Сферически-симметричные решения эвклидовых уравнений Янга–Миллса

Мы рассматриваем эвклидовы уравнения Янга–Миллса со структурной группой $SU(2)$. Функционал действия и топологический заряд инвариантны относительно преобразований: $A_\mu(x)\,dx_\mu\to A_\mu(gx)\,d(gx)_\mu$, где $g$ пробегает множество кватернионов единичной длины, a $gx$ есть произведение кватерниона на кватернион $x=x_4+ix_1+jx_2+kx_3$. Эта $SU(2)$-симметрия позволяет применить принцип Коулмена. Для потенциалов $A_\mu$ получаем следующий сферически-симметричный анзац:
$$\begin{gather} A_\mu(x)=\frac{1}{|x|}f_\alpha(\ln|x|^2)\frac{1}{|x|}(\delta_{4\alpha}x_\mu-\delta_{4\mu}x_\alpha+\delta_{\alpha\mu}x_4+\varepsilon_{\alpha\mu\gamma4}x_\gamma), \end{gather}$$
а уравнения Янга–Миллса и уравнения дуальности редуцируются к системам обыкновенных дифференциальных уравнений для функций $f_\alpha^a(\mathcal T)$. Мы доказываем, что всякое решение уравнений Янга–Миллса вида (1), для которого действие конечно и заряд положителен (отрицателен), является решением уравнений дуальности $F=*F$ (соотв., $F=-*F$) и при этом заряд равен 1 (соотв., -1). Кроме того, мы явно описываем вое решения вида (1) уравнений дуальности, среди них содержится, в частности, одноинстантонное решение Белавина, Полякова и др.