Множества единственности для классов Жеврея

Пусть $G_\alpha$ ($\alpha>0$) – множество всех функций, бесконечно дифференцируемых в полуплоскости $\operatorname{Im}\geq0$, ограниченных и аналитических в ее внутренности $\operatorname{Im}\geq0$, таких, что
$$|F^{(n)}(z)|\leq C_f\cdot Q^n_f n!n^n/\alpha$$
для $z$, $\operatorname{Im}\geq0$, $n=0,1,\dots$. Компактное подмножество $E$ вещественной прямой $\mathbb R$ назовем множеством единственности для $G_\alpha$, если не существует ненулевой функции $f$, $f\in G_\alpha$, равной нулю на $E$ вместе со всеми своими производными. Совокупность всех множеств единственности для $G_\alpha$ обозначим символом $\mathscr{E}_\alpha$.
Теорема 1. {\it Пусть $E$ – компактное подмножество в $\mathbb{R}$ и $0<\alpha<1$. Тогда следующие условия равносильны.
(I) $E\notin\mathscr{E}_\alpha$.
(II) Существует функция $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$, $f\geq0$, такая, что
(a) $\frac1{\rho(x,E)^\alpha}\leq f(x)$, $x\in\mathbb R$, и $\int_{\mathbb R}\frac{f(t)}{1+t^2}\,dt<+\infty$
(b) $\int_{\operatorname{Cl}_x}\frac{f(t)}{(t-x)^2}\,dt \leq\operatorname{const}\cdot f(x)^{1+1/\alpha}$, $x\in\mathbb R$.
Здесь $\rho(x,E)\overset{\operatorname{def}}=\inf_{t\in E}|x-t|$, a $\operatorname{Cl}_x=\mathbb R\setminus l_x$ дополнение дополнительного интервала $l_x$ множества $E$, содержащего точку $x$.}
Следствия. 1. {\it Известное условие Карлесона $\operatorname{mes}E=0$ и $\sum_\nu l_\nu^{1-\alpha}<+\infty$ не является достаточным для того, чтобы $E\notin\mathscr{E}_\alpha$.}
2. {\it Существуют два множества с одинаковым набором длин дополнительных интервалов одно из которых принадлежит $\mathscr{E}_\alpha$, а другое нет.}
3. {\it Доказана точность и получено другое доказательство следующего неопубликованного результата С. А. Виноградова: Если $|E|=0$ и $\exists\varepsilon>0$, $\sum l_\nu^{1-\alpha}(\log(1/l_\nu))^{\alpha+\varepsilon}<+\infty$ (Здесь $(l_\nu)$ – последовательность длин дополнительных интервалов множества $E$), то $E\notin\mathscr{E}_\alpha$.}