Обобщение метода коэффициента $k$ в теории относительности на произвольный угол между скоростью наблюдателя (источника) и направлением луча света от далёкого неподвижного источника (к далёкому неподвижному наблюдателю)

Метод коэффициента $k$, предложенный Г. Бонди, распространён на общий случай, когда угол $\alpha$ между скоростью сигнала от неподвижного далёкого источника и скоростью наблюдателя не равен нулю или $\pi$, как у Бонди, а может принимать любое значение в интервале $0\le \alpha \le \pi$, и на обратный случай, когда источник движется, а наблюдатель покоится и угол $\alpha$ между скоростью источника и направлением сигнала к наблюдателю принимает любое значение между 0 и $\pi$. Для отношения $\omega /\omega^{'}$ собственных частот источника и наблюдателя вводятся функции $k_*(\beta,\alpha)$ и $k_+(\beta,\alpha)$ угла и относительной скорости. Их явные выражения находятся из условия сохранения когерентности пучка лучей при переходе от системы источника к системе наблюдателя без использования преобразований Лоренца. Благодаря аналитичности этих функций по $\alpha$ отношение частот для вышеупомянутых случаев представляется формулами $\omega /\omega ^{'}=k_*(\beta,\alpha)$ и $\omega /\omega^{'}=k_+(\beta,\pi -\alpha )\equiv 1/k_*(\beta,\alpha)$, совпадающими с формулами эффекта Доплера, в которых угол $\alpha$, скорость $\beta$ и одна из частот измеряются в неподвижной системе. Луч, испущенный источником под углом $\alpha$ к скорости наблюдателя в системе источника, в системе наблюдателя направлен под углом $\alpha^{'}$ к той же скорости.Благодаря аберрации света углы $\alpha$ и $\alpha^{'}$ функционально связаны: $k_*(\beta,\alpha)=k_+(\beta,\alpha^{'})$. Функции $\alpha^{'}(\alpha,\beta)$ и $\alpha (\alpha ^{'},\beta)$ представлены первообразными функций $k_*(\beta,\alpha)$ и $k_*(\beta,\pi -\alpha ^{'})$. Аналитичность функций $k_*(\beta, z)$ и $k_+(\beta, z)$ по $z\equiv \alpha$ на отрезке $0\le z\le \pi$ распространяется на всю плоскость комплексного $z$, где $k_*$ имеет полюсы в точках $z^\pm _n=2\pi n\mp \rm i \ln \cos \alpha _1$ (см. (17)), а $k_+$ —нули в тех же точках, сдвинутых на $\pi$. Пространственно-временнáя асимметрия эффектов Доплера и аберрации света объясняется близостью этих особенностей к вещественной оси.