В. В. Вечернин, С. Н. Белокурова, “Сильноинтенсивная переменная в модели высокоэнергетических pp-взаимодействий с образованием струнных кластеров”, ТМФ, 216:3 (2023), 460–475; Theoret. and Math. Phys., 216:3 (2023), 1299

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 216, номер 3, страницы 460–475
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10461 (Mi tmf10461)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Сильноинтенсивная переменная в модели высокоэнергетических pp-взаимодействий с образованием струнных кластеров

В. В. Вечернин, С. Н. Белокурова

Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

PDF полного текста (469 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10461

Аннотация: В рамках модели, учитывающей слияние кварк-глюонных струн и образование струнных кластеров, для случая pp-рассеяния при высоких энергиях рассчитана сильноинтенсивная переменная

$\Sigma$ , характеризующая корреляции между числом частиц, образующихся в двух разнесенных по быстроте интервалах наблюдения. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными коллаборации ALICE на Большом адронном коллайдере. Показано, что экспериментально наблюдаемый рост этой переменной с увеличением начальной энергии можно объяснить только с учетом образования струнных кластеров, состоящих из возрастающего числа слившихся струн.

Ключевые слова: взаимодействия адронов, высокие энергии, множественное рождение частиц, кварк-глюонные струны, слияние струн, кластеры, флуктуации, корреляции, cильноинтенсивные переменные.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Санкт-Петербургский государственный университет	94031112
Это исследование было выполнено при финансовой поддержке СПбГУ (проект № 94031112).

Поступило в редакцию: 31.01.2023
После доработки: 10.03.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages 1299–1312
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090052

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

1. Введение

Известно, что изучение флуктуаций и корреляций различных наблюдаемых в процессах множественного рождения частиц при высоких энергиях дает информацию о начальном этапе взаимодействия адронов, отвечающем наибольшей плотности образующейся кварк-глюонной материи [1]. Это позволяет получить уникальные данные о новых объектах, которые образуются на этом этапе, в том числе о кварк-глюонных струнах и струнных кластерах.

Поскольку данные физические явления относятся в основном к так называемой мягкой области сильного взаимодействия с малыми передачами импульса, в которой невозможно провести расчеты по теории возмущения КХД, то обоснованным является использование модели кварк-глюонных (цветных) струн [2], [3]. В этом подходе используется имеющее качественное обоснование в рамках КХД представление о струнах как о трубках цветового потока (см. более подробно [4]–[8]).

Дальнейшие исследования показали необходимость учета процессов взаимодействия и слияния струн [9]–[11]. Эти процессы были включены в генератор событий DIPSY в виде формирования так называемых “цветных веревок”, приводящих к увеличенному выходу странных частиц [12]. В статье [13], посвященной экспериментальным исследованиям выхода мультистранных адронов в pp-взаимодействиях как функции центральности столкновения, при сравнении этих результатов с предсказаниями различных теоретических моделей коллаборация ALICE делает вывод, что модель DIPSY с учетом процессов образования “цветных веревок” описывает данные лучше, чем другие генераторы событий. Аналогичные результаты [14] были получены и в рамках мультипомеронной модели, в которой эффективным образом также учтен вклад процессов слияния струн [15], [16].

Чтобы извлечь информацию о процессах слияния струн и образовании струнных кластеров из анализа флуктуаций и корреляций между различными наблюдаемыми, необходимо уметь отделить в экспериментальных данных тривиальный затеняющий вклад так называемых “объемных” флуктуаций, возникающих из-за флуктуаций объема области взаимодействия (например, числа образующихся струн) от события к событию, в частности по причине принципиально неустранимых флуктуаций прицельного параметра в реальном эксперименте. Поэтому особое значение имеет изучение флуктуаций и корреляций с использованием интенсивных и сильноинтенсивных наблюдаемых, которые позволяют минимизировать вклад “объемных” флуктуаций и дают возможность получить информацию о свойствах объектов, образующихся на начальной стадии сильного взаимодействия. В настоящей работе мы используем для этой цели так называемую сильноинтенсивную переменную $\Sigma$ , введенную в работах [17], [18]. Мы рассчитываем поведение этой переменной в рамках модели pp-взаимодействия со слиянием струн и образованием струнных кластеров для различных начальных энергий.

Сравнение полученных теоретических зависимостей для переменной $\Sigma$ с предварительными экспериментальными данными [19] коллаборации ALICE на Большом адронном коллайдере (БАК) при трех начальных энергиях рр-столкновений позволяет сделать однозначный вывод о наличии эффектов слияния струн и образования струнных кластеров при энергиях БАК уже в рр-взаимодействиях. При этом, как и ожидалось, вклад струнных кластеров в переменную $\Sigma$ растет с ростом начальной энергии. Сравнение с экспериментальными данными позволяет также фиксировать параметры, характеризующие кластеры с различным числом слившихся струн.

2. Сильноинтенсивные переменные

В статистической физике используемые величины обычно делят на интенсивные и экстенсивные. К первым относятся давление, температура и тому подобные величины, значение которых остается неизменным при выделении из рассматриваемой системы какой-то ее части. Ко вторым относят объем, энтропию и другие величины, значение которых равно сумме их значений для отдельных частей системы.

При перенесении этих понятий на физику высоких энергий, например на случай ядро-ядерных столкновений, объем образующейся системы считается пропорциональным суммарному числу нуклонов в сталкивающихся ядрах, принявших участие в процессе взаимодействия. Ясно, что в этом случае объем зависит от прицельного параметра, при котором происходит столкновение ядер. В более общем случае взаимодействия адронов высоких энергий считается, что объем образующейся системы пропорционален числу $N$ кварк-глюонных струн, формирующихся на начальном этапе взаимодействия.

С этой точки зрения число частиц $n$ с импульсом, принадлежащим некоторой заданной области (в заданном аксептансе), представляет собой пример экстенсивной величины, так как ее значение пропорционально объему образующейся системы. В каждом столкновении адронов значение $n$ равно сумме вкладов, $n=n_1+\cdots+n_N$ , от каждой из $N$ образующихся струн. Очевидно, что величина $n$ флуктуирует от события к событию вместе с величиной объема образующейся системы (числом образующихся первичных струн), в том числе из-за неизбежных флуктуаций прицельного параметра.

Однако, как отмечалось в разделе 1, для нахождения вклада физически интересных флуктуаций и корреляций, несущих информацию о фундаментальных свойствах образующейся в результате взаимодействия адронов материи, необходимо уметь выделять их вклад на фоне тривиального вклада, возникающего из-за флуктуаций объема образующейся системы. Для этого в физике высоких энергий, наряду с экстенсивными и интенсивными величинами, вводится понятие сильноинтенсивных переменных, под которыми понимаются такие наблюдаемые величины, значение которых не зависит не только от объема образующейся системы, но и от флуктуаций этого объема от события к событию.

Общие методы построения таких наблюдаемых исследовались в работе [17], где, в частности, было показано, что в рамках определенного класса статистических моделей, рассмотренных в работе, величина

$\begin{equation} \Sigma(A,B)\equiv\frac{\langle A\rangle \omega_B+\langle B\rangle \omega_A-2 \operatorname{cov}(A,B)}{\langle A\rangle +\langle B\rangle }, \end{equation} \tag{1}$

составленная из любых двух экстенсивных величин

$A$ и

$B$ , является сильноинтенсивной переменной. В этой формуле

$\langle A\rangle$ и

$\langle B\rangle$ – средние значения величин

$A$ и

$B$ , а

$\omega_A$ и

$\omega_B$ – их приведенные дисперсии:

$\begin{equation} \omega_A\equiv\frac{D_ A}{\langle A\rangle}=\frac{\langle {A^2}\rangle-\langle {A}\rangle^2}{\langle A\rangle}, \qquad \omega_B\equiv\frac{D_ B}{\langle B\rangle}=\frac{\langle {B^2}\rangle-\langle {B}\rangle^2}{\langle B\rangle}. \end{equation} \tag{2}$

В формулу (1) входит также коррелятор этих переменных:

$\begin{equation} \operatorname{cov}(A,B)=\langle {AB}\rangle-\langle {A}\rangle\langle {B}\rangle. \end{equation} \tag{3}$

Позднее в работе [18] было предложено при построении переменной $\Sigma$ по формуле (1) использовать в качестве этих экстенсивных переменных $A$ и $B$ значения числа частиц $n_{\mathrm F}$ и $n_{\mathrm B}$ , регистрируемых в данном событии в двух интервалах импульсов этих частиц, в так называемых окнах наблюдения. Часто эти окна наблюдения обозначаются как переднее (forward) и заднее (backward), так как в первых экспериментах им соответствовали частицы, вылетающие соответственно в переднюю и заднюю полусферы реакции в системе центра масс.

При рассмотрении процессов множественного рождения частиц при высоких энергиях удобно перейти от продольных, направленных вдоль оси столкновения, компонент $p_z$ импульсов частиц к быстротам этих частиц:

$\begin{equation} y=\frac{1}{2}\ln \frac{p_+}{p_-}=\frac{1}{2}\ln \frac{p_0+p_z}{p_0-p_z} , \end{equation} \tag{4}$

где

$p_0=\sqrt{p^2_z+\mathbf{p}^2_\perp}$ . В нашем рассмотрении мы считаем, что частица попадает в передний интервал наблюдения, если ее быстрота принадлежит заданному интервалу:

$y \in (y_\mathrm{F},y_\mathrm{F}+\delta y_\mathrm{F})$ , поперечный импульс

$\mathbf{p}_\perp$ при этом может быть произвольным, и аналогично для заднего окна наблюдения. Соответственно

$\delta y_\mathrm{F}$ и

$\delta y_\mathrm{B}$ – ширины этих окон наблюдения по быстроте.

В дальнейшем мы ограничимся случаем симметричных реакций, к которым, в частности, относится изучаемое pp-взаимодействие, и одинаковых, $\delta y_\mathrm{F}=\delta y_\mathrm{B}\equiv\delta y$ , симметрично расположенных относительно $y=0$ быстротных интервалов наблюдения. В этом случае

$\begin{equation} \langle n_{\mathrm F}\rangle=\langle n_{\mathrm B}\rangle\equiv \langle n \rangle, \qquad D_{n_{\mathrm F}}=D_{n_{\mathrm B}}\equiv D_n , \qquad \omega_{n_{\mathrm F}}=\omega_{n_{\mathrm B}}\equiv \omega_n , \end{equation} \tag{5}$

и выражение (1) для этого частного случая принимает вид

$\begin{equation} \Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})= \frac{D_n-\operatorname{cov}(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})}{\langle n\rangle}= \frac{\langle{n^2}\rangle-\langle{n_{\mathrm F}n_{\mathrm B}}\rangle}{\langle n\rangle}. \end{equation} \tag{6}$

3. Связь наблюдаемой $\Sigma({n}_{\mathrm F},{n}_{\mathrm B})$ со свойствами струнных кластеров

В работе [26] мы получили выражение для переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ в рамках модели, учитывающей процессы слияния струн и образование струнных кластеров. В этой работе для учета эффектов от слияния струн мы использовали решетку в плоскости прицельного параметра (см. более подробное обсуждение этого метода ниже в разделе 5). Было показано, что в этом случае

$\begin{equation} \Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B}) = \sum_{ k=1}^{\infty} \alpha( k) \Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B}), \end{equation} \tag{7}$

где

$\begin{equation} \alpha( k)\equiv \frac{\langle n\rangle_k}{\langle n\rangle}. \end{equation} \tag{8}$

В этих формулах переменная

$\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ определена согласно общим выражениям (1) и (6), но для какого-то одного кластера, образованного слиянием

$k$ струн. Соответственно, величины

$\mu_\mathrm{F}$ и

$\mu_\mathrm{B}$ – это числа частиц, которые попадают в переднее и заднее окна наблюдения в данном событии от распада этого кластера. Разумеется, экспериментально их невозможно выделить из общего числа частиц

$n_{\mathrm F}$ и

$n_{\mathrm B}$ , регистрируемых в этих окнах в данном событии.

Весовые множители $\alpha(k)$ имеют смысл средней доли частиц, рожденных от всех кластеров, образованных слиянием ровно $k$ струн; $\langle n\rangle_k$ – среднее число частиц, рождающихся от всех таких кластеров. Поэтому выполняется нормировочное условие

$\begin{equation} \sum_{ k=1}^{\infty} \alpha(k) = \frac{1}{\langle n\rangle}\sum_{ k=1}^{\infty} \langle n\rangle_k = 1. \end{equation} \tag{9}$

Значению

$k=1$ отвечает вклад одиночных струн.

Из формул (7) и (8) мы видим, что без учета процессов слияния струн вклад дают только одиночные струны, и мы имеем $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})=\Sigma_1(\mu_{\mathrm F},\mu_{\mathrm B})$ . В этом случае подтверждается сильноинтенсивный характер переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ – ее значение полностью определяется только свойствами одиночной струны и не зависит от числа $N$ образующихся в данном столкновении струн и флуктуаций этого числа от события к событию.

В то же время в общем случае с учетом слияния струн и формирования новых типов источников частиц – струнных кластеров – переменная $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ , как мы увидим ниже, оказывается зависящей не только от свойств струнных кластеров, определяющих величины $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ , но и от деталей столкновения – его начальной энергии и центральности, через весовые коэффициенты $\alpha(k)$ .

В работе [20] было найдено следующее выражение для переменных $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ , входящих в формулу (7), через величины, характеризующие свойства струнных кластеров, образованных слиянием $k$ струн:

$\begin{equation} \Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})=1+\mu^{(k)}_0 \delta y [J^{(k)}-J^{(k)}_\mathrm{FB}], \end{equation} \tag{10}$

где

$\begin{equation} J^{(k)}= \frac{1}{(\delta y)^2}\int_{\delta y} dy_1 \int_{\delta y} dy_2\, \Lambda^{(k)}(y_1-y_2) \end{equation} \tag{11}$

$\begin{equation} J^{(k)}_\mathrm{FB}= \frac{1}{(\delta y)^2}\int_{\delta y_\mathrm{F}}dy_1 \int_{\delta y_\mathrm{B}} dy_2\, \Lambda^{(k)}(y_1-y_2). \end{equation} \tag{12}$

В последней формуле при интегрировании переменная

$y_1$ принадлежит переднему, а переменная

$y_2$ – заднему окну.

Здесь мы приводим эти формулы для случая симметричных по быстроте окон наблюдения одинаковой ширины $\delta y_\mathrm{F}=\delta y_\mathrm{B}=\delta y$ , выбранных в центральной области быстрот. Мы также предполагаем наличие трансляционной инвариантности по быстроте в этой области. Отметим, что такое приближение хорошо работает при энергиях БАК, когда формирующиеся струны дают вклад в достаточно широкий интервал быстроты.

В этом приближении одночастичные распределения $\lambda^{(k)} (y)$ частиц от распада данного кластера, сформированного слиянием $k$ струн, постоянны, а двухчастичные распределения $\lambda^{(k)}_2 (y_1, y_2)$ зависят только от разности быстрот образующихся частиц:

$\begin{equation} \lambda^{(k)} (y)=\mu^{(k)}_0, \qquad \lambda^{(k)}_2 (y_1, y_2)=\lambda^{(k)}_2 (y_1-y_2), \end{equation} \tag{13}$

где

$\mu^{(k)}_0$ – среднее число частиц, рождающихся на единицу быстроты от распада этого струнного кластера.

Парная корреляционная функция кластера $\Lambda^{(k)}$ в формуле (10) определена стандартным образом:

$\begin{equation} \Lambda^{(k)} (y_1,y_2)\equiv\frac{\lambda^ {(k)}_2 (y_1, y_2)}{\lambda^{(k)} (y_1)\lambda^{(k)} (y_2)} - 1. \end{equation} \tag{14}$

При наличии трансляционной инвариантности по быстроте это определение принимает вид

$\begin{equation} \Lambda^{(k)} (y_1-y_2)=\frac{\lambda^ {(k)}_2 (y_1-y_2)}{(\mu^{(k)}_0)^2} - 1. \end{equation} \tag{15}$

Особенно простой вид формула (10) принимает в случае быстротных окон наблюдения малой ширины, когда $\delta y_\mathrm{F}=\delta y_\mathrm{B}\equiv\delta y \ll y_\mathrm{corr}$ , где $y_\mathrm{corr}\simeq 1\div 2$ – характерная длина корреляции в пространстве быстрот. В этом случае формула (10) принимает следующий вид:

$\begin{equation} \Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})=1+\mu^{(k)}_0 \delta y [\Lambda^{(k)} (0)-\Lambda^{(k)} (\Delta y)], \end{equation} \tag{16}$

где

$\Delta y$ – расстояние по быстроте между центрами этих малых окон наблюдения

$\delta y_\mathrm{F}$ и

$\delta y_\mathrm{B}$ .

Эта упрощенная формула позволяет качественно понять основные черты зависимости переменной $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ для данного кластера из $k$ струн от ширины окон наблюдения $\delta y$ и расстояния по быстроте между ними $\Delta y$ . При малом расстоянии между окнами наблюдения, когда $\Delta y \ll y_\mathrm{corr}$ , мы видим, что $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})\to 1$ . С ростом $\Delta y$ значение $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ возрастает, выходя на уровень $1+\mu^{(k)}_0 \delta y \Lambda^{(k)}(0)$ , так как $\Lambda^{(k)}(\Delta y)\to 0$ при $\Delta y \gg y_\mathrm{corr}$ . При этом скорость выхода на этот уровень и его величина пропорциональны ширине окон наблюдения $\delta y$ .

Это значение $1+\mu^{(k)}_0 \delta y \Lambda^{(k)}(0)$ , на которое выходит переменная $\Sigma_k$ (16) для удаленных друг от друга по быстроте окон наблюдения, есть просто приведенная дисперсия $\omega_\mu^{(k)}\equiv D_\mu^{(k)}/\langle \mu\rangle^{(k)}$ , $\langle \mu\rangle^{(k)}=\mu^{(k)}_0 \delta y$ , числа частиц, попадающих при распаде струнного кластера в быстротный интервал ширины $\delta y$ . Действительно, в работах [21], [22] в общем случае источника любого типа было показано, что $\omega_\mu^{(k)}$ дается первым слагаемым в формулах (10) и (16):

$\begin{equation} \omega_\mu^{(k)}=1+\mu^{(k)}_0 \delta y J^{(k)}\approx 1+\mu^{(k)}_0 \delta y \Lambda^{(k)}(0), \end{equation} \tag{17}$

где

$J^{(k)}$ определяется по формуле (11), а последний переход справедлив, когда ширина окна много меньше характерной корреляционной длины по быстроте,

$\delta y \ll y_\mathrm{corr}\simeq 1\div2$ .

Важным физическим следствием формулы (17) является неизбежное отклонение распределения по числу частиц в данном фиксированном интервале быстроты $\delta y$ от распределения Пуассона, для которого $\omega_\mu^{(k)}$ должно быть равно единице, при наличии любых, даже ближних, корреляций между частицами, образующимися в процессе распада данного кластера. Из формулы (17) видно также, что распределение Пуассона по числу частиц от распада кластера в данном интервале быстроты $\delta y$ возможно только для очень узких окон, когда $\delta y \cdot\mu^{(k)}_0 \Lambda^{(k)}(0)\ll 1$ .

4. Моделирование распределения струн в поперечной плоскости pp-столкновения

Расчеты величины $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ для pp-столкновений при энергиях БАК проводились на основе формулы (7). Остановимся сначала на расчете весовых коэффициентов $\alpha(k)$ (8), входящих в эту формулу и определяющих соотношение вкладов кластеров с различным числом слившихся струн. Ясно, что это соотношение зависит от конкретных деталей pp-столкновения, в частности от начальной энергии и от степени его центральности.

Расчет весовых коэффициентов $\alpha(k)$ в настоящей работе проводился в два этапа. Сначала проводилось моделирование распределения первичных струн в поперечной плоскости с учетом реальных условий pp-столкновения согласно методике, предложенной в работе [23]. На втором этапе мы моделировали процесс слияния первичных струн и образования струнных кластеров, вводя конечную решетку (грид) в плоскости прицельного параметра (см. раздел 5).

Чтобы иметь возможность учесть эти процессы наложения струн и образования струнных кластеров, мы должны уметь на первом этапе моделировать не только общее количество первичных струн, образующихся при данной начальной энергии и заданном прицельном параметре pp-столкновения, но и их распределение в поперечной плоскости. Mы предполагаем, что и в случае столкновения двух протонов при прицельном параметре $b$ плотность распределения струн в точке $\mathbf{s}$ поперечной плоскости пропорциональна произведению профильных функций сталкивающихся протонов:

$\begin{equation} w_\mathrm{str}(\mathbf{s}, \mathbf{b}) \sim \frac{1}{\sigma_\mathrm{pp}(b)} T\biggl(\mathbf{s}-\frac{\mathbf{b}}{2}\biggr)T\biggl(\mathbf{s}+\frac{\mathbf{b}}{2}\biggr), \end{equation} \tag{18}$

где

$T(\mathbf{s})$ – партонная профильная функция нуклона, а

$\sigma_\mathrm{pp}(b)$ – вероятность недифракционного pp-взаимодействия (по крайней мере, с одним рассеченным помероном) при заданном значении прицельного параметра

$b$ . Интеграл

$\begin{equation} \sigma_\mathrm{pp} = \int \sigma_\mathrm{pp}(b)\, d^{2}\mathbf{b} \end{equation} \tag{19}$

дает полное сечение недифракционного pp-взаимодействия.

По аналогии с легкими ядрами для партонной профильной функции протона мы будем использовать простейшее гауссово распределение с параметром $r_0$ :

$\begin{equation} T(s) =\frac{1}{\pi r_0^2}e^{-s^2/ r_0^2}. \end{equation} \tag{20}$

Подставляя (20) в (18), мы получаем

$\begin{equation} w_\mathrm{str}(\mathbf{s}, \mathbf{b}) \sim \frac{1}{\sigma_\mathrm{pp}(b)} e^{-(\mathbf{s}+\mathbf{b}/2)^2/ r_0^2} e^{-(\mathbf{s}-\mathbf{b}/2)^2/ r_0^2}=\frac{1}{\sigma_\mathrm{pp}(b)} e^{-2 s^2 / r_0^2} e^{-b^2 / 2 r_0^2} . \end{equation} \tag{21}$

Видно, что в этом приближении зависимость от переменных

$s$ и

$b$ факторизуется. Интегрируя (21) по

$\mathbf{s}$ , мы находим, что для среднего числа струн, образующихся в pp-столкновении на прицельном параметре

$b$ , справедливо следующее соотношение:

$\begin{equation} \langle N_\mathrm{str}(b) \rangle \sim \frac{e^{-b^2 / 2 r_0^2}}{\sigma_\mathrm{pp}(b)}. \end{equation} \tag{22}$

Поскольку один рассеченный померон приводит к формированию двух кварк-глюонных струн, то

$N_\mathrm{str}=2N$ , где

$N$ – число рассеченных померонов в данном событии. Поэтому в силу (22) мы также имеем

$\begin{equation} \langle N(b) \rangle \sim \frac{e^{-b^2 / 2 r_0^2}}{\sigma_\mathrm{pp}(b)}. \end{equation} \tag{23}$

Эта формула дает зависимость среднего числа рассеченных померонов от прицельного параметра для недифракционных pp-столкновений.

Для расчета величины флуктуаций и корреляций различных наблюдаемых требуется знание не только среднего значения числа рассеченных померонов в pp-столкновениях при заданном значении прицельного параметра $b$ , но и распределения числа померонов от события к событию вокруг этого среднего значения. Мы будем предполагать, что при заданном прицельном параметре $b$ это распределение $\widetilde{P}(N,b)$ , которое при $N\geqslant 1$ дается формулой

$\begin{equation} \widetilde{P}(N,b) =\frac{P(N,b)}{1 - P(0,b)}, \end{equation} \tag{24}$

является простой модификацией распределения Пуассона:

$\begin{equation} P(N,b) =\frac{1}{N!} e^{- \overline{N} (b)} { \overline{N} (b)^{N}} \end{equation} \tag{25}$

с некоторым параметром

$\overline{N} (b)$ . Отличие нашего распределения

$\widetilde{P}(N,b)$ (24) от пуассоновского (25) состоит только в исключении из него значения

$N=0$ :

$\widetilde{P}(0,b)=0$ , что соответствует исключению дифракционного рассеяния, которому соответствует

$N=0$ . Ясно, что при

$N\geqslant 1$ это сводится лишь к введению в (24) дополнительного общего множителя, обеспечивающего правильную нормировку:

$\sum_{N=1}\widetilde{P}(N,b) =1$ .

Расчет среднего числа померонов при заданном $b$ с распределением (24) дает

$\begin{equation} \langle N(b) \rangle = \frac{ \overline{N} (b)}{1 - P(0,b)}. \end{equation} \tag{26}$

Учитывая, что вероятность

$\sigma_\mathrm{pp}(b)$ недифракционного pp-взаимодействия при заданном фиксированном прицельном параметре

$b$ равна вероятности иметь ненулевое число рассеченных померонов, мы имеем

$\begin{equation} \sigma_\mathrm{pp}(b)=1 - P(0,b)=1 - e^{- \overline{N} (b)}. \end{equation} \tag{27}$

Сравнивая с учетом этого формулы (23) и (26), приходим к выводу, что

$\overline{N} (b) \sim e^{-b^2 / 2 r_0^2}$ , или, вводя параметр

$N_0$ , имеем

$\begin{equation} \overline{N} (b) =N_0 e^{-b^2 / 2 r_0^2}. \end{equation} \tag{28}$

Тогда, с учетом формул (25) и (26) среднее число рассеченных померонов при прицельном параметре

$b$ определяется выражением

$\begin{equation} \langle N(b) \rangle = \frac{ \overline{N} (b)}{1 -e^{- \overline{N} (b)}}, \end{equation} \tag{29}$

где

$\overline{N} (b)$ дается формулой (28).

Чтобы получить результат для pp-столкновений без отбора по центральности, необходимо выполнить интегрирование по $b$ . Для этого удобно в плоскости прицельного параметра ввести плотность вероятности недифракционного pp-взаимодействия (см. (19)), нормированную на единицу:

$\begin{equation} f(b) = \frac{\sigma_\mathrm{pp}(b)}{\sigma_\mathrm{pp}}, \qquad \int f(b)\, d^{2}\mathbf{b} =1. \end{equation} \tag{30}$

Тогда, используя (30), можно найти среднее число померонов в недифракционном pp-взаимодействии, усредненное по прицельному параметру:

$\begin{equation} \langle N\rangle = \int \langle N(b) \rangle f(b)\, d^{2}\mathbf{b} = \int \frac{ \overline{N} (b)}{\sigma_\mathrm{pp}}\, d^{2}\mathbf{b} = \frac{2\pi r_0^2 N_0}{\sigma_\mathrm{pp}}, \end{equation} \tag{31}$

а также соответствующую дисперсию

$D_N \equiv \langle N^2 \rangle - \langle N \rangle^2$ , где

$\begin{equation} \langle N^2 \rangle = \int \langle N^2(b) \rangle f(b)\, d^{2}\mathbf{b} = \frac{\pi r_0^2 N_0 (N_0+2)}{\sigma_\mathrm{pp}} = \langle N\rangle \biggl(1+\frac{N_0}{2}\biggr). \end{equation} \tag{32}$

Здесь мы использовали формулу (28). Используя эту формулу, мы можем также вычислить в нашей модели полное сечение недифракционного pp-взаимодействия:

$\begin{equation} \sigma_\mathrm{pp} = \int \sigma_\mathrm{pp}(b)\,d^2 \mathbf{b}= \int [1 - e^{- \overline{N} (b)}]\,d^2 \mathbf{b}= 2\pi r_0^{2} \Phi_1(N_0), \end{equation} \tag{33}$

где

$\begin{equation} \Phi_m(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}z^k}{k!k^m}, \qquad \Phi_1(z)=\int_0^z(1-e^{-t})\,\frac{dt}{t}. \end{equation} \tag{34}$

После этого формула (31) принимает окончательный вид:

$\begin{equation} \langle N\rangle = \frac{N_0}{\Phi_1(N_0)}, \end{equation} \tag{35}$

т. е. параметр

$N_0$ однозначно определяет среднее число рассеченных померонов. Для приведенной дисперсии числа рассеченных померонов

$\omega_N$ согласно (32) и (35) это дает

$\begin{equation} \omega_{N}\equiv \frac{D_N}{\langle N\rangle} = 1+\frac{N_0}{2} - \langle N\rangle = 1+\frac{N_0}{2} - \frac{ N_0}{\Phi_1(N_0)}. \end{equation} \tag{36}$

То есть параметр

$N_0$ , введенный в формуле (28) как коэффициент пропорциональности, однозначно определяет среднее число рассеченных померонов и дисперсию этого числа от события к событию. При этом зависимость от начальной энергии также входит только через этот параметр.

В рамках данной простой модели удается явно вычислить и саму вероятность $p_N$ иметь $N$ рассеченых померонов в недифракционном pp-столкновении, усредняя $\widetilde{P}(N,b)$ (24) по $b$ при фиксированном $N$ :

$\begin{equation} p_N= \int \widetilde{P}(N,b) f(b)\, d^{2}\mathbf{b} = \frac{1}{\sigma_\mathrm{pp}} \int P(N,b)\, d^{2}\mathbf{b}, \end{equation} \tag{37}$

где мы приняли во внимание соотношение (27). Используя теперь (25), мы находим

$\begin{equation} p_N = \frac{1}{\sigma_\mathrm{pp} N!} \int e^{- \overline{N} (b)} ( \overline{N} (b))^N \, d^{2}\mathbf{b} = \frac{2\pi}{\sigma_\mathrm{pp} N!} \int_0^\infty e^{- \overline{N} (b)} ( \overline{N} (b))^N b\,db. \end{equation} \tag{38}$

Учитывая (28), мы можем использовать

$\overline{N}$ в качестве новой переменной интегрирования в формуле (38):

$\begin{equation} \overline{N} = \overline{N} (b)=N_0 e^{-b^2 / 2 r_0^2}, \qquad d \overline{N} =-\frac{ \overline{N} }{r_0^2} b\,db. \end{equation} \tag{39}$

Теперь формула (38) принимает следующий вид:

$\begin{equation} p_N =\frac{2\pi r_0^2}{\sigma_\mathrm{pp} N!} \int_0^{N_0} e^{- \overline{N} } \overline{N} ^{N-1} \, d \overline{N} . \end{equation} \tag{40}$

Мы видим, что получившийся интеграл есть разность гамма-функции и неполной гамма-функции:

$\begin{equation} \int_0^{N_0} e^{-z} z^{N-1} \, dz=\int_0^{\infty} e^{-z} z^{N-1} \, dz -\int_{N_0}^\infty e^{-z} z^{N-1} \, dz =\Gamma(N)-\Gamma(N,N_0). \end{equation} \tag{41}$

При целых

$N$ это дает

$\begin{equation} \Gamma(N)=(N-1)!, \qquad \Gamma(N,N_0) =(N-1)!\, e^{-N_0} \sum_{l=0}^{N-1} \frac{N_0^l}{l!}. \end{equation} \tag{42}$

В результате мы получаем, что

$p_N={\sigma_N}/{\sigma_\mathrm{pp}}$ , где

$\begin{equation} \sigma_N\equiv \frac{2\pi r_0^2}{N}\biggl[1- e^{-N_0} \sum_{l=0}^{N-1} \frac{N_0^l}{l!} \biggr]. \end{equation} \tag{43}$

Прямым суммированием легко убедиться, что

$\begin{equation} \sum_{N=1}^{\infty} \sigma_N = 2\pi r_0^{2}\Phi_1(N_0)=\sigma_\mathrm{pp}, \end{equation} \tag{44}$

где мы использовали формулы (33) и (34). Напомним, что величина

$\sigma_\mathrm{pp}$ , определенная согласно (19), – это сечение недифракционного pp-взаимодействия, поэтому

$\sigma_N$ имеет смысл вклада в это сечение, возникающего от процесса с

$N$ рассечеными померонами.

Формула (43), полученная в рамках изложенного в этом разделе подхода, совпадает с хорошо известными результатами для $\sigma_N$ , полученными в рамках квазиэйконального реджевского подхода [24], [25]:

$\begin{equation} \sigma_N = \frac{4\pi\lambda}{CN} \biggl[1- e^{-z} \sum_{k=0}^{N-1} \frac{z^k}{k!} \biggr], \end{equation} \tag{45}$

где

$\begin{equation} z=\frac{2\gamma C}{\lambda} e^{\Delta\xi}, \qquad \lambda=R^2+\alpha'\xi, \qquad \xi=\ln \frac{s}{s_0}. \end{equation} \tag{46}$

Здесь

$s_0 \simeq 1$ ГэВ

$^2$ , а

$1+\Delta$ и

$\alpha'$ – интерсепт и наклон померонной траектории. Параметры

$\gamma$ и

$R$ описывают вершину присоединения померона к рассеивающимся адронам. Квазиэйкональный параметр

$C$ эффективно учитывает вклад в эту вершину дифракционных процессов.

Совпадение формул (43) и (45) позволяет фиксировать параметры $N_0$ и $r_0$ , используемые в нашем подходе, поскольку они однозначно выражаются через известные реджевские параметры:

$\begin{equation} N_0=z=\frac{2\gamma C}{\lambda} e^{\Delta\xi}, \qquad r_0=\sqrt{\frac{2\lambda}{C}}, \qquad \lambda=R^2+\alpha'\xi. \end{equation} \tag{47}$

В наших расчетах при моделировании распределения струн в плоскости прицельного параметра мы использовали следующие значения этих параметров:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \Delta= 0.2,\qquad \alpha'=0.05\,\, \text{ГэВ}^{-2}, \\ \gamma_\mathrm{pp}=1.035\,\, \text{ГэВ}^{-2},\qquad R_\mathrm{pp}^2=3.3\,\, \text{ГэВ}^{-2},\qquad C=1.5, \end{gathered} \end{equation} \tag{48}$

которые позволяют описать поведение недифракционного сечения pp-рассеяния при энергиях БАК [26], [27].

5. Формирование струнных кластеров

Для эффективного описания процессов слияния струн и образования струнных кластеров [9]–[11] в поперечной к оси столкновения плоскости мы вводили конечную решетку (сетку) с площадью ячейки порядка поперечного сечения струны. Этот метод был предложен в работе [28] и затем успешно использовался при дальнейших исследованиях этого явления в работах [29]–[31].

В этом подходе предполагается, что происходит слияние в единый струнный кластер всех струн с центрами, попадающими в одну ячейку сетки. При этом в соответствии с моделью слияния струн [32] предполагается следующая зависимость средней множественности заряженных частиц, образующихся от распада кластера, образованного слиянием $k$ струн, в быстротном интервале $\delta y$ :

$\begin{equation} \langle \mu \rangle_k=\mu^{(k)}_0 \delta y=\mu_0 \sqrt{k}\, \delta y, \end{equation} \tag{49}$

где

$\mu^{(k)}_0$ и

$\mu^{(1)}_0\equiv \mu_0$ – соответствующие множественности на единицу быстроты от распада кластера и одиночной струны.

Для расчета весовых коэффициентов $\alpha(k)$ (8), входящих в формулу (7), необходимо знать среднее число $\langle n\rangle_k$ частиц, рождающихся от всех кластеров, образованных слиянием ровно $k$ струн. С учетом (49) его можно представить следующим образом:

$\begin{equation} \langle n\rangle_k = \langle m_k\rangle \mu_0^{(k)} \delta y = \langle m_k\rangle \sqrt{k}\,\mu_0 \delta y, \end{equation} \tag{50}$

где

$\langle m_k\rangle$ – среднее число кластеров из

$k$ струн, образующихся в pp-взаимодействии при заданной энергии и центральности столкновения. Подставляя (50) в (8), находим для весовых коэффициентов

$\begin{equation} \alpha({k})= \frac{\langle m_k\rangle \sqrt{{k}}}{\sum_{k=1}^{\infty} \langle m_k\rangle \sqrt{k}}. \end{equation} \tag{51}$

Из формулы (51) мы видим, что для расчета весовых коэффициентов $\alpha(k)$ , входящих в формулу (7), необходимо знать только среднее число $\langle m_k\rangle$ кластеров из $k$ струн, образующихся в pp-взаимодействии при заданной энергии и центральности столкновения. К сожалению, эту часть вычислений пока не удается выполнить аналитически. Поэтому мы осуществили моделирование распределения струн в поперечной плоскости методом Монте-Карло (MK) в соответствии с алгоритмами, представленными в разделе 3. Мы также использовали аналитические результаты раздела 3 для контроля разработанных МК-кодов.

После генерации каждой струнной конфигурации, зная расположение всех центров первичных струн на сетке, мы подсчитали количество кластеров $m_k$ , образованных слиянием $k$ струн. Усредняя по конфигурациям, мы нашли $\langle m_k\rangle$ , а затем по формуле (51) нашли весовой коэффициент $\alpha(k)$ , входящий в формулу (7).

Для расчета сильноинтенсивных переменных $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ кластеров, образованных слиянием $k$ струн, также входящих в формулу (7) для $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ , мы использовали их выражения (10)–(12) через соответствующие корреляционные функции $\Lambda^{(k)}(\Delta y)$ . Ранее в работе [22] из анализа разультатов коллаборации ALICE [33] по величине корреляций вперед-назад в pp-столкновениях на БАК [21] было показано, что для корреляционной функции одиночной струны $\Lambda^{(1)}(\Delta y)$ с хорошей точностью можно использовать простое экспоненциальное приближение, которое мы будем использовать и для струнных кластеров:

$\begin{equation} \Lambda^{(k)}(\Delta y)=\Lambda_0^{(k)} e^{-|\Delta y|/y^{(k)}_\mathrm{corr}}, \end{equation} \tag{52}$

где

$\Delta y=y_1-y_2$ , а

$y^{(k)}_\mathrm{corr}$ – характерная длина корреляции по быстроте для частиц, рожденных данным струнным кластером.

Поскольку согласно (49) быстротная плотность заряженных частиц от распада струнного кластера считается пропорциональной $\sqrt{k}$ , а корреляции имеют место только между соседними сегментами струнного кластера, разумно предположить, что характеристическая корреляционная длина $y^{(k)}_\mathrm{corr}$ убывает с ростом $k$ как $1/\sqrt{k}$ . Некоторые дополнительные аргументы в пользу этого предположения были представлены в работе [22]. Поэтому мы предполагаем следующую зависимость параметров корреляционной функции струнного кластера от $k$ :

$\begin{equation} y^{(k)}_\mathrm{corr}=\frac{y^{(1)}_\mathrm{corr}}{\sqrt{k}}, \qquad \Lambda^{(k)}_0 = \mathrm{const}. \end{equation} \tag{53}$

Отметим, что варианту без учета слияния струн отвечает совсем другой вид этих зависимостей:

$\begin{equation*} \widetilde{\mu}_0^{(k)} = k \mu^{(1)}_0, \qquad \widetilde{y}_\mathrm{corr}^{(k)}= \mathrm{const}, \qquad \widetilde{\Lambda}_{0}^{(k)} = \frac{\Lambda^{(1)}_0}{k}. \end{equation*} \notag$

Формулы (49) и (53) позволяют вычислить параметры струнного кластера, образованного слиянием $k$ струн, исходя из трех параметров $\mu^{(1)} _0\equiv \mu_0$ , $\Lambda^{(1)}_0$ , $y^{(1)}_\mathrm{corr}$ , характеризующих одиночную струну (52). После этого по формулам (10)–(12) можно найти $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ , входящие в формулу (7) для $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ . При этом в силу простой зависимости (52) интегралы (11) и (12) вычисляются явно [34].

6. Сравнение с данными эксперимента

Значение параметра $\mu_0$ (среднее число заряженных частиц на единицу быстроты от распада одиночной струны) необходимо выбрать равным 0.7 для правильного описания экспериментальной множественности заряженных частиц в центральной области быстрот.

Для фиксации двух оставшихся свободных параметров модели $\Lambda^{(1)}_0$ и $y^{(1)}_\mathrm{corr}$ , характеризующих корреляционную функцию одиночной струны (52), нами была рассчитана зависимость переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ от расстояния по быстроте $\Delta y$ между окнами наблюдения малой ширины ( $\delta y=0.2$ ) для pp-столкновений без отбора по центральности при двух начальных энергиях 0.9 и 7 ТэВ. В MK-реализации алгоритма, описанного в разделе 4, это отвечает случайной генерации вектора прицельного параметра $\mathbf{b}$ для каждого события.

Сравнение результатов этих расчетов с предварительными экспериментальными данными коллаборации ALICE для $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ [19], полученными при анализе рождения заряженных частиц в мягкой области спектра с поперечными импульсами в диапазоне 0.3–1.5 ГэВ/ $c$ (см. две нижние кривые на рис. 1), дает следующие значения этих двух параметров:

$\begin{equation} y^{(1)}_\mathrm{corr}=2.7, \qquad \Lambda^{(1)}_0 = 0.8. \end{equation} \tag{54}$

После этого, уже с полностью фиксированными параметрами модели, мы провели аналогичные вычисления переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ для случая pp-столкновений без отбора по центральности при начальной энергии 13 ТэВ. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными ALICE [19], полученными при 13 ТэВ (верхняя кривая на рис. 1), показывает, что этот набор параметров также хорошо описывает зависимость наблюдаемой $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ от быстротного расстояния между центрами окон наблюдения $\Delta y$ и при начальной энергии 13 ТэВ.

Рис. 1.Сильноинтенсивная переменная $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ , рассчитанная в рамках модели с образованием струнных кластеров, как функция расстояния по быстроте между центрами окон наблюдения $\Delta y$ , для окон шириной $\delta y = 0.2$ , в pp-столкновениях при трех начальных энергиях 0.9, 7 и 13 ТэВ (соответственно нижняя, средняя и верхняя кривые). Экспериментальные значения коллаборации ALICE на БАК [19] при тех же энергиях – 0.9 ТэВ ( $\scriptstyle\blacksquare$ ), 7 ТэВ ( $\blacktriangle$ ) и 13 ТэВ ( $\bullet$ ).

При этом мы учли, что поскольку анализ этих данных при 13 ТэВ в эксперименте ALICE проводился для более широкого диапазона поперечных импульсов 0.2–2 ГэВ/ $c$ , который в настоящее время используется в коллаборации ALICE при анализе рождения заряженных частиц в мягкой области спектров, то из-за увеличения общего числа частиц, регистрируемых в этом более широком интервале поперечных импульсов, коэффициент $\mu_0$ должен быть увеличен согласно анализу работы [35] в 1.28 раза до значения $\mu_0=0.9$ .

Из рис. 1 мы видим, что характер зависимости переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ от расстояния по быстроте между окнами наблюдения $\Delta y$ в целом соответствует предсказываемому нашей моделью (см. конец раздела 3). Наблюдается рост величины $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ от значений порядка единицы при малых значениях $\Delta y$ с некоторой тенденцией к насыщению при больших значениях $\Delta y$ .

Что касается зависимости от начальной энергии, то сравнивая зависимости при энергиях 0.9, 7 и 13 ТэВ, представленные на рис. 1, мы видим, что в pp-столкновениях при энергиях БАК наблюдается рост наблюдаемой $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ с увеличением начальной энергии. В нашей модели этот рост объясняется возрастающим с энергией вкладом от образования струнных кластеров с новыми свойствами, состоящих из все большего числа слившихся струн. Отметим, что в модели с одним типом струн, без учета процессов их слияния и образования струнных кластеров, все три кривые на рис. 1 для разных начальных энергий оказались бы совпающими друг с другом.

7. Заключение

В рамках модели, учитывающей слияние кварк-глюонных струн и образование струнных кластеров, для случая pp-рассеяния при высоких энергиях рассчитана сильноинтенсивная переменная $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ , характеризующая корреляции между числами частиц $n_{\mathrm F}$ и $n_{\mathrm B}$ , образующихся в двух разнесенных по быстроте интервалах наблюдения. Использование этой переменной для изучения корреляций позволяет минимизировать вклад тривиальных “объемных” флуктуаций и дает возможность получить информацию о свойствах источников (струн и струнных кластеров), образующихся на начальной стадии сильного взаимодействия.

В частности, сравнение полученных теоретических зависимостей для переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ с предварительными экспериментальными данными [19] коллаборации ALICE на БАК при трех начальных энергиях рр-столкновений позволяет сделать однозначный вывод о наличии эффектов слияния струн и образования струнных кластеров при энергиях БАК уже в рр-взаимодействиях.

При этом, как и ожидалось, вклад струнных кластеров в переменную $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ растет с ростом начальной энергии. В работе [36] показано, что тот же эффект имеет место и при отборе событий с более центральными pp-столкновениями. Сравнение полученных теоретических зависимостей с экспериментальными данными позволяет также фиксировать параметры, характеризующие кластеры с различным числом слившихся струн.

Благодарности

Авторы благодарны организаторам VII международной конференции “Модели квантовой теории поля” (MQFT-2022).

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	A. Dumitru, F. Gelis, L. McLerran, R. Venugopalan, “Glasma flux tubes and the near side ridge phenomenon at RHIC”, Nucl. Phys. A, 810:1–4 (2008), 91–108
2.	A. B. Kaidalov, “The quark-gluon structure of the pomeron and the rise of inclusive spectra at high energies”, Phys. Lett. B, 116:6 (1982), 459–463
3.	A. Capella, U. Sukhatme, C.-I. Tan, J. T. Thanh Van, “Dual parton model”, Phys. Rep., 236:4–5 (1994), 225–329
4.	A. Casher, J. Kogut, L. Susskind, “Vacuum polarization and the absence of free quarks”, Phys. Rev. D, 10:2 (1974), 732–745
5.	A. Casher, H. Neuberger, S. Nussinov, “Chromoelectric-flux-tube model of particle production”, Phys. Rev. D, 20:1 (1979), 179–188
6.	M. Gyulassy, A. Iwazaki, “Quark and gluon pair production in $\mathrm{SU}(N)$ covariant constant fields”, Phys. Lett. B, 165:1–3 (1985), 157–161
7.	F. Bissey, A. I. Signal, D. B. Leinweber, “Comparison of gluon flux-tube distributions for quark-diquark and quark-antiquark hadrons”, Phys. Rev. D, 80:11 (2009), 114506, 6 pp.
8.	P. Cea, L. Cosmai, F. Cuteri, A. Papa, “Flux tubes in the QCD vacuum”, Phys. Rev. D, 95:11 (2017), 114511, 9 pp.
9.	T. S. Biro, H. B. Nielsen, J. Knoll, “Colour rope model for extreme relativistic heavy ion collisions”, Nucl. Phys. B, 245 (1984), 449–468
10.	A. Bialas, W. Czyz, “Chromoelectric flux tubes and the transverse-momentum distribution in high-energy nucleus-nucleus collisions”, Phys. Rev. D, 31:1 (1985), 198–200
11.	M. A. Braun, C. Pajares, “A probabilistic model of interacting strings”, Nucl. Phys. B, 390:2 (1993), 542–558
12.	C. Bierlich, G. Gustafson, L. Lönnblad, A. Tarasov, “Effects of overlapping strings in $pp$ collisions”, JHEP, 2015:3 (2015), 148, 49 pp.
13.	J. Adam, D. Adamova, M. M. Aggarwal et al. [ALICE Collab.], “Enhanced production of multi-strange hadrons in high-multiplicity proton-proton collisions”, Nature Phys., 13 (2017), 535–539
14.	V. N. Kovalenko, A. M. Puchkov, G. A. Feofilov, “Production of strange particles in a multi-pomeron exchange model”, Bull. Russ. Acad. Sci. Phys., 80:8 (2016), 966–969
15.	N. Armesto, D. A. Derkach, G. A. Feofilov, “ $p_t$ -multiplicity correlations in a multi-Pomeron-exchange model with string collective effects”, Phys. Atom. Nucl., 71:12 (2008), 2087–2095
16.	V. N. Kovalenko, G. A. Feofilov, A. M. Puchkov, F. Valiev, “Multipomeron model with collective effects for high-energy hadron collisions”, Universe, 8:4 (2022), 246, 25 pp.
17.	M. I. Gorenstein, M. Gaździcki, “Strongly intensive quantities”, Phys. Rev. C, 84:1 (2011), 014904, 5 pp.
18.	Е. В. Андронов, “Влияние механизма слияния кварк-глюонных струн на дальние быстротные корреляции и флуктуации”, ТМФ, 185:1 (2015), 28–36
19.	A. Erokhin [ALICE Collab.], “Forward-backward multiplicity correlations with strongly intensive observables in $pp$ collisions”, The VIth International Conference on the Initial Stages of High-Energy Nuclear Collisions (IS2021) (Weizmann Institute of Science, 10–15 January, 2021), Saint Petersburg State University, Laboratory of Ultra-High Energy Physics, St. Petersburg, 2021, Poster/187 https://indico.cern.ch/event/854124/contributions/4134683/
20.	С. Н. Белокурова, В. В. Вечернин, “Сильноинтенсивные переменные и дальние корреляции в модели с решеткой в поперечной плоскости”, ТМФ, 200:2 (2019), 195–214
21.	V. Vechernin, “Forward-backward correlations between multiplicities in windows separated in azimuth and rapidity”, Nucl. Phys. A, 939 (2015), 21–45
22.	V. Vechernin, “Short- and long-range rapidity correlations in the model with a lattice in transverse plane”, EPJ Web Conf., 191 (2018), 04011, 8 pp.
23.	V. Vechernin, I. Lakomov, “The dependence of the number of pomerons on the impact parameter and the long-range rapidity correlations in $pp$ collisions”, PoS (Baldin ISHEPP XXI), 2012, 072, 12 pp.
24.	K. A. Ter-Martirosyan, “On the particle multiplicity distributions at high energy”, Phys. Lett. B, 44B:4 (1973), 377–380
25.	A. A. Кайдалов, E. A. Тер-Мартиросян, “Множественное рождение адронов при высоких энергиях в модели кварк-глюонных струн. Сравнение с экспериментом”, ЯФ, 40:1(7) (1984), 211–220
26.	A. Capella, E. G. Ferreiro, “Charged multiplicities in $pp$ and $AA$ collisions at LHC”, Eur. Phys. J. C, 72 (2012), 1936, 6 pp.
27.	J. Bleibel, L. V. Bravina, E. E. Zabrodin, “How many of the scaling trends in $pp$ collisions will be violated at $\sqrt{{s}_{\mathrm{NN}}}=14$ TeV? Predictions from Monte Carlo quark-gluon string model”, Phys. Rev. D, 93:11 (2016), 114012, 13 pp.
28.	В. В. Вечернин, Р. С. Колеватов, “Дискретный подход к описанию дальных корреляций множественности и $p_t$ в модели слияния струн”, Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. Физика. Химия, 4 (2004), 11–27, arXiv: hep-ph/0305136
29.	M. A. Braun, R. S. Kolevatov, C. Pajares, V. V. Vechernin, “Correlations between multiplicities and average transverse momentum in the percolating color strings approach”, Eur. Phys. J. C, 32:4 (2004), 535–546
30.	M. A. Braun, C. Pajares, V. V. Vechernin, “Anisotropic flows from colour strings: Monte Carlo simulations”, Nucl. Phys. A, 906 (2013), 14–27
31.	M. A. Braun, C. Pajares, V. V. Vechernin, “Ridge from strings”, Eur. Phys. J. A, 51 (2015), 44, 11 pp., arXiv: 1407.4590
32.	M. A. Braun, C. Pajares, “Inplication of percolation of colour strings on multiplicities, correlations and the transverse momentum”, Eur. Phys. J. A, 16:2 (2000), 349–359, arXiv: hep-ph9907332
33.	J. Adam, D. Adamova, M. M. Aggarwal et al. [ALICE Collab.], “Forward-backward multiplicity correlations in pp collisions at $\sqrt{s}= 0.9$ , 2.76 and 7 TeV”, JHEP, 2015 (2015), 097, 28 pp., arXiv: 1502.00230
34.	S. Belokurova, “Study of strongly intense quantities and robust variances in multi-particle production at LHC energies”, Phys. Part. Nucl., 53:2 (2022), 154–158
35.	E. Andronov, V. Vechernin, “Strongly intensive observable between multiplicities in two acceptance windows in a string model”, Eur. Phys. J. A, 55 (2019), 14, 12 pp., arXiv: 1808.09770
36.	S. Belokurova, V. Vechernin, “Using a strongly intense observable to study the formation of quark-gluon string clusters in pp collisions at LHC energies”, Symmetry, 14:8 (2022), 1673, 11 pp.

Образец цитирования: В. В. Вечернин, С. Н. Белокурова, “Сильноинтенсивная переменная в модели высокоэнергетических pp-взаимодействий с образованием струнных кластеров”, ТМФ, 216:3 (2023), 460–475; Theoret. and Math. Phys., 216:3 (2023), 1299–1312

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{VecBel23}

\by В.~В.~Вечернин, С.~Н.~Белокурова

\paper Сильноинтенсивная переменная в модели высокоэнергетических

pp-взаимодействий с образованием струнных кластеров

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 216

\issue 3

\pages 460--475

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10461}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10461}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634826}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...216.1299V}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 216

\issue 3

\pages 1299--1312

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923090052}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85172475862}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10461

https://doi.org/10.4213/tmf10461

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v216/i3/p460

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

Svetlana Belokurova, Vladimir Vechernin, “Multiplicity Fluctuations in the String Model in pp Collisions at LHC Energies”, Phys. Atom. Nuclei, 87:S3 (2024), S471

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	166
PDF полного текста:	10
HTML русской версии:	69
Список литературы:	35
Первая страница:	7

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы