Об оценках полных рациональных тригонометрических сумм и сумм характеров Дирихле

Пусть $F_n(Q)$ – множество многочленов $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in\mathbb Z[x]$ с условием $(a_n,\dots,a_1,Q)=1$ и
$$S(f,Q)=\sum_{x=1}^Q\exp\left(2\pi i\frac{f(x)}Q\right).$$
В работе доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть $n>2$, $\alpha\geq1$ и $f\in F_n(p)$. Тогда имеем
$$\max_{f\in F_n(p)}|S(f,p^\alpha)| =\left(1+O\left(\frac{\ln(np)}n\right)\right) p^{\frac1{p-1}}p^{\alpha(1-\frac1n)},$$
где постоянная в знаке $O$ абсолютная. Более точно, справедливо неравенство
$$|S(f,p^\alpha)|\leq n^{\frac2n}p^{\frac{10}n}p^{\frac1{p-1}}p^{\alpha(1-\frac1n)}.$$

Теорема 2. Существует положительная постоянная $c$, такая, что npu условии справедливости некоторых гипотез для $f\in F_n(Q)$ имеет место оценка
$$|S(f,Q)|\leq n^c Q^{1-1/n}.$$
Более того, можно взять $c=1$.
Теорема 3. Пусть $n>2$, $\alpha\geq1$ и $f\in F_n(p)$. Тогда имеем
$$\max_{f\in F_n(p)}|S_\chi(f,p^\alpha)|=\left(1+O\left(\frac{\ln(np)}n\right)\right) p^{\frac1{p-1}}p^{\alpha(1-\frac1n)},$$
где
$$S_\chi(f,p^\alpha)=\sum_{x=1}^{p^\alpha}\exp\left(2\pi i\frac{f(x)}Q\right),$$
$\chi$ – примитивный характер Дирихле по модулю $p^\alpha$; постоянная в знаке $O$ абсолютная. Более точно, справедливо неравенство
$$|S_\chi(f,p^\alpha)|\leq n^{\frac2n}p^{\frac{10}n}p^{\frac1{p-1}}p^{\alpha(1-\frac1n)}.$$

Библиогр. 16.