Интерполяция аналитическими функциями, гладкими вплоть до границы

Пусть $E=\overline E$ – совершенное подмножество единичной окружности $\mathbb T$, а $M_n=\sup_{r>0}e^{\varphi(r)}r^{-n}$ ($n=0,1,\dots$), где функция $\varphi$ убывает на $(0,1]$, $\varphi(x)=\varphi(1)>1$ при $x>1$, $\varphi(+0)=+\infty$, $\int_0^x \varphi(t)\,dt\leq Cx\varphi(x)$ для любого $x>0$. Обозначим символом $A_Q\{M_n\}(C_Q\{M_n\})$ класс всех функций $f$ аналитических в единичном круге $\{|z|<1\}$, бесконечно дифференцируемых в его замыкании (бесконечно дифференцируемых на $\mathbb T$), таких, что
$$\sup_{\substack{|n|\geq0\\|z|\leq1}}|f^{(n)}(z)|(Q^{+n}n!M_n)^{-1}< +\infty\qquad(\sup_{\substack{|n|\geq0\\z\in\mathbb T}} |f^{(n)}(z)|(Q^{+n}n!M_n)^{-1}<+\infty).$$
Пусть
$$A\{M_n\}=\bigcup_{\substack{Q>0\\k>0}}A_Q\{M_{n+k}\},\quad\text{а} \quad C\{M_n\}=\bigcup_{\substack{Q>0\\k>0}}C_Q\{M_{n+k}\}.$$

Теорема. {\it Следующие условия на множество $E$ равносильны: $1)$ $A\{M_n\}|E=C\{M_n\}|E$; $2)$ для любого интервала $\omega\subset[-\pi,\pi]$
$$\int_\omega\varphi[\rho(e^{it},E)]\,dt\leq C|\omega|\varphi(\omega|),$$
где $|\omega|$ – длина интервала $\omega$, a $\rho(z,E)$ – расстояние от точки $z$ до множества $E$.}