О преобразовании Лапласа однородных функций в $\mathbb{R}^n$

В одномерном случае преобразование Лапласа степенных функций относится к табличным интегралам. Многомерным аналогом степенных функций являются однородные функции $\theta (\tau )|t|^\alpha$, $\tau \in S^{n-1}=\{t \in \mathbb{R}^n: |t|=1\}$, где $\alpha$ - степень однородности, а $\theta (\tau )$ - функция на единичной сфере. Для сходимости интеграла необходимо рассматривать область $\gamma$ , лежащую внутри некоторой полусферы. При вычислении преобразования Лапласа однородных функций нужно вывести явное представление. Это достигается применением Фурье - анализа на сфере, а также суммированием интегралов с использованием ядра преобразования Фурье, позволяющего построить простое аналитическое продолжение гипергеометрических функций, появляющихся при вычислениях. В статье получены формулы для преобразования Лапласа однородных функций, у которых $\theta (\tau )$ принадлежит различным функциональным пространствам на единичной сфере с носителем $\gamma$.