Аннотация:
Фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) является простейшей универсальной моделью для описания модуляционной неустойчивости квазимонохроматических волн в слабо нелинейных средах, которая, в свою очередь, рассматривается как основной механизм появления аномальных волн (АВ) в природе. В данной работе мы исследуем, используя конечнозонный подход, задачу Коши для НУШ для начального поля, представляющего собой общее периодическое возмущение нестабильного постоянного фона (которую мы называем задачей Коши для АВ), в ситуации, когда имеется несколько неустойчивых мод. Нами показано, что конечнозонный подход адаптируется к данной задаче применением трех упрощающих шагов, что позволяет построить решение в главном порядке в терминах элементарных функций от начальных данных. Точнее, нами показано, что в главном порядке: (i) по начальным данным строится разбиение оси времени на систему конечных интервалов; (ii) на каждом интервале I из этого разбиения только подмножество из N(I)⩽N неустойчивых мод является “видимым”; (iii) решение НУШ для t∈I приближается N(I)-солитонным решением ахмедиевского типа, описывающим нелинейное взаимодействие “видимых” неустойчивых мод, параметры которого также выражаются через начальные данные в элементарных функциях. Эти результаты объясняют, почему m-солитонные решения ахмедиевского типа с m⩽N естественно возникают при решении общей периодической задачи Коши для АВ с конечным числом неустойчивых мод.
Библиография: 118 названий.
Ключевые слова:
фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера; периодическая задача Коши для аномальных волн; асимптотики в элементарных функциях; конечнозонная аппроксимация; римановы поверхности, близкие к вырожденным.
Исследование первого автора выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 18-11-00316). Второй автор был частично поддержан университетом “La Sapienza”, грант 2017 г.
Образец цитирования:
П. Г. Гриневич, П. М. Сантини, “Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для аномальных волн в нелинейном уравнении Шрёдингера при наличии нескольких неустойчивых мод”, УМН, 74:2(446) (2019), 27–80; Russian Math. Surveys, 74:2 (2019), 211–263
Fang‐Cheng Fan, Wang Tang, Guo‐Fu Yu, “Breather and Rogue Wave Solutions on the Different Periodic Backgrounds in the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation”, Stud Appl Math, 154:2 (2025)
F Coppini, P M Santini, “The effect of loss/gain and Hamiltonian perturbations of the Ablowitz—Ladik lattice on the recurrence of periodic anomalous waves”, J. Phys. A: Math. Theor., 57:7 (2024), 075701
F Coppini, P M Santini, “Modulation instability, periodic anomalous wave recurrence, and blow up in the Ablowitz–Ladik lattices”, J. Phys. A: Math. Theor., 57:1 (2024), 015202
Min-Jie Dong, Li-Xin Tian, Wei Shi, Jing-Dong Wei, Yun Wang, “Solitons, breathers and rational solutions for the (2 + 1)-dimensional Konopelchenko–Dubrovsky equation”, Nonlinear Dyn, 112:12 (2024), 10259
Liming Ling, Xuan Sun, “Elliptic-rogue waves and modulational instability in nonlinear soliton equations”, Phys. Rev. E, 109:6 (2024)
Yu-Chen Lee, Markus Brühl, Dong-Jiing Doong, Sander Wahls, Boris Malomed, “Nonlinear Fourier classification of 663 rogue waves measured in the Philippine Sea”, PLoS ONE, 19:5 (2024), e0301709
П. Г. Гриневич, “Римановы поверхности, близкие к вырожденным, в теории аномальных волн”, Геометрия, топология, математическая физика, Сборник статей. К 85-летию академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 325, МИАН, М., 2024, 93–118; P. G. Grinevich, “Riemann Surfaces Close to Degenerate Ones in the Theory of Rogue Waves”, Proc. Steklov Inst. Math., 325 (2024), 86–110
B. Prinari, “Inverse scattering transform for nonlinear Schrödinger systems on a nontrivial background: A survey of classical results, new developments and future directions”, J. Nonlinear Math. Phys., 30:2 (2023), 317
N. Sinthuja, S. Rajasekar, M. Senthilvelan, “Instability of single- and double-periodic waves in the fourth-order nonlinear Schrödinger equation”, Nonlinear Dyn., 111:17 (2023), 16497
П. Г. Гриневич, П. М. Сантини, “Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для (2+1)-мерных аномальных волн фокусирующего уравнения Дэви–Стюартсона 2”, УМН, 77:6(468) (2022), 77–108; P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The finite-gap method and the periodic Cauchy problem for (2+1)-dimensional anomalous waves for the focusing Davey–Stewartson 2 equation”, Russian Math. Surveys, 77:6 (2022), 1029–1059
F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, “Periodic rogue waves and perturbation theory”, Perturbation Theory, Encyclopedia of Complexity and Systems Science Series, Springer, Berlin–Heidelberg, 2022, 565–584
F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, “Periodic rogue waves and perturbation theory”, Encyclopedia of Complexity and Systems Science, Springer, Berlin–Heidelberg, 2022, 1–22
P. G. Grinevich, P. M. Santini, “The linear and nonlinear instability of the Akhmediev breather”, Nonlinearity, 34:12 (2021), 8331–8358
D. E. Pelinovsky, “Instability of double-periodic waves in the nonlinear Schrödinger equation”, Front. Physics, 9 (2021), 599146
F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, Encyclopedia of Complexity and Systems Science, 2021, 1
Sebastian Klein, Martin Kilian, “On Closed Finite Gap Curves in Spaceforms I”, SIGMA, 16 (2020), 011, 29 pp.
A. Tikan, “Effect of local peregrine soliton emergence on statistics of random waves in the one-dimensional focusing nonlinear Schrodinger equation”, Phys. Rev. E, 101:1 (2020), 012209
F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, “Effect of a small loss or gain in the periodic nonlinear Schrodinger anomalous wave dynamics”, Phys. Rev. E, 101:3 (2020), 032204
А. Н. Куликов, Д. А. Куликов, “Однофазовые и двухфазовые решения фокусирующего нелинейного уравнения Шредингера”, Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика, 2020, № 2, 18–34
J. Chen, R. Zhang, “The complex Hamiltonian systems and quasi-periodic solutions in the derivative nonlinear Schrödinger equations”, Stud. Appl. Math., 145:2 (2020), 153–178
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: