Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания по решетке

В работе изучается блуждание частицы по $\nu$-мерной решетке $\mathbf{Z}^\nu$, $\nu=1,2,3$, у которого переходные вероятности $\mathbf{Pr}(x\to y)$ за один шаг отличаются от переходных вероятностей однородного симметричного блуждания лишь в конечной окрестности точки $x=0$. Для такого блуждания изучен главный член асимптотики (имеющий порядок $O(1/t^{\nu/2}))$ при $t\to\infty$ вероятности $\mathbf{Pr}(x_t=y\mid x_0=\mid x)$; $x,y\in\mathbf{Z}^\nu$, $x_t$ – положение частицы в момент времени $t$. Оказывается, что при $\nu=2,3$ этот главный член асимптотики отличается от соответствующего члена асимптотики для случая однородного блуждания (который имеет обычную гауссовскую форму) на величину порядка $O(t^{-\nu/2}(|y|+1)-C)^{(\nu-1)/2})$. Таким образом, поправка к гауссовскому члену асимптотики сравнима с ним лишь в конечной окрестности начала координат. В случае $\nu=1$ эта поправка имеет вид
$$\frac{\mathrm{const}}{\sqrt t}\biggl(\operatorname{sign}y\exp\biggl\{-\frac{\mathrm{const}}t(|x|+|y|)^2\biggr\}+O\biggl(\frac 1{|y|}\biggr)\biggr),$$
т.е. остается того же порядка, что и гауссовский член, на расстояниях $|y|\sim\sqrt t$. Доказательство этих результатов получается с помощью детального исследования структуры резольвенты $(\mathcal{T}-zE)^{-1}$ стохастического оператора $\mathcal{T}$ нашей модели при $z$, лежащих в небольшой окрестности точки $z=1$ (правый край непрерывного спектра $\mathcal T$).