beta_5(y,K/\operatorname{Z}(K))\leqslant 4=5-1. \end{equation*} \notag$

Пусть $x$ – графовый автоморфизм группы $L_4(3)$ по модулю внутренне-диагональных автоморфизмов и $|x|=2$ . В таблице характеров группы $\operatorname{Aut}(L_4(3))$ из [36] этому случаю соответствуют инволюции классов сопряженности $2D$ , $2E$ , $2F$ и $2G$ , причем классы $2D$ и $2F$ переставляются диагональным автоморфизмом, поэтому $2E$ можно не рассматривать. Воспользуемся известным фактом из теории характеров, утверждающим, что для данных элементов $a,b$ и $c$ группы $G$ число $\operatorname{m}(a,b,c)$ пар $(u,v)\in a^G\times b^G$ таких, что $uv=c$ , может быть найдено из таблицы характеров по формуле

$\begin{equation*} \operatorname{m}(a,b,c)=\frac{|a^G|\,|b^G|}{|G|}\sum_{\chi\in\operatorname{Irr}(G)} \frac{\chi(a)\chi(b)\overline{\chi(c)}}{\chi(1)}; \end{equation*} \notag$

см. [35; упражнение (3.9)]. Используя таблицу характеров из [36] соответствующего расширения

$L_4(3)$ , убеждаемся⁷, что в каждом из классов

$2F$ и

$2G$ существует пара элементов, произведение которых принадлежит классу

$5A$ и имеет порядок

$5$ (более точно,

$\operatorname{m}(2F,2F,5A)=\operatorname{m}(2G,2G,5A)=20$ ). Поэтому

$\beta_5(x,L)=2$ , если

$x$ – инволюция из классов

$2F$ и

$2G$ . Также в классе

$2A$ , состоящем из внутренних инволюций, есть пара элементов, произведение которых принадлежит

$5A$ , так как

$\operatorname{m}(2A,2A,5A)=5$ . При этом каждый элемент из

$2A$ является произведением двух инволюций из

$2D$ , поскольку

$\operatorname{m}(2D,2D,2A)=2$ . Следовательно, для инволюции

$x$ из

$2D\cup 2E$ имеем

$\beta_5(x,L)\leqslant 4=5-1$ .

Аналогично рассмотрим оставшиеся случаи.

$\bullet$ $L=U_4(2)$ , $x$ – трансвекция (класс $2A$ ):

$\begin{equation*} \operatorname{m}(2A,2A,2B)=2, \quad \operatorname{m}(2B,2B,5A)=5 \quad\Longrightarrow \quad \beta_5(x, U_4(2))\,{\leqslant}\, 4, \quad\text{если }\ x\in 2A. \end{equation*} \notag$

$\bullet$ $L=U_4(2)$ , $x$ – графовая по модулю $\widehat{L}$ инволюция (классы $2C$ , $2D$ ):

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{m}(2C,2C,5A)=5 \quad \Longrightarrow\quad \beta_5(x, U_4(2))= 2, \quad\text{если }\ x\in 2C; \\ \operatorname{m}(2D,2D,2B)=2, \quad\operatorname{m}(2B,2B,5A)=5\quad\Longrightarrow \quad \beta_5(x, U_4(2))\,{\leqslant}\, 4,\quad\text{если } x\,{\in}\, 2D. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

$\bullet$ $L=U_4(3)$ , $x$ – графовая по модулю $\widehat{L}$ инволюция (классы $2D$ , $2E$ , $2F$ ):

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{m}(2D,2D,2A)=2, \quad \operatorname{m}(2A,2A,5A)=5\quad\Longrightarrow\quad \beta_5(x, U_4(3))\,{\leqslant}\, 4, \quad\text{если } x\,{\in}\, 2D; \\ \operatorname{m}(2E,2E,5A)=5 \quad \Longrightarrow\quad \beta_5(x, U_4(3))= 2, \quad\text{если }\ x\in 2E; \\ \operatorname{m}(2F,2F,5A)=5 \quad \Longrightarrow\quad \beta_5(x, U_4(3))= 2, \quad\text{если }\ x\in 2F. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Аналогичным образом при помощи таблиц характеров в [49] рассматриваются внутренние инволюции

$x$ при

$s=3$ и доказывается, что

$\beta_3(x,L)=2.$

Лемма 22 доказана.

Лемма 23. Теорема 1 справедлива, если $L= L_2(q)$ .

Доказательство. Ведем индукцию по

$q$ . Справедливость теоремы 1 в группах

$L_2(4)$ ,

$L_2(5)$ и

$L_2(9)$ следует из леммы 20 и изоморфизмов

$L_2(4)\cong L_2(5)\cong A_5$ и

$L_2(9)\cong A_6$ . Поэтому считаем, что

$q\ne 4,5,9$ .

Если $x$ не является полевым автоморфизмом порядка $2$ , то в силу леммы 7 для любого простого делителя $s$ порядка группы $L$ имеем

$\begin{equation*} \beta_s(x,L)\leqslant\alpha(x,L)\leqslant 3, \end{equation*} \notag$

откуда следует утверждение леммы. В частности, лемма верна, если

$q$ – простое число.

Предположим теперь, что $|x|=2$ и автоморфизм $x$ полевой по модулю $\widehat{L}$ . Рассмотрим $\varphi=\varphi_{q^{1/2}}$ – канонический полевой автоморфизм порядка 2, индуцированный отображением

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} u&v \\ w&z \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} u^{q^{1/2}}&v^{q^{1/2}} \\ w^{q^{1/2}}&z^{q^{1/2}} \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Поскольку в

$\langle \widehat{L},\varphi\rangle$ подгруппы

$\langle x\rangle$ и

$\langle \varphi\rangle$ сопряжены относительно

$\widehat{L}$ по лемме 15, можно считать, что

$x=\varphi$ . Так как

$q\ne 9$ , по лемме 7 имеем

$\beta_s(x,L)\leqslant\alpha(x,L)\leqslant 4$ . Поэтому для любого

$r\geqslant 5$ справедливо утверждение теоремы 1.

Предположим, $r=3$ . Тогда $r$ делит порядок $L$ и $s=r=3$ . Кроме того, по лемме 15

$\begin{equation*} \operatorname{PSL}_2(q^{1/2})\leqslant \operatorname{C}_L(x)\leqslant \operatorname{PGL}_2(q^{1/2}) \end{equation*} \notag$

$\operatorname{C}_L(x)$ – подгруппа четного индекса в

$L$ . Она почти проста, так как

$q\ne 4,9$ , и, следовательно,

$\operatorname{Z}(\operatorname{C}_L(x))=1$ . По лемме 3 элемент

$x$ нормализует, но не централизует некоторую подгруппу, сопряженную с

$\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_L(x))\cong L_2(q^{1/2})$ . Остается воспользоваться предположением индукции.

Лемма доказана.

Лемма 24. Теорема 1 справедлива, если $L= U_3(q)$ .

Доказательство. Из леммы 7 следует, что

$\alpha(x,L)\leqslant 3$ , за исключением случая, когда

$q=3$ ,

$|x|=2$ и

$\alpha(x,L)=4$ . Поэтому

$\begin{equation*} \beta_s(x,L)\leqslant \alpha(x,L)\leqslant 4, \end{equation*} \notag$

откуда следует лемма для

$r>3$ и, более того,

$\begin{equation*} \beta_s(x,L)\leqslant \alpha(x,L)\leqslant 3, \end{equation*} \notag$

кроме случая, когда

$s=r=3$ ,

$L=U_3(3)$ и

$|x|=2$ .

Для разбора последнего случая воспользуемся таблицей характеров группы $U_3(3)$ и ее группы автоморфизмов из [36]. В $U_3(3)$ все инволюции образуют один класс сопряженности $2A$ , а все не внутренние – класс $2B$ . Рассуждая, как в заключительной части леммы 22, и используя GAP (см. [49]), находим:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \operatorname{m}(2A,2A,3B)=3 \quad \Longrightarrow\quad \beta_3(y, U_3(3))= 2, \quad\text{если } \ y\in 2A; \\ \operatorname{m}(2B,2B,3A)=36 \quad \Longrightarrow\quad\beta_3(y, U_4(3))= 2, \quad\text{если } \ y\in 2B. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Лемма доказана.

Лемма 25. Теорема 1 справедлива, если $L=L_3(q)$ .

Доказательство. Пусть вначале автоморфизм

$x$ не является графово-полевым по модулю

$\widehat{L}$ . В силу леммы 7 имеем

$\alpha(x,L)\leqslant 3$ . Значит, для любого простого делителя

$s$ порядка группы

$L$ справедливо неравенство

$\beta_s(x,L)\leqslant \alpha(x,L)\leqslant 3$ , откуда следует утверждение леммы.

Предположим теперь, что $x$ – графово-полевой автоморфизм по модулю $\widehat{L}$ и $|x|=2$ , т.е. $\widehat{L}x=\widehat{L} \tau\varphi$ , где

$\begin{equation*} \tau\colon A\mapsto (A^{-1})^\top, \qquad \varphi=\varphi_{q^{1/2}}\colon (a_{ij})\mapsto (a_{ij}^{q^{1/2}}). \end{equation*} \notag$

По лемме 15 можно считать, что

$x=\tau\varphi$ . В этом случае

$\alpha(x,L)\leqslant 4$ согласно лемме 7, т.е. утверждение леммы справедливо для любого

$r\geqslant 5$ . Предположим, что

$r=3$ . Тогда

$s=r=3$ и, как следует из леммы 15,

$\begin{equation*} \operatorname{C}_{\widehat{L}}(x)\cong \operatorname{PGU}_3(q^{1/2}), \qquad\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_L(x))\cong U_3(q^{1/2}). \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\begin{equation*} \mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_L(x)) \leqslant \operatorname{C}_{L}(x)\leqslant C_{\widehat{L}}(x), \end{equation*} \notag$

легко убедиться, что индекс

$|L:\operatorname{C}_L(x)|$ четен. Кроме того,

$\operatorname{Z}(\operatorname{C}_L(x))=1$ . В силу леммы 3 существует подгруппа

$M$ группы

$L$ такая, что

$M$ сопряжена с

$\operatorname{C}_L(x)$ и

$x$ нормализует, но не централизует

$M$ . Пусть

$y$ – автоморфизм группы

$\mathrm{O}^{p'}(M)\cong U_3(q^{1/2})$ , индуцированный

$x$ . Остается воспользоваться леммой 24 и тем, что

$\begin{equation*} \beta_3(x,L)\leqslant \beta_3(y,\mathrm{O}^{p'}(M))\leqslant 3. \end{equation*} \notag$

Лемма доказана.

Лемма 26. Если $L=S_4(q)$ , где $q$ нечетно, и $x\in \widehat{L}$ – инволюция, то $\beta_5(x,L)\leqslant 4$ .

Доказательство. Воспользуемся изоморфизмами

$\begin{equation*} L\cong O_5(q)\cong \Omega_5(q), \qquad \widehat{L} \cong \operatorname{SO}_5(q), \qquad \operatorname{GO}_5(q)=\langle -E\rangle\times \operatorname{SO}_5(q), \end{equation*} \notag$

где

$E$ – единичная матрица

$5\times 5$ ; см. [36; таблица 2], [38; предложение 2.9.1]. В соответствии с [38; предложение 2.6.1] рассмотрим пятимерное векторное пространство

$V$ над

$F=\mathbb{F}_q$ с определенной на нем невырожденной симметрической билинейной формой

$(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ и некоторым базисом

$e_1,\dots,e_5$ таким, что для некоторого

$\zeta\in\mathbb{F}_q^*$ выполнены равенства

$\begin{equation*} (e_i,e_j)=\zeta\delta_{ij} \quad\text{для }\ i,j\in\{1,\dots,5\}. \end{equation*} \notag$

Пусть $G$ – группа всех линейных преобразований $g$ пространства $V$ таких, что

$\begin{equation*} (ug,vg)=(u,v) \quad\text{для всех }\ u,v\in V, \end{equation*} \notag$

и отождествим

$\widehat{L}$ с подгруппой

$\{g\in G\mid \det g=1\}$ индекса 2 в группе

$G$ . Тогда

$L=G'$ . Дискриминант ограничения формы на

$\langle e_1,e_5\rangle_F$ является квадратом в поле

$F$ . Выберем в подпространстве

$\langle e_1,e_5\rangle_F$ ортогональные друг другу ненулевые векторы

$e_1',e_5'$ так, что

$\begin{equation*} (e_1',e_1')=(e_5',e_5')\notin (\mathbb{F}_q^*)^2\zeta \end{equation*} \notag$

(это возможно; см. [38; замечание на с. 27 и предложение 2.5.12]). Тогда сужение формы на

$\begin{equation*} W=\langle e_2,e_3,e_4,e_5\rangle_F \end{equation*} \notag$

имеет знак

$+$ , а сужение на

$\begin{equation*} W'=\langle e_2,e_3,e_4,e_5'\rangle_F \end{equation*} \notag$

имеет знак

$-$ (см. [38; предложения 2.5.12 и 2.5.13]). Обозначим для краткости полученные упорядоченные базисы следующим образом:

$\begin{equation*} \mathscr{E}\colon e_1,e_2,e_3,e_4,e_5, \qquad\mathscr{E}'\colon e_1',e_2,e_3,e_4,e_5'. \end{equation*} \notag$

Матрицы линейного преобразования

$g$ пространства

$V$ , записанные в базисах

$\mathscr{E}$ и

$\mathscr{E}'$ соответственно, будем обозначать символами

$\begin{equation*} [g], \quad [g]'. \end{equation*} \notag$

Известно (см. [39; таблица 4.5.1]), что в группе $L$ имеется два класса сопряженности инволюций и еще два класса имеется в $\widehat{L}\setminus L$ . Укажем их представители. Это $x_1^\square$ , $x_1^\boxtimes$ , $x_2^\square$ и $x_2^\boxtimes$ такие, что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, [x_1^\square]=[x_1^\boxtimes]'=\operatorname{diag}(-1,-1,1,1,1), \\ [x_2^\square]=[x_2^\boxtimes]'=\operatorname{diag}(-1,-1,-1,-1,1). \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Таким образом определенные элементы легко раскладываются в произведение отражений относительно векторов

$e_i$ и

$e_i'$ , легко определяются их спинорные нормы, откуда заключаем, что

$\begin{equation*} x_1^\square,x_2^\square\in L, \qquad x_1^\boxtimes,x_2^\boxtimes\in\widehat{L}\setminus L. \end{equation*} \notag$

Из определения следует, что элементы $x_1^\boxtimes$ и $x_2^\boxtimes$ стабилизируют невырожденное подпространство

$\begin{equation*} W'=\langle e_2,e_3,e_4,e_5'\rangle_F, \end{equation*} \notag$

ограничение формы на которое имеет знак

$-$ . Кроме того, эти элементы индуцируют на

$W'$ нескалярные преобразования

$y_1$ и

$y_2$ , сохраняющие форму на

$W'$ . Поэтому если

$H$ – группа изометрий пространства

$W'$ , то

$y_1$ и

$y_2$ индуцируют неединичные автоморфизмы на

$\begin{equation*} H'/\operatorname{Z}(H')\cong O_4^-(q)\cong L_2(q^2). \end{equation*} \notag$

Порядок группы

$L_2(q^2)$ делится на 5, и по лемме 23 имеем

$\begin{equation*} \beta_5(x_i^\boxtimes, L)\leqslant \beta_5(y_i, H'/\operatorname{Z}(H'))\leqslant 4 \quad\text{для }\ i=1,2. \end{equation*} \notag$

Далее, рассмотрим вложение $S_5\hookrightarrow G$ , задаваемое действием группы $S_5$ на индексах векторов $e_1,\dots,e_5$ . Образ подстановки $\sigma\in S_5$ обозначим через $\sigma^*$ . Инволюция $\tau=(15)(24)\in A_5$ инвертирует в $A_5$ элемент $\sigma=(12345)$ порядка $5$ , поэтому $\tau\tau^\sigma=\sigma^2$ – элемент порядка $5$ и $\beta_5(\tau, A_5)=2$ . Из простоты группы $A_5$ следует, что $\sigma^*,\tau^*\in L$ и $\beta_5(\tau^*,L)=2$ . Так как $\tau^*\in L$ , инволюция $\tau^*$ сопряжена с $x_1^\square$ или $x_2^\square$ , а из того, что кратность собственного значения $-1$ у преобразования $\tau^*$ равна $2$ , заключаем, что $\tau^*$ сопряжена с $x_1^\square$ . Таким образом,

$\begin{equation*} \beta_5(x_1^\square,L)=2. \end{equation*} \notag$

Наконец, для элементов

$g=(15)(34)^*$ и

$h=(25)(34)^*$ из

$L$ имеем

$\begin{equation*} (x_2^\square)^g(x_2^\square)^h=x_1^\square, \end{equation*} \notag$

откуда получаем

$\begin{equation*} \beta_5(x_2^\square,L)\leqslant 2\beta_5(x_1^\square,L)= 4 \end{equation*} \notag$

по лемме 5.

Лемма 26 доказана.

3.2. Доказательство теоремы 1: структура и общие замечания

Мы начинаем доказательство теоремы 1. Пусть, как в условии теоремы, $L=L^\varepsilon_n(q)$ и $x\in\operatorname{Aut}(L)$ – автоморфизм простого порядка. Напомним, что $r$ – нечетное простое число и $s\in\pi(L)$ таково, что $s=r$ , если $r\in\pi(L)$ , и $s>r$ , если $r\notin\pi(L)$ . Наша цель – доказать неравенство

$\begin{equation} \beta_s(x,L)\leqslant \begin{cases} r, & \text{если } r=3, \\ r-1, & \text{если } r>3. \end{cases} \end{equation} \tag{3.1}$

Ведем рассуждения индукцией по

$|L|$ .

В силу лемм 22–25 мы можем считать, что $n\geqslant 4$ и при $n=4$ число $q$ отлично от $2$ , $3$ , $5$ . Можно считать также, что (за исключением ситуации, когда $n=4$ и $x$ – графовый по модулю $\widehat{L}$ автоморфизм) выполнено неравенство

$\begin{equation} r\leqslant n, \end{equation} \tag{3.2}$

поскольку в противном случае по лемме 7 имеем

$\begin{equation*} \beta_s(x, L)\leqslant\alpha(x,L)\leqslant n\leqslant r-1, \end{equation*} \notag$

и неравенство (3.1) верно. Отсюда и из леммы 18 вытекает, что

$\begin{equation} r\text{ делит }|L|\text{ и, следовательно, }s=r. \end{equation} \tag{3.3}$

В пп. 3.3, 3.4 мы рассмотрим все случаи, когда $x\in\widehat{L}$ , а в п. 3.5 – все случаи, когда $x\in\operatorname{Aut}(L)\setminus \widehat{L}$ .

Считаем, что $F=\mathbb{F}_q$ , если $\varepsilon=+$ , и $F=\mathbb{F}_{q_{}^2}$ , если $\varepsilon=-$ .

Поскольку $x$ имеет простой порядок, в случае $x\in\widehat{L}$ элемент $x$ либо унипотентен, либо полупрост. Отождествим группу $L^\varepsilon_n(q)$ с $\operatorname{PSL}^\varepsilon(V)$ , где $V$ – это $n$ -мерное векторное пространство над полем $F$ , снабженное в случае $\varepsilon=-$ невырожденной эрмитовой формой. Тогда $\widehat{L}=\operatorname{PGL}^\varepsilon(V)$ и, значит, $\widehat{L}$ действует на множестве подпространств пространства $V$ . Рассматривая элемент $x\in\operatorname{PGL}^\varepsilon(V)$ , мы будем говорить, что $x$ -инвариантное подпространство $U\leqslant V$ имеет унаследованный тип, если $U$ – произвольное подпространство при $\varepsilon=+$ или унипотентном $x$ и $U$ – невырожденное пространство при $\varepsilon=-$ и полупростом $x$ . Пункты 3.3 и 3.4 соответствуют случаям, когда для $x$ существует и не существует одномерное подпространство унаследованного типа.

Будем также говорить, что $x\in\operatorname{PGL}^\varepsilon(V)$ действует скалярно на $x$ -инвариантном подпространстве $U$ , если у некоторого прообраза в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$ элемента $x$ сужение на $U$ пропорционально тождественному преобразованию (эквивалентно, любое одномерное подпространство в $U$ инвариантно относительно $x$ ).

3.3. Внутренне-диагональный автоморфизм, стабилизирующий одномерное подпространство унаследованного типа

В этом пункте доказательства мы разберем все случаи, когда $x$ оставляет инвариантным некоторое одномерное подпространство $U$ унаследованного типа пространства $V$ (в частности, такое предположение охватывает случай, когда элемент $x$ унипотентен). Возможны следующие подслучаи:

(a) $x$ унипотентен и $\varepsilon=+$ ;

(b) $x$ унипотентен и $\varepsilon=-$ ;

Рассмотрим случай (a). Пусть $P_1$ – стабилизатор некоторой прямой в естественном модуле, а $P_2$ – стабилизатор гиперплоскости. По лемме 11 можно считать, что $x\in P_i\setminus \mathrm{O}_p(P_i)$ для $i=1$ или $i=2$ , причем элемент $x$ на компонентах фактора $P_i/\mathrm{O}_p(P_i)$ действует нескалярно. В частности, это означает, что $x\notin \mathrm{O}_\infty(P_i)$ . Рассмотрим канонический эпиморфизм

$\begin{equation*} \overline{\phantom{G}}\colon P_i\to P_i/\mathrm{O}_\infty(P_i). \end{equation*} \notag$

Тогда

$\overline{x}\ne1$ и

$\operatorname{F}^*(\overline{P_i})\cong L_{n-1}(q)$ . Из малой теоремы Ферма и неравенства (3.2) вытекает, что

$r$ делит

$|L_{n-1}(q)|$ , и по лемме 4

$\begin{equation*} \beta_r(x, L)\leqslant\beta_r\bigl(\overline{x}, \operatorname{F}^*(\overline{P_i})\bigr). \end{equation*} \notag$

Применив предположение индукции, получаем неравенство (3.1). Для случая (a) теорема доказана.

Пусть имеет место случай (b). Если $x$ стабилизирует также некоторое невырожденное одномерное подпространство пространства $V$ , то справедливость теоремы 1 устанавливается повторением рассуждений для случая (a) с естественной заменой $L^+_{n-1}(q)=L_{n-1}(q)$ на $L^-_{n-1}(q)=U_{n-1}(q)$ и параболической подгруппы $P_i$ на стабилизатор невырожденного одномерного подпространства, изоморфный образу в $\operatorname{PGU}_n(q)$ подгруппы

$\begin{equation*} \operatorname{GU}_1(q)\times \operatorname{GU}_{n-1}(q)\leqslant \operatorname{GU}_n(q). \end{equation*} \notag$

Поэтому в случае (b) считаем, что

$x$ не стабилизирует никакое невырожденное одномерное подпространство.

Рассмотрим две параболические максимальные подгруппы:

• $P_1$ – стабилизатор максимального вполне изотропного подпространства $W$ пространства $V$ (по лемме Витта размерность такого подпространства равна $[n/2]$ );
• $P_2$ – стабилизатор изотропного одномерного подпространства $U$ из $V$ .

По лемме 11 для $i=1$ или $i=2$ с точностью до сопряжения элементом из $L$ имеем $x\in P_i\setminus \mathrm{O}_p(P_i)$ . Как и в случае (a), имеем $x\notin \mathrm{O}_\infty(P_i)$ и рассматриваем канонический эпиморфизм

$\begin{equation*} \overline{\phantom{G}}\colon P_i\to P_i/\mathrm{O}_\infty(P_i). \end{equation*} \notag$

Допустим, $i=1$ , т.е. $x$ стабилизирует максимальное вполне изотропное подпространство $W$ и индуцирует на нем нетождественное преобразование. Тогда

$\begin{equation*} \operatorname{F}^*(\overline{P_1})\cong L_{[n/2]}(q^2), \quad\text{причем }\ \overline{x}\in \operatorname{F}^*(\overline{P_1})^\sharp. \end{equation*} \notag$

Неравенство (3.2) и малая теорема Ферма показывают, что

$r$ делит

$|L_{[n/2]}(q^2)|$ , поскольку

$\begin{equation*} 2\biggl[\frac{n}{2}\biggr]\geqslant n-1\geqslant r-1. \end{equation*} \notag$

Теперь лемма 4 в сочетании с предположением индукции дает

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant \beta_r\bigl(\overline{x},\operatorname{F}^*(\overline{P_1})\bigr) \leqslant \begin{cases} r, & \text{если } r=3, \\ r-1, & \text{если } r>3. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Допустим, $i=2$ . Тогда $\operatorname{F}^*(\overline{P_2})\cong U_{n-2}(q)$ , причем $\overline{x}\in \operatorname{F}^*(\overline{P_1})^\sharp$ . Если $r$ делит $|U_{n-2}(q)|$ , то снова в соответствии с леммой 4 имеем

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant \beta_r\bigl(\overline{x},\operatorname{F}^*(\overline{P_2})\bigr), \end{equation*} \notag$

откуда по предположению индукции получаем неравенство (3.1). Поэтому, разбирая оставшиеся подслучаи случая (b), считаем, что число

$r$ не делит

$|U_{n-2}(q)|$ , а это по лемме 18 влечет неравенство

$r\geqslant n$ . Поэтому

$n=r$ в силу неравенства (3.2). В частности,

$n$ нечетно и

$n\geqslant 5$ .

В соответствии с леммой 13 имеет место один из следующих подслучаев:

• $x$ стабилизирует невырожденное подпространство размерности $1$ ; этот подслучай уже исключен;
• $x$ стабилизирует максимальное вполне изотропное подпространство $W$ и индуцирует на нем нетождественное преобразование; этот подслучай также исключен;
• $q$ нечетно и существует сопряженный с $x$ элемент $x^g$ такой, что в подгруппе $\langle x, x^g\rangle$ некоторая инволюция ⁸ $y$ стабилизирует максимальное вполне изотропное подпространство $W$ , индуцируя на нем нескалярное преобразование; именно этот подслучай нам осталось исключить для завершения разбора случая (b).

Как и выше, пусть $P_1$ – стабилизатор максимального вполне изотропного подпространства $W$ , и мы рассматриваем канонический эпиморфизм

$\begin{equation*} \overline{\phantom{G}}\colon P_1\to P_1/\mathrm{O}_\infty(P_1). \end{equation*} \notag$

При этом

$\begin{equation*} \operatorname{F}^*(\overline{P_1})\cong L_{[n/2]}(q^2)=L_{(r-1)/2}(q^2). \end{equation*} \notag$

Инволюция

$\overline{y}$ нормализует, но не централизует эту подгруппу, индуцируя на

$L_{(r-1)/2}(q^2)$ внутренне-диагональный автоморфизм. Из малой теоремы Ферма следует, что

$r$ делит

$\begin{equation*} q^{r-1}-1=(q^2)^{(r-1)/2}-1, \end{equation*} \notag$

а значит, делит

$|\operatorname{F}^*(\overline{P_1})|$ .

Если $n=r=5$ , то $\dim W=(r-1)/2=2$ . По лемме 9 в этом случае

$\begin{equation*} \beta_r(y,L)\leqslant\beta_r(\overline{y}, \operatorname{F}^*(\overline{P_1}))=2, \end{equation*} \notag$

откуда, учитывая, что

$y\in\langle x,x^g\rangle$ , по лемме 5 получаем

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant 2\beta_r(y,L)\leqslant 4=r-1, \end{equation*} \notag$

т.е. доказываемая теорема верна.

Пусть $n=r>5$ . Тогда $r\geqslant 7$ , $\dim W=(r-1)/2\geqslant 3$ и по лемме 7 с учетом того, что $\overline{y}$ – внутренне-диагональная инволюция группы $L_{(r-1)/2}(q^2)$ , имеем

$\begin{equation*} \beta_r(y,L)\leqslant\beta_r\bigl(\overline{y}, \operatorname{F}^*(\overline{P_1})\bigr)\leqslant \alpha\bigl(\overline{y}, \operatorname{F}^*(\overline{P_1})\bigr)\leqslant \frac{r-1}{2}, \end{equation*} \notag$

откуда получаем

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant 2\beta_r(y,L)\leqslant r-1. \end{equation*} \notag$

Случай (b) разобран полностью.

Рассмотрим случай (c), когда полупростой элемент $x$ стабилизирует одномерное подпространство $U$ , которое невырожденно в случае $\varepsilon=-$ . Пусть $W$ – $x$ -инвариантное дополнение к $U$ , причем $W\perp U$ , если $\varepsilon=-$ .

Не умаляя общности рассуждений, мы можем считать, что прообраз элемента $x$ в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$ действует нескалярно на $W$ . В самом деле, если $x$ действует скалярно на $W$ , то $W$ состоит из собственных векторов прообраза $x^*$ элемента $x$ в $\operatorname{GL}^\varepsilon(V)$ , причем, поскольку $x\ne 1$ , собственное значение $\lambda$ , которому соответствуют векторы из $W$ , отлично от собственного значения $\mu$ , которому соответствуют векторы из $U$ . Выберем в $W$ одномерное подпространство $U_0$ (невырожденное, если $\varepsilon=-$ ; такая возможность выбрать $U_0$ гарантирована леммой Витта) и рассмотрим $x$ -инвариантное (ортогональное при $\varepsilon=-$ ) дополнение $W_0$ к $U_0$ . Так как $n\geqslant 4$ , среди собственных значений ограничения $x^*$ на $W_0$ присутствуют как $\lambda$ , так и $\mu$ , и тем самым $x^*$ действует на $W_0$ нескалярно, мы можем заменить $U$ на $U_0$ , а $W$ на $W_0$ .

Теперь элемент $x$ содержится в образе в $\operatorname{PGL}^\varepsilon_n(q)$ подгруппы вида

$\begin{equation*} \operatorname{GL}^\varepsilon_1(q)\times \operatorname{GL}_{n-1}^\varepsilon(q) \end{equation*} \notag$

и индуцирует неединичный автоморфизм

$\overline{x}$ на единственном неабелевом композиционном факторе

$L^\varepsilon_{n-1}(q)$ этого образа. Как и при рассмотрении случая (a), на основании леммы 18 и неравенства (3.2) заключаем, что

$r$ делит

$|L^\varepsilon_{n-1}(q)|$ , откуда по лемме 4 и предположению индукции выводим неравенство (3.1). Для случая (c) теорема доказана.

3.4. Внутренне-диагональный автоморфизм, не стабилизирующий одномерных подпространств унаследованного типа

Здесь мы рассмотрим все случаи, когда полупростой элемент $x\in\widehat{L}=\operatorname{PGL}^\varepsilon(V)$ не имеет инвариантных одномерных подпространств унаследованного типа.

Если $x$ действует неприводимо на $V$ , то

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant\alpha(x,L)\leqslant 3\leqslant \begin{cases} r, & \text{если } r=3, \\ r-1, & \text{если } r>3, \end{cases} \end{equation*} \notag$

в силу леммы 8. Поэтому считаем, что

$V$ обладает собственным ненулевым

$x$ -инвариантным подпространством. Сведем ситуацию к случаю, когда это подпространство унаследованного типа и, следовательно, размерности

$\geqslant 2$ , чтобы затем воспользоваться леммой 14. По лемме 10, если у

$x$ нет собственных инвариантных подпространств унаследованного типа, то

$\varepsilon=-$ ,

$n$ четно и

$x$ стабилизирует вполне изотропное подпространство

$U$ размерности

$n/2$ . Так как элемент

$x$ полупрост, по теореме Машке

$x$ стабилизирует также некоторое вполне изотропное подпространство

$W$ той же размерности и такое, что

$\begin{equation*} V=U\oplus W. \end{equation*} \notag$

Если

$x$ действует скалярно на обоих подпространствах

$U$ и

$W$ , возьмем ненулевые векторы

$u\in U$ и

$w\in W$ такие, что

$(u,w)\ne 0$ . Для прообраза

$x^*\in \operatorname{GL}^-(V)$ элемента

$x$ подпространства

$U$ и

$W$ являются пространствами собственных векторов, причем, поскольку

$x^*\notin \operatorname{Z}(\operatorname{GL}^-(V))$ , векторы

$u$ и

$w$ отвечают разным собственным значениям. Тем самым,

$\langle u,w\rangle_F$ – собственное

$x$ -инвариантное подпространство унаследованного типа.

Предположим, что $x$ действует нескалярно на $U$ или $W$ . Тогда $x^*$ содержится в стабилизаторе в $\operatorname{GL}^-(V)$ этого подпространства, изоморфном $\operatorname{GL}_{n/2}(q^2)$ , элемент $x$ содержится в образе $H$ этого стабилизатора в $\widehat{L}=\operatorname{PGU}(V)$ и индуцирует неединичный автоморфизм $\overline{x}$ на $H^\infty/\operatorname{Z}(H^\infty)\cong L_{n/2}(q^2)$ . Далее, как обычно, из неравенства (3.2) и леммы 18 заключаем, что $r$ делит $|L_{n/2}(q^2)|$ и неравенство (3.1) верно по предположению индукции и в силу неравенства

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant\beta_r(\overline{x},H^\infty/\operatorname{Z}(H^\infty)). \end{equation*} \notag$

Если же $x$ действует скалярно как на $U$ , так и на $W$ , то на $\langle u,w\rangle_F$ элемент $x$ действует нескалярно, что нам и требовалось.

Итак, до конца данного пункта считаем, что $x\in \widehat{L}$ – полупростой элемент, $U$ – ненулевое $x$ -инвариантное подпространство унаследованного типа наименьшей размерности (в частности, $x$ действует неприводимо на $U$ ) и $W$ – $x$ -инвариантное подпространство также унаследованного типа, дополняющее $U$ до $V$ . При этом

$\begin{equation*} \dim U\geqslant 2, \qquad t=\dim W=n-\dim U\geqslant \dim U. \end{equation*} \notag$

Элемент

$x$ действует нескалярно на

$W$ и поэтому индуцирует неединичный автоморфизм

$\overline{x}$ группы

$\operatorname{PSL}^\varepsilon(W)\cong L^\varepsilon_t(q)$ . Если

$r$ делит

$|L^\varepsilon_t(q)|$ , то по предположению индукции из неравенства

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant\beta_r(\overline{x},L^\varepsilon_t(q)) \end{equation*} \notag$

следует справедливость неравенства (3.1). Поэтому считаем, что

$r$ не делит

$|L^\varepsilon_t(q)|$ , в частности,

$r\geqslant 5$ . По лемме 18 выполнено неравенство

$\begin{equation*} t\leqslant r-2. \end{equation*} \notag$

Из леммы 14 следует, что если

$\begin{equation*} m=\begin{cases} t&\text{при }t>2, \\ 3&\text{при }t=2, \end{cases} \end{equation*} \notag$

то некоторые

$m+1$ элементов, сопряженных с

$x$ посредством элементов из

$L$ , порождают подгруппу

$H$ в

$L$ , в которой содержится нормальная подгруппа из следующего списка:

• $L^\varepsilon_n(q)$ при любых $q$ ;
• $S_n(q)$ при любых $q$ ;
• $L_n^-(q_0)$ при $q=q_0^2$ ;
• $O^\pm_n(q)$ при четных $q$ ;
• $S_{n+1}$ при $q=2$ и нечетном $n> 6$ ;
• $S_{n+2}$ при $q=2$ и четном $n\geqslant 6$ .

Отсюда с учетом неравенства (3.2) и леммы 18 заключаем, что порядок подгруппы $H$ делится на $r$ . Следовательно,

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)\leqslant m+1= \begin{cases} t+1\leqslant r-1 & \text{ при } t>2, \\ 4=5-1\leqslant r-1 & \text{ при } t=2. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Рассматриваемый случай разобран полностью.

3.5. Полевые, графово-полевые и графовые автоморфизмы

Рассмотрим в группе $\operatorname{SL}_n^\varepsilon(q)$ подгруппу $H$ , состоящую из матриц вида

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} A & {} \\ {} & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

где

$A$ пробегает группу

$\operatorname{SL}_{n-1}^\varepsilon(q)$ , и образ

$K$ подгруппы

$H$ в

$L_n^\varepsilon(q)$ . Ясно, что

$K/\operatorname{Z}(K)\cong L_{n-1}^\varepsilon(q)$ . Из неравенства (3.2) и леммы 18 следует, что

$r$ делит

$|L_{n-1}^\varepsilon(q)|$ . Ясно также, что

$H$ и

$K$ инвариантны относительно автоморфизмов

$\varphi_{p^m}$ и

$\tau$ , причем

$y$ индуцирует на

$K/\operatorname{Z}(K)$ нетождественный автоморфизм

$\overline{y}$ в каждом из следующих случаев:

• $\varepsilon=+$ и $y$ совпадает с $\tau$ , $\varphi_{q_0}$ , если $q=q_0^t$ для простого числа $t$ , или с $\tau \varphi_{q_0}$ , если $q=q_0^2$ ;
• $\varepsilon=-$ и $y$ совпадает с $\varphi_{q_0}$ , если $q^2=q_0^t$ для простого числа $t$ .

В силу лемм 15 и 16, если автоморфизм $x$ является полевым или графово-полевым по модулю $\widehat{L}$ или же $n$ нечетно и $x$ является графовым по модулю $\widehat{L}$ , то подгруппа $\langle x\rangle$ сопряжена относительно $\widehat{L}$ с $\langle y\rangle$ для одного из упомянутых $y$ . По предположению индукции из соотношений

$\begin{equation*} \beta_r(x,L)=\beta_r(y,L)\leqslant \beta(\overline{y}, K/\operatorname{Z}(K)) \end{equation*} \notag$

выводим для этих случаев неравенство (3.1).

Остается, таким образом, рассмотреть случай, когда $n$ четно и $x$ является графовым по модулю $\widehat{L}$ . При четных $n>4$ из неравенства (3.2) следует, что

$\begin{equation*} r\leqslant n-1. \end{equation*} \notag$

Это же неравенство верно, если

$n=4$ и

$r=3$ . В этих случаях лемма 18 влечет, что порядки групп

$L_{n-1}^\varepsilon(q)$ и даже

$L_{n-2}^\varepsilon(q)$ делятся на

$r$ . Из леммы 16 вытекает, что любой графовый по модулю

$\widehat{L}$ автоморфизм

$x$ группы

$L$ нормализует, но не централизует подгруппу

$H$ в

$L$ такую, что

$H^\infty/\operatorname{Z}(H^\infty)$ изоморфна

$L_{n-1}^\varepsilon(q)$ или

$L_{n-2}^\varepsilon(q)$ . Применяя предположение индукции к автоморфизму, индуцированному

$x$ на

$H^\infty/\operatorname{Z}(H^\infty)$ , получаем справедливость неравенства (3.1).

Осталось рассмотреть случай, когда $n=4$ и $r>3$ . Так как $\alpha(x,L)\leqslant 6$ , по лемме 7 при $r\geqslant 7$ имеем

$\begin{equation*} \beta_s(x,L)\leqslant \alpha(x,L)\leqslant 6=7-1\leqslant r-1. \end{equation*} \notag$

Поэтому считаем, что

$r=5$ , откуда получаем, что

$r$ делит

$|L|$ и

$s=r$ . За исключением случая, когда

$q$ нечетно, а графовая по модулю

$\widehat{L}$ инволюция

$x$ сопряжена с

$x_-$ (см. лемму 16), мы видим, что представители классов сопряженности графовых инволюций, указанные в доказательстве леммы 16, централизуют в

$\operatorname{Aut}(L)$ элемент

$\varphi=\varphi_p$ (см. начало п. 2.2), и можем

$L$ заменить на простую группу

$\mathrm{O}^{p'}(\operatorname{C}_L(\varphi))\cong L^\varepsilon_4(p)$ , на которой эти представители индуцируют графовую инволюцию того же типа по модулю внутренне-диагональных автоморфизмов. Поэтому можно считать, что:

• либо $q$ – простое число;
• либо $q$ нечетно и инволюция $x$ сопряжена с $x_-$ .

Так как случаи $q=2,3,5$ уже рассмотрены в лемме 22, считаем, что в любом случае $q$ нечетно и $q\geqslant 7$ .

Воспользуемся изоморфизмом

$\begin{equation*} L=L^\varepsilon_4(q)\cong O^\varepsilon_6(q) \end{equation*} \notag$

и рассмотрим

$L$ как проективную ортогональную группу, а элемент

$x$ как графовую по модулю группы внутренне-диагональных автоморфизмов инволюцию в этой группе. По лемме 17 инволюция

$x$ нормализует, но не централизует в

$L$ подгруппу

$H$ , изоморфную либо

$O_5(q)\cong S_4(q)$ , либо

$O_4^-(q)\cong O_3(q^2)\cong L_2(q^2)$ , и в обоих случаях

$|H|$ делится на 5.

Если $H\cong S_4(q)$ , то $\operatorname{Aut}(H)=\widehat{H}$ , поэтому $x$ индуцирует на $H$ внутренне-диагональный автоморфизм $\overline{x}$ , по леммам 4 и 26 имеем

$\begin{equation*} \beta_5(x,L)\leqslant \beta_5(\overline{x},H)\leqslant 4=5-1. \end{equation*} \notag$

В случае $H\cong L_2(q^2)$ требуемый результат дают те же рассуждения со ссылкой на лемму 9.

Теорема 1 полностью доказана.

§ 4. Доказательство теоремы 2

Пусть собственное подмножество $\pi$ множества всех простых чисел содержит по крайней мере два различных элемента. Пусть $r$ – наименьшее простое число, не принадлежащее $\pi$ , и

$\begin{equation*} m= \begin{cases} r, & \text{если } r\in\{2,3\}, \\ r-1, & \text{если } r>3. \end{cases} \end{equation*} \notag$

Допустим, теорема 2 неверна. По лемме 2 имеем

$r\geqslant 3$ . Положим

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \mathscr{F}=\mathscr{S}\cup \{A_n\mid n\geqslant 5\} &\cup \bigl\{L^\varepsilon_n(q)\mid n\geqslant 2, \ \varepsilon=\pm,\ q\text{ - степень простого числа} \\ &\qquad \text{и } (\varepsilon, n,q)\ne(\pm,2,2), (\pm,2,3), (-,3,2) \bigr\}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\mathscr{S}$ – множество из 26 спорадических групп. Рассмотрим в качестве класса

$\mathscr{X}$ класс всех конечных групп, у которых любой неабелев композиционный фактор либо изоморфен группе из

$\mathscr{F}$ , либо является

$\pi$ -группой. Тогда

$\mathscr{X}\setminus \mathscr{BS}_\pi^m\ne\varnothing$ , поскольку включение

$\mathscr{X}\subseteq \mathscr{BS}_\pi^m$ означало бы справедливость доказываемой теоремы.

В соответствии с леммой 1 группа $G$ наименьшего порядка из $\mathscr{X}\setminus \mathscr{BS}_\pi^m$ содержит нормальную неабелеву простую подгруппу $L$ и элемент простого порядка $x$ со следующими свойствами:

• $\operatorname{C}_G(L)=1$ , поэтому можно считать, что $L \leqslant G\leqslant\operatorname{Aut}(L)$ ;
• $G=\langle L,x\rangle$ ;
• любые $m$ сопряженных с $x$ элементов порождают $\pi$ -подгруппу в $G$ ;
• $L$ не является $\pi$ - или $\pi'$ -группой, поэтому можно считать, что $L\in\mathscr{F}$ .

Пусть $s$ – наименьший простой делитель $|L|$ , не принадлежащий $\pi$ . Тогда либо $r$ делит $|L|$ и $s=r$ , либо $r$ не делит $|L|$ и $s>r$ . Согласно теореме 1 и леммам 20 и 21 выполнено неравенство

$\begin{equation*} \beta_s(x,L)\leqslant m, \end{equation*} \notag$

т.е. существуют элементы

$g_1,\dots,g_m\in L$ такие, что

$|\langle{ x^{g_1},\dots,x^{g_m}}\rangle|$ делится на

$s$ . Но тогда

$\langle{ x^{g_1},\dots,x^{g_m}}\rangle$ не является

$\pi$ -подгруппой, вопреки тому, что любые

$m$ сопряженных с

$x$ элементов порождают

$\pi$ -подгруппу.

Теорема доказана.



Список литературы

1.	M. Aschbacher, Finite group theory, Cambridge Stud. Adv. Math., 10, Corr. reprint of the 1986 original, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993, x+274 pp.
2.	K. Doerk, T. O. Hawkes, Finite soluble groups, De Gruyter Exp. Math., 4, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992, xiv+891 pp.
3.	D. Gorenstein, Finite groups, 2nd ed., Chelsea Publishing Co., New York, 1980, xvii+519 pp.
4.	I. M. Isaacs, Finite group theory, Grad. Stud. Math., 92, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, xii+350 pp.
5.	H. Kurzweil, B. Stellmacher, The theory of finite groups. An introduction, Universitext, Springer-Verlag, New York, 2004, xii+387 pp.
6.	R. Baer, “Engelsche Elemente Noetherscher Gruppen”, Math. Ann., 133 (1957), 256–270
7.	M. Suzuki, “Finite groups in which the centralizer of any element of order 2 is 2-closed”, Ann. of Math. (2), 82 (1965), 191–212
8.	J. Alperin, R. Lyons, “On conjugacy classes of $p$ -elements”, J. Algebra, 19:2 (1971), 536–537
9.	H. Wielandt, “Kriterien für Subnormalität in endlichen Gruppen”, Math. Z., 138 (1974), 199–203
10.	R. Solomon, “A brief history of the classification of the finite simple groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 38:3 (2001), 315–352
11.	F. Timmesfeld, “Groups generated by a conjugacy class of involutions”, The Santa Cruz conference on finite groups (Univ. California, Santa Cruz, CA, 1979), Proc. Sympos. Pure Math., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, 103–109
12.	P. Flavell, S. Guest, R. Guralnick, “Characterizations of the solvable radical”, Proc. Amer. Math. Soc., 138:4 (2010), 1161–1170
13.	F. Fumagalli, G. Malle, “A generalisation of a theorem of Wielandt”, J. Algebra, 490 (2017), 474–492
14.	N. Gordeev, F. Grunewald, B. Kunyavskii, E. Plotkin, “A description of Baer–Suzuki type of the solvable radical of a finite group”, J. Pure Appl. Algebra, 213:2 (2009), 250–258
15.	N. Gordeev, F. Grunewald, B. Kunyavskiĭ, E. Plotkin, “Baer–Suzuki theorem for the solvable radical of a finite group”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 347:5-6 (2009), 217–222
16.	N. Gordeev, F. Grunewald, B. Kunyavskiĭ, E. Plotkin, “From Thompson to Baer–Suzuki: a sharp characterization of the solvable radical”, J. Algebra, 323:10 (2010), 2888–2904
17.	S. Guest, “A solvable version of the Baer–Suzuki theorem”, Trans. Amer. Math. Soc., 362:11 (2010), 5909–5946
18.	R. Guralnick, G. Malle, “Variations on the Baer–Suzuki theorem”, Math. Z., 279:3-4 (2015), 981–1006
19.	R. M. Guralnick, G. R. Robinson, “On extensions of the Baer–Suzuki theorem”, Israel J. Math., 82:1-3 (1993), 281–297
20.	В. Д. Мазуров, А. Ю. Ольшанский, А. И. Созутов, “О бесконечных группах конечного периода”, Алгебра и логика, 54:2 (2015), 243–251 ; англ. пер.: V. D. Mazurov, A. Yu. Ol'shanskii, A. I. Sozutov, “Infinite groups of finite period”, Algebra and Logic, 54:2 (2015), 161–166
21.	А. С. Мамонтов, “Аналог теоремы Бэра–Сузуки для бесконечных групп”, Сиб. матем. журн., 45:2 (2004), 394–398 ; англ. пер.: A. S. Mamontov, “An analog of the Baer–Suzuki theorem for infinite groups”, Siberian Math. J., 45:2 (2004), 327–330
22.	А. С. Мамонтов, “О теореме Бэра–Сузуки для групп $2$ -периода $4$ ”, Алгебра и логика, 53:5 (2014), 649–652 ; англ. пер.: A. S. Mamontov, “The Baer–Suzuki theorem for groups of $2$ -exponent $4$ ”, Algebra and Logic, 53:5 (2014), 422–424
23.	Э. М. Пальчик, “О порождениях парами сопряженных элементов в конечных группах”, Докл. НАН Беларуси, 55:4 (2011), 19–20
24.	Д. О. Ревин, “О $\pi$ -теоремах Бэра–Судзуки”, Сиб. матем. журн., 52:2 (2011), 430–440 ; англ. пер.: D. O. Revin, “On Baer–Suzuki $\pi$ -theorems”, Siberian Math. J., 52:2 (2011), 340–347
25.	Д. О. Ревин, “О связи между теоремами Силова и Бэра–Судзуки”, Сиб. матем. журн., 52:5 (2011), 1138–1149 ; англ. пер.: D. O. Revin, “On a relation between the Sylow and Baer–Suzuki theorems”, Siberian Math. J., 52:5 (2011), 904–913
26.	А. И. Созутов, “Об одном обобщении теоремы Бэра–Судзуки”, Сиб. матем. журн., 41:3 (2000), 674–675 ; англ. пер.: A. I. Sozutov, “On a generalization of the Baer–Suzuki theorem”, Siberian Math. J., 41:3 (2000), 561–562
27.	F. G. Timmesfeld, “A remark on a theorem of Baer”, Arch. Math. (Basel), 54:1 (1990), 1–3
28.	В. Н. Тютянов, “О существовании разрешимых нормальных подгрупп в конечных группах”, Матем. заметки, 61:5 (1997), 755–758 ; англ. пер.: V. N. Tyutyanov, “On the existence of solvable normal subgroups in finite groups”, Math. Notes, 61:5 (1997), 632–634
29.	В. Н. Тютянов, “Критерий непростоты для конечной группы”, Изв. Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры, 16:3 (2000), 125–137
30.	M. L. Sylow, “Théorèmes sur les groupes de substitutions”, Math. Ann., 5:4 (1872), 584–594
31.	P. Hall, “A note on soluble groups”, J. London Math. Soc., 3:2 (1928), 98–105
32.	Nanying Yang, D. O. Revin, E. P. Vdovin, “Baer–Suzuki theorem for the $\pi$ -radical”, Israel J. Math., 245:1 (2021), 173–207 ; arXiv: 1911.11939
33.	R. M. Guralnick, J. Saxl, “Generation of finite almost simple groups by conjugates”, J. Algebra, 268:2 (2003), 519–571
34.	Н. Ян, Чж. У, Д. О. Ревин, “О точной теореме Бэра–Сузуки для $\pi$ -радикала: спорадические группы”, Сиб. матем. журн., 63:2 (2022), 464–472 ; англ. пер.: N. Yang, Zh. Wu, D. O. Revin, “On the sharp Baer–Suzuki theorem for the $\pi$ -radical: sporadic groups”, Siberian Math. J., 63:2 (2022), 387–394
35.	I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, Pure Appl. Math., 69, Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York–London, 1976, xii+303 pp.
36.	J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, Clarendon Press, Oxford, 1985, xxxiv+252 pp.
37.	S. Guest, D. Levy, “Criteria for solvable radical membership via $p$ -elements”, J. Algebra, 415 (2014), 88–111
38.	P. Kleidman, M. Liebeck, The subgroup structure of the finite classical groups, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 129, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990, x+303 pp.
39.	D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon, The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A. Almost simple $K$ -groups, Math. Surveys Monogr., 40.3, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, xvi+419 pp.
40.	R. W. Carter, Simple groups of Lie type, Pure Appl. Math., 28, John Wiley & Sons, London–New York–Sydney, 1972, viii+331 pp.
41.	S. Gonshaw, M. W. Liebeck, E. A. O'Brien, “Unipotent class representatives for finite classical groups”, J. Group Theory, 20:3 (2017), 505–525
42.	B. N. Cooperstein, “Minimal degree for a permutation representation of a classical group”, Israel J. Math., 30:3 (1978), 213–235
43.	W. M. Kantor, “Subgroups of classical groups generated by long root elements”, Trans. Amer. Math. Soc., 248:2 (1979), 347–379
44.	J. McLaughlin, “Some groups generated by transvections”, Arch. Math. (Basel), 18 (1967), 364–368
45.	J. McLaughlin, “Some subgroups of $SL_n(\mathbf{F}_2)$ ”, Illinois J. Math., 13:1 (1969), 108–115
46.	M. W. Liebeck, J. Saxl, “Minimal degrees of primitive permutation group, with an application to monodromy groups of covers of Riemann surfaces”, Proc. London Math. Soc. (3), 63:2 (1991), 266–314
47.	M. W. Liebeck, “The classification of finite simple Moufang loops”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 102:1 (1987), 33–47
48.	G. Glauberman, Factorizations in local subgroups of finite groups, Reg. Conf. Ser. Math., 33, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1976, ix+74 pp.
49.	GAP – Groups, Algorithms, Programming – a system for computational discrete algebra, Version 4.11.1, 2019 https://www.gap-system.org

Образец цитирования: Н. Ян, Чж. У, Д. О. Ревин, Е. П. Вдовин, “О точной теореме Бэра–Сузуки для

$\pi$ -радикала конечной группы”, Матем. сб., 214:1 (2023), 113–154; N. Yang, Zh. Wu, D. O. Revin, E. P. Vdovin, “On the sharp Baer-Suzuki theorem for the

$\pi$ -radical of a finite group”, Sb. Math., 214:1 (2023), 108–147

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{YanWuRev23}

\by Н.~Ян, Чж.~У, Д.~О.~Ревин, Е.~П.~Вдовин

\paper О точной теореме Бэра--Сузуки для  $\pi$-радикала конечной группы

\jour Матем. сб.

\yr 2023

\vol 214

\issue 1

\pages 113--154

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9698}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9698}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4619862}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1526.20036}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023SbMat.214..108Y}

\transl

\by N.~Yang, Zh.~Wu, D.~O.~Revin, E.~P.~Vdovin

\paper On the sharp Baer-Suzuki theorem for the $\pi$-radical of a~finite group

\jour Sb. Math.

\yr 2023

\vol 214

\issue 1

\pages 108--147

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9698e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001037692200005}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85145954115}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9698

https://doi.org/10.4213/sm9698

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i1/p113

Эта публикация цитируется в следующих 9 статьяx:

Д. О. Ревин, “Ширина Бэра–Сузуки полного класса конечных групп конечна”, Алгебра и анализ, 37:1 (2025), 141–176
J. Tang, N. Yang, A. S. Mamontov, “The Baer–Suzuki Theorem for Groups of 3-Exponent 1”, Algebra Logic, 2024
D. O. Revin, A. V. Zavarnitsine, “Generation by conjugate elements of finite almost simple groups with a sporadic socle”, Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика, 49 (2024), 135–142
A-M. Liu, Zh. Wang, D. O. Revin, “Toward a Sharp Baer–Suzuki Theorem for the π-Radical: Unipotent Elements of Groups of Lie Type”, Algebra Logic, 2024
Ч. Ван, В. Го, Д. О. Ревин, “К точной теореме Бэра–Сузуки для $\pi$ -радикала: исключительные группы малого ранга”, Алгебра и логика, 62:1 (2023), 3–32
Zh. Wang, W. Guo, D. O. Revin, “Toward a sharp baer–suzuki theorem for the π-radical: exceptional groups of small rank”, Algebra Logic, 62:1 (2023), 1
Danila O. Revin, Andrei V. Zavarnitsine, “On generations by conjugate elements in almost simple groups with socle 2𝐹4(𝑞2)′”, Journal of Group Theory, 2023
Т. Цзюпин, Н. Ян, А. С. Мамонтов, “Теорема Бэра–Сузуки для групп 3-периода 1”, Алгебра и логика, 62:3 (2023), 400–407
А.-М. Лю, Ч. Ван, Д. О. Ревин, “К точной теореме Бэра–Сузуки для $\pi$ -радикала: унипотентные элементы групп лиева типа”, Алгебра и логика, 62:6 (2023), 708–741

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	1041
PDF русской версии:	95
PDF английской версии:	158
HTML русской версии:	616
HTML английской версии:	227
Список литературы:	93
Первая страница:	12

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы