| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) О скалярной теории с четвертыми производными в четырех измерениях А. А. Цейтлинabc a Theoretical Physics Group, Blackett Laboratory, Imperial College London, United Kingdom b Институт теоретической и математической физики, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия c Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120139 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНесмотря на свою кажущуюся неунитарность, теория ϕ◻2ϕ для безразмерного скаляра ϕ в четырех измерениях привлекала внимание как в прошлом [1]–[3], так и в настоящее время (см., например, работы [4]–[14]). Если концентрировать свое внимание на свободной теории, то это не слишком проясняет проблему, поскольку интерпретация теории может зависеть от разрешенных взаимодействий и типов рассматриваемых наблюдаемых 1. В настоящей работе мы сосредоточимся на классически масштабно-инвариантной перенормируемой теории для вещественного скаляра размерности 0 с евклидовым действием Здесь g – безразмерная константа связи; мы полагаем g>0, чтобы евклидово действие было положительным 2. Хотя эта модель может выглядеть “неестественной”, подобные точно настроенные (низкоразмерные) модели появляются при описании кристаллической фазы мембран (см., например, работы [16]–[18]).Свободная энергия мембраны равна где Xa (a=1,…,N) – координаты вложения (d=2 и N=3 для стандартной мембраны), T – натяжение, λ, μ – константы упругости (коэффициенты Ламе) и κ – изгибная жесткость (коэффициент при взаимодействии со внешней кривизной). После перехода из упругой фазы в фазу кристаллической мембраны мы имеем T→0. Полагая Xa=(xn+un(x),hα(x)) и интегрируя по un, получаем эффективное действие для поперечных координат hα. В формальном пределе N=1, d=4 приведенный выше функционал энергии совпадает с евклидовым действием для модели (1.1).Скалярная модель (1.1) с производными четвертого порядка также возникает в контексте расширенной конформной супергравитации [19]–[22] как естественный партнер вейлевского гравитона (см. также [23], [24], [6]). Кроме того, она появляется как часть эффективного действия для интеграла от четырехмерной конформной аномалии [25], [26] (где ϕ интерпретируется как конформный фактор четырехмерной метрики). В связи с тем, что конформная супергравитация может интерпретироваться как индуцированное действие (точнее, как его логарифмически расходящаяся часть) в N=4 суперсимметричной теории Янга–Миллса, можно получить аналогичное скалярное действие, рассматривая теорию Максвелла в фоновом пространстве с комплексным локальным взаимодействием τ=C+ie−ϕ и искривленной метрикой. Если исходить из e−ϕFmnFmn+iCF∗mnFmn и проинтегрировать векторное поле, можно обнаружить, что результирующая логарифмическая УФ-расходимость пропорциональна SL(2,R)-ковариантному лагранжиану [27], [28]
L=14(Imτ)2[D2τD2ˉτ−2(Rmn−13Rgmn)∇mτ∇nˉτ]++148(Imτ)4(∇mτ∇mτ∇nˉτ∇nˉτ+2∇mτ∇mˉτ∇nτ∇nˉτ),D2τ≡∇2τ+iImτ∇mτ∇mτ,D2ˉτ≡∇2ˉτ−iImτ∇mˉτ∇mˉτ.
При C=0 или τ=ie−ϕ эта модель в плоском пространстве сводится к вещественной скалярной модели, подобной (1.1). Для решения проблемы определения наблюдаемых в теории (1.1) рассмотрим аналог безмассовых on-shell амплитуд рассеяния, чтобы понять, как ожидаемая неунитарность модели (1.1) отражается в S-матрице. Особенность теории “дипольного духа” с кинетическим членом ϕ◻2ϕ (где ◻≡∂m∂m=−∂20+∂2i) заключается в том, что она не является гладким пределом модели “массивного духа” ϕ(◻2+μ◻)ϕ. Последнюю можно рассматривать как описывающую “диагональную” комбинацию стандартной модели со второй производной для безмассового скаляра и модели массивного скаляра типа духа, таким образом, эта комбинированная модель явно не является унитарной (если не прибегать к каким-то специальным предположениям, ср. с работой [29]). Действительно, введя вспомогательное поле ψ так, что ϕ◻2ϕ→2ψ◻ϕ−ψ2, можно определить эквивалентную модель 2ψ◻ϕ−ψ2+μϕ◻ϕ, которая диагонализуется в терминах φ=ϕ+μ−1ψ и ψ как μφ◻φ−μ−1ψ(◻+μ)ψ. Эта диагонализация становится сингулярной в пределе μ→0, что является проявлением того факта, что модель ϕ◻2ϕ или 2ψ◻ϕ−ψ2 описывает “неразложимую” систему (см. работу [2]). Интересно отметить, что эта недиагонализуемость снимается, если начать с вейль-инвариантного аналога оператора ◻2 в искривленном пространстве (см. уравнение (1.2)) [20], [21]: В случае фонового пространства Эйнштейна с Rmn=14Rgmn (например, для четырехмерной сферы или пространства AdS4) это выражение сводится к ϕ(∇2−16R)∇2ϕ. Такой оператор можно диагонализовать, как указано выше, представив его как комбинацию физического безмассового скаляра ∇2 и конформного духового скаляра −∇2+16R за счет введения множителей R−1, сингулярных в пределе плоского пространства.Если вернуться к случаю плоского пространства, семейство решений уравнения ◻2ϕ=0 содержит помимо “безмассовых” осциллирующих решений уравнения ◻ϕ=0 (или решений ϕ(x)∼˜ϕ(p)eip⋅x, p2=0) также “возрастающие” решения ϕ(x)∼Nn(p)xneip⋅x (см. также работу [23]). Пространство соответствующих состояний не может быть диагонализовано 3, при этом представляется логичным определить амплитуды рассеяния только с осциллирующими модами, возникающими на внешних линиях. Аналоги амплитуд рассеяния возрастающих мод корректно не определены [6]: они расходятся в ИК-пределе и не сохраняют импульс (что напоминает рассеяние во внешнем поле). Поэтому мы сосредоточимся на амплитудах рассеяния для подкласса решений уравнения ◻2ϕ=0, для которых ◻ϕ=0, как определяющих асимптотические состояния. Поскольку внутренние пропагаторы ◻−2∼lnx2 не убывают на больших расстояниях, вопрос о том, являются ли результирующие амплитуды корректно определенными (конечными в ИК-диапазоне), решающим образом зависит от типа рассматриваемых взаимодействий. Это аналогично тому, что происходит в двумерной безмассовой теории. В ней также ◻−1∼lnx2, что приводит к известному утверждению о том, что безмассовая S-матрица в двух измерениях не существует. На самом деле это применимо только к локальным взаимодействиям без производных, в то время как S-матрица в теории типа ϕ◻ϕ+V(∂ϕ) (которая инвариантна относительно симметрии сдвига ϕ→ϕ+c и, следовательно, имеет только корреляторы ⟨∂mϕ∂nϕ⟩, затухающие на больших расстояниях) корректно определена в ИК-пределе. Примером является действие Намбу в статической калибровке (в евклидовой сигнатуре), см. [30]: Это же применимо к теории ◻2 (1.1) в четырех измерениях.Полезно сравнить перенормируемую модель (1.1) с аналогичной четырехмерной моделью со стандартным кинетическим членом, которая требует контрчленов более высокого порядка, но может рассматриваться как эффективная теория поля (см., например, [31], [32]). Здесь четырехмерное поле ϕ имеет размерность 1, а M – масштаб массы (константа g безразмерна). Эта теория унитарна в рамках низкоэнергетической теории возмущений (т. е. в предположении, что s=E2<M2). Из этого, в частности, следует справедливость обобщенной оптической теоремы: мнимая часть однопетлевой амплитуды четырехчастичного рассеяния связана с (проинтегрированным по фазовому пространству) квадратом амплитуды на древесном уровне, который задается выражением A(tree)4∼ˉg(s2+t2+u2).Безмассовая амплитуда на древесном уровне в теории (1.1) (построенная по стандартным правилам [33], т. е. путем вычисления классического действия на решении уравнений движения для модели (1.1) с ϕ=ϕin+O(g), ◻ϕin=0) будет задаваться тем же выражением, что и в модели (1.3) с заменой ˉg на g, а именно Atree4∼g(s2+t2+u2). Однако в выражении для однопетлевой амплитуды используются не стандартные 1/q2-пропагаторы, а внутренние 1/q4-пропагаторы. Как мы увидим ниже, мнимая часть получающегося выражения будет пропорциональна первой, а не второй степени древесной амплитуды, что противоречит обобщенной оптической теореме. Это, конечно, неудивительно, если учесть, что, ограничивая внешние состояния только безмассовыми, мы получаем состояния, которые не распространяются по внутренним линиям: 1/q4-пропагатор эффективно описывает неприводимую смесь безмассовых и “возрастающих” мод. Такой подход можно противопоставить теории ϕ(◻2+μ◻)ϕ+⋯ с массивными духами, где пропагатор имеет вид Учитывая здесь только амплитуды безмассовых мод, мы будем иметь как безмассовые, так и массивные духовые состояния, распространяющиеся по внутренним линиям, поэтому разрезание внутренних линий свяжет мнимую часть однопетлевой амплитуды с древесными амплитудами как безмассовых, так и массивных состояний (с нарушением унитарности, вызванным отрицательными нормами духовых состояний).Можно все еще задаться вопросом: существует ли возможное обобщение понятия унитарности, которое применимо в этом случае? Например, можно попытаться модифицировать, во-первых, правило суммирования промежуточных состояний по фазовому пространству или, во-вторых, продолжение однопетлевой диаграммы на сигнатуру Минковского либо iϵ-предписание для вычисления ее мнимой части. В настоящей работе мы не сможем ответить на поставленный вопрос, ограничив свою задачу простым вычислением амплитуды однопетлевого безмассового рассеяния в теории (1.1) и обсуждением нарушения стандартного варианта оптической теоремы. В качестве еще одного свидетельства о различии теорий (1.1) и (1.3) напомним аргумент из работы [32] (см. также [34]), касающийся связи условия положительности константы ˉg в (1.3) с условием, что распространение (с досветовой скоростью) малых возмущений в классическом фоне ϕ0=umxm, um=const, подчиняется принципу причинности. Записав разложение ϕ=ϕ0+˜ϕ, мы видим, что L2 в (1.3) принимает вид (в сигнатуре Минковского) В импульсном пространстве (∂m→ipm) соответствующее дисперсионное соотношение записывается как Предположим, что в теории возмущений 1−2ˉgu2>0. Тогда для распространения с досветовой скоростью (т. е. для p20=v2→p2 с v2<1 или p2≡−p20+→p2=(1−v2)→p2⩾) должно выполняться условие \bar g>0. Те же рассуждения, повторенные для L_4 в (1.1), дают вместо K_{mn} из (1.4) и (1.5)
\begin{equation}
K_{mn}=\eta_{mn}(\square-2gu^2)-4gu_mu_n,\qquad p^2 (p^2+2gu^2)+4g(u^mp_n)^2=0.
\end{equation}
\tag{1.6}
Здесь при условии g>0 (необходимом для положительности евклидова действия в модели (1.1)) досветовое решение с p^2>0 может существовать только в том случае, когда u времениподобен (u^2<0). Это предполагает нарушение причинности (и соответствующих свойств аналитичности S-матрицы) в теории (1.1). Далее в разделе 2 мы сначала определяем однопетлевое эффективное действие, а затем вычисляем соответствующую бета-функцию в теории (1.1) и ее обобщении с несколькими скалярными полями. В п. 3.1 мы вводим и обосновываем определение безмассовой S-матрицы, начав с действия со второй производной, эквивалентного (1.1), а затем в п. 3.2 находим явное выражение для однопетлевой амплитуды рассеяния. В п. 3.3 мы рассматриваем обобщенную оптическую теорему, объясняя, почему она справедлива в стандартной теории \phi^4, а также в унитарной модели (1.3), но неверна в ее перенормируемом аналоге (1.1). Некоторые заключительные замечания приведены в разделе 4. 2. Однопетлевое эффективное действие и бета-функцияИсходя из действия (1.1) мы вычисляем однопетлевое эффективное действие для общего фона. Затем мы определяем ренормировку константы связи g, а также находим однопетлевые амплитуды рассеяния. Полагая \phi=\varphi+\tilde\phi, где \varphi – классический фон, и разлагая до второго порядка по \tilde\phi, получаем (здесь мы рассматриваем евклидову сигнатуру)
\begin{equation}
L_4=\partial^2\tilde\phi\,\partial^2\tilde\phi-V^{mn}(\varphi)\partial_m\tilde\phi\,\partial_n\tilde\phi+O(\tilde\phi^3),
\end{equation}
\tag{2.1}
\begin{equation}
V_{mn} (\varphi)=-2g(\delta_{mn}\,\partial^k\varphi\,\partial_k\varphi+2\partial_m\varphi\,\partial_n\varphi).
\end{equation}
\tag{2.2}
Тогда однопетлевое эффективное действие принимает вид
\begin{equation}
\Gamma_1=\frac{1}{2}\ln\det\bigl[\partial^4+\partial_m\bigl(V_{mn}(\varphi)\partial_n\bigr)\bigr].
\end{equation}
\tag{2.3}
Если игнорировать квадратичные расходимости, пропорциональные V_m^m, логарифмические расходимости задаются как [35] (при \Lambda\to\infty)
\begin{equation}
(\Gamma_1)_\infty=-\frac{1}{(4\pi)^2}\ln\frac{\Lambda}{\mu}\int d^4 x\,b_4,\qquad b_4=\frac{1}{24}V_{mn}V_{mn}+\frac{1}{48}(V^m_m)^2.
\end{equation}
\tag{2.4}
Из (2.2) получаем Эта расходимость поглощается ренормировкой константы связи
\begin{equation*}
g_b^{}(\Lambda)-\frac{1}{(4\pi)^2}5g_b^2\ln\frac{\Lambda}{\mu}=g(\mu).
\end{equation*}
\notag
В результате получается ренормгрупповое уравнение для ренормированной константы связи 4 Следовательно, g стремится к 0 в ИК-пределе (при \mu\to 0) и возрастает в УФ-пределе. Таким образом, теория (1.1) с g>0 (т е. с положительным евклидовым действием) аналогична стандартной модели \phi^4, при этом она не является асимптотически свободной и, следовательно, не определена на коротких масштабах вне полюса Ландау. Эти рассуждения несложно обобщить на аналог модели (1.1) с несколькими скалярными полями \phi^a, a=1,\ldots,N. Для N>1 существует два независимых инварианта с четвертыми производными, т. е. (1.1) обобщается как
\begin{equation}
L=\partial^2\phi^a\partial^2\phi^a+g_1 (\partial^n\phi^a\partial_n\phi^a)^2+g_2 (\partial^n\phi^a\partial^m\phi^a)(\partial_ n\phi^b\partial_m\phi^b).
\end{equation}
\tag{2.7}
При N=1 модель сводится к (1.1) с g=g_1+g_2. Положив \phi_a=\varphi_a+\tilde\phi_a, как в (2.1), получаем, что действие, содержащее четвертые производные (которое обобщает (2.1), (2.2)), записывается в виде
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L=\partial^2\tilde\phi_a\,\partial^2\tilde\phi_a-V^{ab}_{mn}(\varphi)\partial_m\tilde\phi_a\,\partial_n\tilde\phi_b+O(\tilde\phi^3), \\ \begin{aligned} \, V^{ab}_{mn}&=-\kern2pt 2g_1(\delta_{ab}\delta_{mn}\,\partial^k\varphi_c\,\partial_k\varphi_c+2\partial_m\varphi_{(a}\partial_n\varphi_{b)})-{} \\ &\quad\, -2g_2(\delta_{ab}\,\partial_m\varphi_c\,\partial_n\varphi_c+\delta_{mn}\,\partial^k\varphi_a\,\partial_k\varphi_b+ \partial_m\varphi_{(b}\,\partial_n\varphi_{a)}). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.8}
В частности,
\begin{equation*}
(V^{ab})^m_m=-2g_1(4\delta_{ab}\,\partial^m\varphi_c\,\partial_m\varphi_c+2\partial^m\varphi_a\,\partial_m\varphi_b)- 2g_2(\delta_{ab}\,\partial^m\varphi_c\,\partial_m\varphi_c+5\partial^m\varphi_a\,\partial_m\varphi_b).
\end{equation*}
\notag
Коэффициент при логарифмической расходимости в (2.4) в общем случае имеет вид
\begin{equation}
b_4=\frac{1}{24}V^{ab}_{mn}V^{ab}_{mn}+\frac{1}{48}(V^{ab})^m_m(V^{ab})^n_n.
\end{equation}
\tag{2.9}
В результате находим бета-функцию для g_1 и g_2:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{dg_1}{dt}&=\frac{1}{(4\pi)^2}\biggl[2\biggl(N+\frac{7}{6}\biggr)g_1^2+\biggl(N+\frac{17}{3}\biggr)g_1g_2+\frac{1}{12}(N+15)g_2^2\biggr], \\ \frac{dg_2}{dt}&=\frac{1}{(4\pi)^2}\biggl[\frac{2}{3}g_1^2+\frac{10}{3}g_1g_2+\frac{1}{6}(N+21)g_2^2\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
Это выражение согласуется с полученным в работе [17], если положить d=N, D=4 и g_1=4v-u, g_2=4u, где u и v – две константы связи из работы [17] (а также учесть нормировочный множитель 1/2 у квадратичного члена в [17]). Перенормировка подобных мембранных моделей в случае учета петель более высокого порядка обсуждалась в работе [18]. При N=1 уравнения (2.10) приводят к (2.6) для g=g_1+g_2. Бета-функции в (2.10) не имеют нулей, если g_1 и g_2 положительны, и в общем случае не имеют общих нулей, так что и g_1, и g_2 не являются асимптотически свободными, т. е. стремятся к сингулярности типа полюса Ландау в УФ-пределе. Возможно, было бы интересным рассмотреть суперсимметричное обобщение модели (2.7) (см. [22]), чтобы понять, могут ли в этом случае соответствующие ренормгрупповые уравнения иметь нетривиальные решения с неподвижной точкой. 3. Амплитуды рассеянияТеперь рассмотрим теорию (1.1) в пространстве Минковского и дадим ответ на вопрос, как вычислить соответствующие амплитуды рассеяния. Одна из возможных стратегий – найти эффективное действие и затем вычислить его на классическом решении с подходящим асимптотическим (или при g\to 0) поведением. Как отмечалось во введении, хотя уравнение \square^2\phi=0 допускает и осциллирующие, и возрастающие решения, в качестве асимптотических можно использовать только первые, так как в противном случае аналоги амплитуд рассеяния будут ИК-расходящимися [6]. Ограничение внешних состояний только осциллирующими модами естественным образом вытекает из того, что (1.1) формулируется как модель со второй производной, с обсуждения которой мы и начнем. 3.1. Формулировка модели со второй производнойНачнем с лагранжиана
\begin{equation}
L(\phi,\psi)=2\psi\,\partial^2\phi-\psi^2+g(\partial^m\phi\,\partial_m\phi)^2,
\end{equation}
\tag{3.1}
из которого после интегрирования по двумерному полю \psi следует модель \square^2 (1.1). Теории (1.1) и (3.1) эквивалентны до тех пор, пока мы не вводим источники для \psi, т. е. рассматриваем только наблюдаемые, построенные из скаляра \phi нулевой размерности. Следовательно, найденная из (3.1) S-матрица, ограниченная на \phi-сектор, должна быть такой же, как матрица, найденная из (1.1). Модель (3.1) – это частный случай модели для \Phi_\alpha=(\psi,\phi) с лагранжианом
\begin{equation}
L=h_{\alpha\beta}\Phi_\alpha \kern2.3pt\square \Phi_\beta+m_{\alpha\beta}\Phi_\alpha\Phi_\beta+V(\partial\Phi),
\end{equation}
\tag{3.2}
где постоянная матрица h_{\alpha\beta} не является положительно определенной (имеет сигнатуру (1,-1)) и матрица m_{\alpha\beta} вырожденна, как результат, кинетический оператор h_{\alpha\beta}\square+m_{\alpha\beta} недиагонализуем. Добавим к (3.1) дополнительный член \mu\phi \kern2.3pt\square \phi (тогда интегрирование по \psi дает \phi \kern2.3pt\square ^2\phi+\mu\phi \kern2.3pt\square \phi), получим модель, в которой можно диагонализовать кинетический оператор как
\begin{equation}
2\psi \kern2.3pt\square \phi-\psi^2+\mu\phi \kern2.3pt\square \phi+V(\partial\phi)= \mu\varphi \kern2.3pt\square \varphi-\mu^{-1}\psi \kern2.3pt\square \psi-\psi^2+V(\partial\varphi-\mu^{-1}\partial\psi),
\end{equation}
\tag{3.3}
где \varphi=\phi+\mu^{-1}\psi. Таким образом, данная модель описывает диагональную комбинацию физического безмассового скаляра и массивного духа, смешанных в потенциале взаимодействия. Сосредоточение внимания только на безмассовом секторе S-матрицы в данном случае не является оправданным априори. Однако “недиагональную” модель (3.1) не следует рассматривать как предел при \mu\to 0 “диагональной” модели (3.3) поскольку этот предел сингулярен. Можно перемасшабировать поля \varphi и \psi, введя множители \mu^{-1/2} и \mu^{1/2} соответственно, тогда получим
\begin{equation*}
L'=\varphi'\square\varphi'-\psi'\square\psi'-\mu^2\psi'^2+g\mu^{-2}[\partial (\varphi'-\psi')]^4
\end{equation*}
\notag
и далее возьмем предел \mu\to 0 и g\to 0 при условии, что g'=g\mu^{-2} фиксированно 5. Однако эту теорию нельзя рассматривать как гладкий предел исходной теории (\square\phi)^2+g(\partial\phi)^4, в которой g было отлично от нуля. Действительно, полагая \mu=0, получаем
\begin{equation*}
L'=\varphi' \kern2.3pt\square \varphi'-\psi'\square\psi'+g'[\partial(\varphi'-\psi')]^4=u \kern2.3pt\square v+g'(\partial u)^4,\qquad u=\varphi'-\psi',\quad v=\varphi'+\psi'.
\end{equation*}
\notag
Эту же модель можно найти непосредственно из (3.1), взяв предел \mu\to 0 после масштабирования \phi=\mu^{-1/2}\phi', \psi=\mu^{1/2} \psi', g=\mu^2g', что приводит к исчезновению члена \psi^2: мы получаем L'=2\psi'\,\partial^2\phi'+g'(\partial\phi')^2. Введя члены с источниками j_{\phi'}\psi'+j_{\psi'}\phi' и заметив, что интегрирование по \psi' дает дельта-функцию от 2\partial^2\phi'-j_{\phi'}, находим, что производящая функция содержит только член взаимодействия четвертой степени, т. е. все квантовые поправки в этой теории исчезают. Это является отражением того факта, что в исходной теории в этом пределе g\to 0. Таким образом, неунитарность модели “дипольного духа” следует анализировать отдельно 6. Рассмотрим, какие асимптотические состояния являются естественными для модели (3.1). Уравнения движения, вытекающие из (3.1), имеют вид
\begin{equation}
\square\phi-\psi=0,\qquad \square\psi-2g\,\partial^m\bigl(\partial_m\phi(\partial\phi)^2\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.4}
Чтобы вычислить, например, S-матрицу на древесном уровне, мы можем решить классические уравнения движения с некоторым “внутренним” (in) граничным условием, вычислить действие на этом решении и разложить по степеням in-поля. Начнем с решения для свободной теории с ненулевой функцией
\begin{equation*}
\psi_0=\psi_{\text{in}}=\int d^4 p\,\delta(p^2)\tilde\psi_{{\text{in}}}(p)e^{ip\cdot x},\qquad \square\psi_{\text{in}}=0,
\end{equation*}
\notag
тогда для \phi получим следующие уравнения:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \phi_0=\int d^4 p\,\delta(p^2)N_n (p)x^ne^{ip\cdot x},\qquad \partial_n\phi_0=\int d^4 p\,\delta(p^2)[N_n(p)+ip_nN_m(p)x^m]e^{ip\cdot x}, \\ \square\phi_0=2i\int d^4 p\,\delta(p^2)N^n (p)p_ne^{ip\cdot x}=\psi_{\text{in}},\qquad\square^2\phi_0=0, \\ 2iN^n(p)p_n\equiv\tilde\psi_{{\text{in}}}(p)\neq 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
Поскольку \partial_n\phi_0 содержит возрастающую часть, результирующая древесная амплитуда рассеяния с \psi_{\text{in}}-ветвями, определяющаяся из действия g\int d^4x\,(\partial\phi_0)^4 (см. (3.1)), не будет корректно определена (в частности, не выполняется обычный закон сохранения импульса [6], как при рассеянии в некотором фоне, не являющемся трансляционно-инвариантным). Таким образом, следует предположить, что \psi не должно содержать нетривиальную часть, отвечающую свободной теории, т. е. что асимптотическая конфигурация поля должна быть чисто осциллирующим решением для \phi:
\begin{equation}
\psi_0=0,\qquad\phi_0=\phi_{\text{in}},\qquad \square\phi_{\text{in}}=0,\qquad\phi_{\text{in}}(x)=\int d^4 p\,\delta(p^2)\tilde\phi_{\text{in}}(p)e^{ip x}.
\end{equation}
\tag{3.6}
Тогда решение для (3.4) имеет вид
\begin{equation}
\phi=\phi_{\text{in}}-\square^{-1}\psi,\qquad \psi=2g \kern2.3pt\square ^{-1}\partial_m\bigl(\partial_m\phi_{\text{in}}(\partial\phi_{\text{in}})^2\bigr)+O((\partial\phi_{\text{in}})^5).
\end{equation}
\tag{3.7}
Подставив его обратно в (3.1), выводим результат
\begin{equation}
L=g(\partial\phi_{\text{in}})^4+O((\partial\phi_{\text{in}})^6),
\end{equation}
\tag{3.8}
который, разумеется, совпадает с тем, что мы получаем, начав непосредственно с теории \square^2 (1.1) с осциллирующей модой (\square\phi_{\text{in}}=0) как асимптотическим состоянием. Соответствующая амплитуда четырехчастичного рассеяния для безмассовых частиц совпадает с амплитудой в теории \phi \kern2.3pt\square \phi (1.3):
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A^{\text{tree}}_4\sim g(s^2+t^2+u^2), \\ s=-(p_1+p_2)^2,\quad t=-(p_1+p_4)^2, \quad u=-(p_1+p_3)^2,\qquad p_i^2=0,\quad \sum_ip_i=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
Поскольку “смешанные” (\phi,\psi)-амплитуды также ИК-сингулярны, можно надеяться, что “ограниченная” безмассовая S-матрица (только в секторе осциллирующего \phi), построенная из (3.1) по стандартным правилам, может быть каким-то образом не противоречащей самой себе. Заметим, что в исходной формулировке модели (1.1) с четвертой производной это, в частности, означает, что внешние \square^{-2}-пропагаторы должны быть обрезаны. Определим S-матрицу на древесном уровне как классическое действие, вычисляемое на классическом решении с асимптотическими in-условиями [33], и положим
\begin{equation*}
\square^k\phi+V'(\phi)=j=\square^k\phi_{\text{in}},\qquad \phi=\phi_{\text{in}}+\square^{-k} V'(p_{\text{in}})+\cdots{}
\end{equation*}
\notag
(где k=1 или k=2), а затем подставим эти выражения в действие. Это дает только результат \sim V(\phi_{\text{in}}), поэтому обрезание внешних ветвей осуществляется автоматически, если источником является само поле \phi. 3.2. Однопетлевая амплитуда рассеянияПроцедура определения безмассовой S-матрицы в секторе \phi может быть продолжена на уровень петель. Для иллюстрации того, что петлевые амплитуды рассеяния безмассовых \phi-частиц в теории (1.1) с производными от взаимодействия не имеют ИК-расходимостей при малых виртуальных импульсах (несмотря на то, что мы имеем внутренние 1/q^4-пропагаторы), найдем в явном виде однопетлевую амплитуду четырехточечного рассеяния. Однопетлевую амплитуду можно найти из (2.3) путем разложения до четвертого порядка в фоновом поле \varphi=\varphi_{\text{in}} с \square\varphi_{\text{in}}=0, так что внешние импульсы удовлетворяют условию p^2_i=0, т. е.
\begin{equation}
\Gamma_1\to\int d^4x\int\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}\ldots \frac{d^4p_4}{(2\pi)^4}\,e^{i x\cdot\sum_ip_i}A_4(p_1,\ldots,p_4)\tilde\varphi_{\text{in}}(p_1)\ldots\tilde\varphi_{\text{in}}(p_4).
\end{equation}
\tag{3.10}
Разлагая \Gamma_1 из (2.3) до соответствующего порядка V^2, получаем 7
\begin{equation}
\Gamma^{(4)}_1=-\frac{1}{4}\operatorname{Tr}[\square^{-2}\partial_m (V^{mn}\,\partial_n) \kern2.3pt\square ^{-2}\partial_k(V^{kr}\,\partial_r)],
\end{equation}
\tag{3.11}
что дает
\begin{equation}
A_4\sim\mathcal V^{mn}(p_1,p_2)\mathcal V^{kr}(p_3,p_4) \int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\frac{(p+q)_mq_n(p+q)_kq_r}{(p+q)^4q^4}(2\pi)^4\,\delta^{(4)}\!\biggl(\sum_ip_i\biggr),
\end{equation}
\tag{3.12}
где p\equiv p_1+p_2=-(p_3+p_4) и \mathcal V_{mn} задана выражением (2.2) с отброшенными множителями \varphi_{\text{in}}, т. е.
\begin{equation}
\mathcal V_{mn}^{}(p_1^{},p_2^{})\to 2g(\delta_{mn}^{}\,p_1^{}\cdot p_2^{}+p_{1m}^{}p_{2n}^{}+p_{2n}^{}p_{1m}^{}),\qquad p^2_1=p^2_2=0.
\end{equation}
\tag{3.13}
Следовательно, интеграл в (3.11) ИК-конечен и содержит такую же логарифмическую УФ-расходимость, как в (2.4). Заметим, что при больших q мы получаем
\begin{equation*}
\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\frac{1}{(q+p)^4q^4}q_iq_jq_kq_r\to (\delta_{ij}\delta_{kr}+\delta_{ij}\delta_{kr}+\delta_{ij}\delta_{kr})\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\frac{1}{q^4}+\cdots{},
\end{equation*}
\notag
и это приводит к УФ-расходимости, пропорциональной 2V^{mn}V_{mn}+(V_{k}^{k})^2 аналогично (2.9). Перенормировав g в сумме древесной (3.9) и однопетлевой (3.11) амплитуд, мы видим, что последняя будет иметь следующую структуру:
\begin{equation}
A_4\sim g^2\biggl[(s^2+t^2+u^2)\ln\biggl(-\frac{s}{\mu^2}\biggr)+s^2F\biggl(\frac{s}{t}\biggr)\biggr],
\end{equation}
\tag{3.14}
где \mu – масштаб перенормировки. Поскольку классическая теория (1.1) масштабно-инвариантна (константа g безразмерная), однопетлевая амплитуда масштабируется как s^2 подобно древесной амплитуде в (3.9). Наша цель – найти амплитуду (3.14) в явном виде и затем посмотреть, как она свидетельствует о нарушении пертурбативной унитарности в этой теории. Из (3.13) получаем (учитывая p^2_1=p^2_2=0 и игнорируя множитель 2g)
\begin{equation}
\mathcal V^{mn}(p_1,p_2)(p_1+p_2+q)_mq_n\;\to\; 2(p_1\cdot q)(p_2\cdot q)+(p_1\cdot p_2)(p_1+p_2+q)^2-2(p_1\cdot p_2)^2.
\end{equation}
\tag{3.15}
Используя соотношения (3.12), (3.15) и обозначение
\begin{equation}
p=p_1+p_2=-p_3-p_4,\qquad p^2=2p_1\cdot p_2=2p_3\cdot p_4,
\end{equation}
\tag{3.16}
получаем следующее выражение для зависящего от импульса множителя X_4 в амплитуде A_4\sim g^2X_4:
\begin{equation}
X_4=\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\frac{K(p_1,p_2,q)K(p_3,p_4,q)}{(p+q)^4q^4},
\end{equation}
\tag{3.17}
\begin{equation}
K(p_1,p_2,q)\equiv 2(p_1\cdot q)(p_2\cdot q)+\frac{1}{2}p^2(p+q)^2-\frac{1}{2}p^4.
\end{equation}
\tag{3.18}
Интеграл в (3.17) в евклидовой сигнатуре вычисляется напрямую с использованием размерной регуляризации. Сокращая импульсы в (3.17), находим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_4&=4(p_1\cdot p_2)^4I(2,2)-4(p_1\cdot p_2)^3I(1,2)+(p_1\cdot p_2)^2I(0,2)-{} \nonumber\\ &\quad-8(p_1^{}\cdot p_2^{})^2p_1^kp_2^lI_{kl}^{}(2,2)+4(p_1^{}\cdot p_2^{})p_1^kp_2^lI_{kl}^{}(1,2) +4p^i_1p^j_2p^k_3p^l_4I_{ijkl}(2,2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
Интегралы I(n,m), I_{kl}(n,m), I_{ijkl}(n,m) приведены в приложении. Используя равенства
\begin{equation*}
p_1\cdot p=p_1\cdot p_2=-\frac{1}{2}s,\qquad p^2=2p_1\cdot p_2=-s,\qquad t=-2p_1\cdot p_4,\qquad u=-2p_1\cdot p_3,
\end{equation*}
\notag
получаем
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-8(p_1^{}\cdot p_2^{})^2p_1^kp_2^lI_{kl}^{}(2,2)+4(p_1^{}\cdot p_2^{})p_1^kp_2^lI_{kl}^{}(1,2)= \\ &\kern32pt=-\frac{1}{2} s^4[A_1(2,2)+A_2(2,2)]I(2,2)-\frac{1}{2}s^3[A_1(1,2)+A_2(1,2)\big]I(1,2), \\ &4p^i_1p^j_2p^k_3p^l_4I_{ijkl}^{}(2,2)= \\ &\kern32pt=\frac{1}{4}[s^4B_1(2,2)+4s^4B_2(2,2)+s^2(s^2+t^2+u^2)B_3(2,2)]I(2,2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
где A_k (n,m) и B_k(n,m) также приведены в приложении. Тогда выражение (3.19) принимает вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_4&=\frac{1}{4}s^4I(2,2)+\frac{1}{2}s^3I(1,2)+\frac{1}{4}s^2I(0,2)-{} \nonumber\\ &\quad -\frac{1}{2}s^4[A_1(2,2)+A_2(2,2)]I(2,2)-\frac{1}{2}s^3[A_1(1,2)+A_2(1,2)]I(1,2)+{} \nonumber\\ &\quad +\frac{1}{4}[s^4B_1(2,2)+4s^4B_2(2,2)+s^2(s^2+t^2+u^2)B_3(2,2)]I(2,2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
Вычисление предела w-2\equiv(d-4)/2\to 0 дает амплитуду в s-канале:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_4=-\frac{1}{96(2\pi)^2}\biggl[(13s^2+t^2+u^2)\biggl(\frac{1}{w-2}+\ln(-s)&{}+\gamma_{\mathrm E}-\ln(4\pi)\biggr)-{} \nonumber\\ &-\frac{1}{3}(32s^2+5t^2+5u^2)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.22}
Выражение 4(t^3+u^3)/s с использованием равенств t+u=-s можно переписать как -4(t^2-t u+u^2). Полезно напомнить, что для дигамма-функции \psi_0(z)=\operatorname{PolyGamma}[0,z] мы имеем
\begin{equation*}
\psi_0\biggl(n+\frac{1}{2}\biggr)=-\gamma_{\mathrm E}-2\ln 2+\sum^n_{k=1}\frac{1}{2k-1}.
\end{equation*}
\notag
Далее, симметризуя по s, t, u, получаем полную однопетлевую амплитуду
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \!A_4\sim g^2 X_4^{\text{sym}}= -\frac{g^2}{96(2\pi)^2}\biggl[&15 (s^2+t^2+u^2)\biggl(\frac{1}{w-2}+\ln(-s)+\gamma_{\mathrm E}-\ln(4\pi)-\frac{14}{15}\biggr)+{} \nonumber\\ &+(13t^2+u^2+s^2)\ln\frac{t}{s}+(13u^2+s^2+t^2)\ln\frac{u}{s}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
Здесь коэффициент при УФ-расходящемся члене согласуется с (2.4), (2.5) (дополнительный коэффициент 1/2 связан с \frac{1}{w-2}=2 /(d-4)\to 2\ln\Lambda). Расходимость поглощается перенормировкой константы g в древесной амплитуде (3.9). Тогда коэффициент при комбинации s^2+t^2+u^2 для “древесного уровня” будет схемно-зависимым. После перенормировки мы получаем первый член в (3.23) в виде \sim(s^2+t^2+u^2)\ln(-s/\mu^2), как и ожидалось из (3.14). Заметим, что в безмассовой теории \phi \kern2.3pt\square \phi+g\phi^4 соответствующий результат для однопетлевой амплитуды в s-канале, изображенной на рис. 1, пропорционален
\begin{equation}
I(1,1)\big|_{w\to 2}=-\frac{1}{16\pi^2}\biggl[\frac{1}{w-2}+\ln(-s)+\gamma_{\mathrm E}-\ln(4\pi)-2\biggr]
\end{equation}
\tag{3.24}
(см. формулу (П.2)). Сравним также выражение (3.23) с однопетлевой амплитудой в пертурбативно унитарном, но неперенормируемом аналоге (1.3) модели (1.1), для которого однопетлевая амплитуда в случае безмассовых частиц задается тем же выражением, что и в (3.17), но со стандартными 1/q^2-пропагаторами:
\begin{equation}
A_4\sim\bar g^2 X_4,\qquad X_4=\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\frac{K(p_1,p_2,q)K(p_3,p_4,q)}{(p+q)^2q^2}.
\end{equation}
\tag{3.25}
Используя формулы (П.2)–(П.6) вместо (3.21), получаем, что аналог формулы (3.21) имеет вид 8
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X_4&=\frac{1}{4}s^4I(1,1)+\frac{1}{2}s^3I(0,1)+\frac{1}{4}s^2I(-1,1)-{} \nonumber\\ &\quad -\frac{1}{2}s^4[A_1(1,1)+A_2(1,1)]I(1,1)-\frac{1}{2}s^3[A_1(0,1)+A_2(0,1)]I(0,1)+{} \nonumber\\ &\quad +\frac{1}{4}[s^4B_1(1,1)+4s^4B_2(1,1)+s^2(s^2+t^2+u^2)B_3(1,1)]I(1,1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
Предел w\to 2 дает после симметризации по s, t, u амплитуды в s-канале (см. (3.22)):
\begin{equation}
X_4 =-\frac{1}{960(2\pi)^2}\biggl(s^2(41s^2+t^2+u^2) \biggl[\frac{1}{w-2}+\ln(-s)+\gamma_{\mathrm E}-\ln(4\pi)\biggr]-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\kern72pt-\frac{1}{15}s^2\big[1301 s^2-23(t^2+u^2)\big]\biggr)\, ,
\end{equation}
\tag{3.27}
\begin{equation}
X_4^{\text{sym}} =-\frac{1}{960(2\pi)^2} \biggl([41(s^4+t^4+u^4)+2(s^2t^2+s^2u^2+t^2u^2)]\times \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\kern134pt\times\biggl[\frac{1}{w-2}+\ln(-s)+\gamma_{\mathrm E}-\ln(4\pi)\biggr]+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\kern72pt+t^2(41t^2+u^2+s^2)\ln\frac{t}{s}+u^2(41u^4+s^2+t^2)\ln\frac{u}{s}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
\begin{equation}
\kern72pt-\frac{1}{15}[1301(s^4+t^4+u^4)-46(s^2t^2+u^2t^2+u^2 s^2)]\biggr).
\end{equation}
\tag{3.28}
Можно упростить выражение (3.28), используя равенство
\begin{equation*}
s^4+t^4+u^4=2(s^2t^2+s^2u^2+t^2 u^2)=\frac{1}{2}(s^2+t^2+u^2)^2,
\end{equation*}
\notag
в итоге получаем (см. (3.23))
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_4\sim\bar g^2X_4^{\text{sym}}=\!-\frac{\bar g^2}{960(2\pi)^2} &\biggl[21 (s^2+t^2+u^2)^2\biggl[\frac{1}{w-2}+\ln(-s)+\gamma_{\mathrm E}-\ln(4\pi)-\frac{213}{5}\biggr]+{} \nonumber\\ &\kern-8pt+t^2(41t^2+u^2+s^2)\ln\frac{t}{s}+u^2(41u^4+s^2+t^2)\ln\frac{u}{s}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
УФ-расходимость в данном случае ведет себя как восьмая степень импульса, поэтому, чтобы она сократилась, необходимо добавить к действию (1.3) новый контрчлен \sim(\partial\partial\phi)^4. Мнимая часть амплитуды (3.29) получается из \ln(-s)\to\ln|s|+i\pi и, следовательно, имеет ту же структуру, что и квадрат (s^2+t^2+u^2)^2 древесной амплитуды (3.9). Это согласуется с обобщенной оптической теоремой (см., например, [36], [37]): мнимая часть однопетлевой амплитуды находится путем перемножения двух древесных амплитуд и суммирования по промежуточным on-shell состояниям со стандартной мерой фазового пространства \sim\int d^4q\,\delta(q^2). Это, конечно, тот же результат, что и в стандартной теории \phi \kern2.3pt\square \phi+g\phi^4 (ср. с выражением (3.24)). Отсюда мы можем предположить, что оптическая теорема, непосредственно связанная с унитарностью, не работает в модели (1.1) с четвертыми производными, где пропорциональна древесной амплитуде (3.9) мнимая часть выражения (3.23) как таковая, а не ее квадрат (этот факт напрямую связан с перенормируемостью модели). Мы подробно остановимся на проблеме унитарности в следующем пункте. 3.3. (Не)унитарностьУнитарность стандартной теории \phi \kern2.3pt\square \phi+g\phi^4 проявляется как связь мнимой части соответствующей однопетлевой амплитуды (3.24), приходящей из 9 с квадратом (постоянной) древесной амплитуды, т. е. как обобщенная оптическая теорема.Это же относится и к теории \phi \kern2.3pt\square \phi+\bar g(\partial\phi)^4 (1.3). Хотя возрастание порядка s^2 соответствующей древесной амплитуды (3.9) говорит о противоречии с унитарностью при больших энергиях, эта теория унитарна в теории возмущений при достаточно малых энергиях s<M^2 [31], [32]. Об этом свидетельствует тот факт, что мнимая часть однопетлевой амплитуды рассеяния (3.29) пропорциональна квадрату древесной амплитуды (3.9) (см. также рассуждения ниже). В то же время мнимая часть однопетлевой амплитуды рассеяния (3.23) в масштабно-инвариантной теории \phi \kern2.3pt\square ^2\phi+g(\partial\phi)^4 с безразмерной константой связи пропорциональна первой степени древесной амплитуды (3.9), что указывает на нарушение обобщенной оптической теоремы. Напомним общие рассуждения, связывающие унитарность S-матрицы с обобщенной оптической теоремой [36], [37] (см. также [38]). Для заданной S=1+iT возьмем матричный элемент в соотношении унитарности -i(T-T^\unicode{8224})=T^\unicode{8224} T между двумя двухчастичными состояниями безмассовых частиц:
\begin{equation*}
\langle 1,2|T|3,4\rangle=A_4(p_1,\ldots,p_4)\,\delta^{(4)}\biggl(\,\sum_ip_i\biggr).
\end{equation*}
\notag
Это дает
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-i[A_4(p_1,p_2\to p_3,p_4)-A^*_4(p_3,p_4\to p_1,p_2)]= \nonumber\\ &\quad =\sum_n\prod^n_{i=1}\int\frac{d^4q_i}{(2\pi)^4}\,\delta(q^2_i)\,A_4(p_1,p_2\to q_1,\ldots, q_n)A^*_4(p_3,p_4\to q_1,\ldots, q_n)\times{} \nonumber\\ &\kern200pt\times(2\pi)^4\,\delta^{(4)}\biggl(p_1+p_2-\sum^n_{i=1}q_i\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.31}
В данном случае однопетлевая диаграмма на рис. 1 с n=2 внутренними пропагаторами в правой части равенства (3.31) должна получаться из “обрезания” этих пропагаторов в интеграле
\begin{equation*}
\int d^4q\,\frac{1}{q^2(q+p)^2}=\int d^4q_1\int d^4q_2\,\frac{1}{q_1^2q_2^2}\,\delta^{(4)}(p-q_1-q_2)
\end{equation*}
\notag
с использованием соотношения
\begin{equation}
2\operatorname{Im}\frac{1}{q^2-i\epsilon}=\frac{2i\epsilon}{(q^2+\epsilon^2)^2}\to 2\pi i\,\delta(q^2).
\end{equation}
\tag{3.32}
В стандартной теории \phi^4 древесная амплитуда – это просто не зависящая от импульсов постоянная, и мы можем легко проверить, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2\operatorname{Im}&A^{\text{one-loop}}_4(p_1,p_2,p_3,p_4)= \nonumber\\ &=\int d\Pi(q_1)\int d\Pi(q_2)\,A_4^{\text{tree}}(p_1,p_2,q_1,q_2)A_4^{\text{tree}}(q_1,q_2,p_3,p_4)\times{} \nonumber\\ &\kern180pt\times(2\pi)^4\,\delta^{(4)}(p_1+p_2-q_1-q_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
где
\begin{equation*}
\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}2\pi\,\delta(q^2)\theta (q^0)\equiv\int d\Pi(q)=\int\frac{d^3\vec q}{(2\pi)^32|\vec q\,|}.
\end{equation*}
\notag
В самом деле, из соотношения
\begin{equation*}
\int\frac{d^4q}{q^2(q+p)^2}\to\int d^4q\,\delta(q^2)\,\delta((q+p)^2),
\end{equation*}
\notag
используя систему центра масс, где p=p_1+p_2=(p^0,0,0,0)=\sqrt{s}, получаем для мнимой части формулу 10
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int\frac{d^4q}{(q^2-i\epsilon)((q+p)^2-i\epsilon)}&\to \int d^4q\,\delta(q^2)\,\delta((q+p)^2)\to \nonumber\\ &\to 4\pi\int dq^0\int d|\vec q\,|\,|\vec q\,|^2\frac{\delta(q^0-|\vec q\,|)}{2|\vec q\,|}\,\delta(p^0)^2-2p^0q^0)\to\pi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.34}
которая должна совпадать с постоянной мнимой частью выражения (3.24). Переходя от евклидовой сигнатуры к сигнатуре Минковского, получаем из лишний множитель i. В общем случае имеем
\begin{equation*}
\frac{1}{q^2-i\epsilon}=\mathrm P\frac{1}{q^2}+i\pi\delta(q^2),
\end{equation*}
\notag
в результате мнимая часть однопетлевой диаграммы получается как из величины -\pi^2\delta(q^2)\,\delta((q+p)^2), так и из произведения главных значений \mathrm P\frac{1}{q^2}\,\mathrm P\frac{1}{(q+p)^2}, при этом обе величины вносят одинаковые вклады. Заменяя пропагаторы на их мнимые части (\frac{1}{q^2-i\epsilon}\to i\pi\delta(q^2) и т. д.), получаем только половину мнимой части амплитуды 11 (см. монографию [37]). Те же аргументы применимы и в случае теории \phi \kern2.3pt\square \phi+\bar g(\partial\phi)^4: поворачивая однопетлевую амплитуду (3.25) к сигнатуре Минковского с помощью i\epsilon-предписания для пропагаторов и используя правило разрезания (3.32), получаем в системе центра масс
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int d^4q\,& \delta(q^2)\,\delta((q+p)^2)K(p_1,p_2,q)K(p_3,p_4,q)\to \nonumber\\ &\to\frac{1}{4}\int dq^0\int d^3\vec q\,\delta(q^0-|\vec q\,|)\,\delta (q^0-p^0/2)K(p_1,p_2,q)K(p_3,p_4,q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.35}
В системе центра масс с
\begin{equation*}
p_1=(p^0/2,\vec p_1),\quad p_2=(p^0/2,-\vec p_1),\quad p_3=(p^0/2,\vec p_1),\quad p_4=(p^0/2,-\vec p_1),
\end{equation*}
\notag
что соответствует рассеянию вперед (t=0, s=-u), интеграл (3.35) сводится к мнимой части однопетлевой амплитуды (3.27). Это можно показать, используя (3.30). Заметим, что при интегрировании по \vec q функции [K(p_1,p_2,q)]^2 (см. (3.18)),
\begin{equation*}
K(p_1,p_2,q)=2(p_1\cdot q)(p_2\cdot q)-\frac{1}{2}p^2(p+q)^2-\frac{1}{2}p^4,
\end{equation*}
\notag
используется равенство
\begin{equation*}
\int d^3\vec q\,q_iq_j(\,{\cdot}\,)=\frac{1}{3}\int d^3q\,|\vec q\,|^2\,\delta_{ij}(\,{\cdot}\,)
\end{equation*}
\notag
и аналогичное равенство для \int d^3\vec q\,q_iq_jq_kq_l(\,{\cdot}\,). С другой стороны, соотношение (3.35) имеет вид интеграла (3.33) по фазовому пространству от произведения соответствующих древесных амплитуд (3.9). В теории \phi \kern2.3pt\square ^2\phi+g(\partial\phi)^4 априори нельзя считать, что безмассовая S-матрица унитарна, поскольку мы рассматриваем только безмассовые (\square\phi =0) состояния на внешних линиях, но при этом имеем 1/q^4-пропагаторы вместо внутренних 1/q^2-пропагаторов (подразумевается, что фактически виртуальных “состояний” больше, чем просто безмассовых). В рассуждениях, приводящих к обобщенной оптической теореме (3.33), используется вставка полного набора состояний (1=\sum|\,{\cdot}\,\rangle\langle\,{\cdot}\,| ) между T-матрицей и ее сопряженной. Фактически это означало бы суммирование также по “возрастающим” модам (или \psi-состояниям в (3.1)), но соответствующие амплитуды на древесном уровне не определены корректно. Чтобы увидеть проблему проверки оптической теоремы более явно, нужно определить аналог оператора \square^{-2}\sim\ln x^2 в пространстве Минковского или его формальный фурье-образ 1/q^4. Естественной отправной точкой является модель (3.1) со второй производной: формально совершим в ней замены \square\to\square+i\epsilon (или замены q^2\to q^2-i\epsilon), что после интегрирования по вспомогательному полю \psi будет эквивалентно следующему преобразованию внутренних пропагаторов: Это предписание согласуется с тем, что использовалось в [3] для аналогичной векторной модели с четвертыми производными, где предлагалось определить фурье-образ оператора \square^{-2}\sim\ln(-\mu^2 x^2+i\epsilon) как
\begin{equation}
\square^{-2}\to\frac{1}{(q^2-a^2-i\epsilon)^2}+i\pi\ln\frac{a^2}{\mu^2}\,\delta^{(4)}(q),\qquad a\to 0
\end{equation}
\tag{3.37}
(здесь параметр a необходим, чтобы задать соответствующее распределение; это требование было сформулировано в работах [3] для согласия с принципом причинности и поворотом Вика). В рассматриваемой теории (1.1) со взаимодействиями, зависящими только от производных, контактный член с \delta^{(4)}(q) в (3.37) выпадает из фейнмановских диаграмм, таким образом, мы получаем то же преобразование, что и в (3.36). Далее из (3.36) находим следующий аналог соотношения (3.32) для разрыва на разрезе:
\begin{equation}
\frac{1}{(q^2-i\epsilon)^2}-\frac{1}{(q^2+i\epsilon)^2}= \frac{4i\epsilon q^2}{[(q^2)^2+\epsilon^2]^2}\to-2\pi i\delta'(q^2),\qquad \delta'(q^2)\equiv\frac{\partial}{\partial q^2}\delta(q^2),
\end{equation}
\tag{3.38}
где мы использовали равенства
\begin{equation*}
\delta(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}\bigg|_{\epsilon\to 0},\qquad \delta'(x)=-\frac{1}{\pi}\frac{2\epsilon x}{(x^2+\epsilon^2)^2}\bigg|_{\epsilon\to 0}.
\end{equation*}
\notag
Заметим, что соотношение (3.38) совпадает с производной по q^2 от (3.32). Используя (3.38) в общем выражении (3.11) для однопетлевой амплитуды, получаем (в случае рассеяния вперед)
\begin{equation}
\mathcal V_{ij}(p)\mathcal V_{kr}(-p)\int d^4\!q\,d^4\!q'\,\delta^{(4)}(q+p-q')\,q_jq_r \frac{\partial\delta(q^2)}{\partial q^2}q'_iq'_k\frac{\partial\delta(q^{\prime\,2})}{\partial q'^2}.
\end{equation}
\tag{3.39}
Производные дельта-функций вместо дельта-функций, как в (3.31), (3.32), не позволяют пройти тем же путем, что и в стандартном доказательстве оптической теоремы. В частности, неясно, какие именно модификации стандартной меры фазового пространства могут быть эффективно эквивалентны этим множителям \partial\delta(q^2)/\partial q^2.
4. Заключительные замечанияМодель (1.1) с четвертой производной, рассмотренная в представленной статье, не имеет размерных параметров и поэтому обладает классической масштабной инвариантностью. При этом она отличается от моделей типа Пайса–Уленбека [39], [15] L=\phi(\square-m_1^2)(\square-m_2^2)\phi+\cdots{}, которые можно диагонализовать и представить как систему физических и духовых массивных полей, причем последние несут отрицательную энергию; если включить взаимодействия, то, как ожидается, рождение духов, вообще говоря, приведет к нарушению унитарности. Запись квадратичной части (1.1) в виде второй производной (3.1) показывает, что соответствующая недиагонализуемая система имеет неположительную плотность гамильтониана (H=2p_\psi p_ \phi+\psi^2+\cdots{}). Приведет ли это к проблемам, может зависеть от типа рассматриваемого взаимодействия [15]. В связи с этим возникает, в частности, вопрос о знаке константы связи g в (1.1). Евклидов интеграл по траекториям корректно определен при g>0 (когда действие неотрицательно); его прямое продолжение на сигнатуру Минковского, для которого предполагается, что t_{\mathrm E}=-ix^0 (мы используем t_{\mathrm E}=-it_0 вместо обычного t_{\mathrm E}=+it_0, чтобы сохранить положительность “кинетического” члена в S_{\mathrm M}), дает e^{-S_{\mathrm E}}=e^{iS_{\mathrm M}}, где
\begin{equation*}
S_{\mathrm M}=\int d^4 x\,L,\qquad L=[(\partial_0^2-\partial_i^2)\phi]^2+g[(\partial_0\phi)^2-(\partial_i\phi)^2]^2.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, в отличие от известных теорий со вторыми производными здесь знаки как кинетических членов, так и членов взаимодействия не меняются на обратные (т. е. в пространстве Минковского лагранжиан также положителен, если g>0). Однако предположение, что g>0, приводит к появлению неустойчивых классических решений. Действительно, рассмотрим для простоты постоянные по пространственным переменным фоны \phi=\phi(x^0), для которых
\begin{equation*}
L=\ddot\phi^2+g\dot\phi^4=\dot v^2+gv^4,\qquad v=\dot\phi\equiv\partial_0\phi.
\end{equation*}
\notag
При g>0 эта модель описывает инвертированный ангармонический осциллятор с решениями, расходящимися за конечное время. Чтобы избежать такого сингулярного поведения решений, нужно выбрать g<0. Интересно, что полученная квантовая четырехмерная теория асимптотически свободна при g<0 (ср. (2.6)) и, таким образом, хорошо определена на малых расстояниях. Заметим, что вопрос о знаке g неактуален в теории возмущений. Кроме того, приведенное выше обсуждение не применимо к пертурбативно унитарной эффективной теории (1.3), где неравенство \bar g>0 следует из принципа причинности, обсуждавшегося во введении. В этой статье мы сосредоточились на демонстрации следующего факта: с учетом того, что амплитуды рассеяния хорошо определены только для безмассовых колебательных мод, обобщенная оптическая теорема и, следовательно, пертурбативная унитарность, из которой она следует, нарушаются в теории (1.1) на однопетлевом уровне (независимо от знака g). Можно задаться вопросом: решается ли проблема унитарности выходом за рамки теории возмущений или путем добавления дополнительных взаимодействий, которые могут изменить 1/q^4-пропагатор на уровне квантовой петли (см. работы [29])? Можно также изучить возможность того, что S-матрица для скалярного поля нулевой размерности не является правильной наблюдаемой в этой модели. Например, можно предположить, что эти частицы нулевой размерности всегда “не вылетают”, т. е. не проявляются как асимптотические состояния, но всё же могут участвовать во взаимодействиях с другими полями (подобными гравитации) через виртуальные петли. Можно также попытаться интерпретировать теорию \square^2 как предел нелокальной теории, свободной от духов (см. работы [40], [41]); например, исходя из лагранжиана
\begin{equation*}
L=\phi \kern2.3pt\square \frac{e^{\epsilon\square}-1}{\epsilon}\phi+g(\partial\phi)^4,
\end{equation*}
\notag
где \epsilon имеет размерность квадрата длины, можно рассмотреть предел \epsilon\to 0.
Приложение. Базовые однопетлевые интегралыЧтобы свести (3.17) к базовым интегралам в размерной регуляризации (см., например, [42]), можно использовать стандартные соотношения
\begin{equation}
\begin{gathered} \, A^{-n}B^{-m}=\frac{\Gamma(m+n)}{\Gamma(m)\Gamma(n)}\int^1_0 dx\,x^{n-1}(1-x)^{m-1}[xA+(1-x)B]^{-n-m}, \\ \int\frac{d^{2w}q}{(2\pi)^{2w}}(q^2+2P\cdot q+M^2)^{-\alpha}= \frac{\Gamma(\alpha-w)}{(4\pi)^w\Gamma(\alpha)}(M^2-P^2)^{-\alpha+w},\qquad d=2w, \\ \int^1_0 dx\,x^{a-1}(1-x)^b=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{П.1}
В нашем случае
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A=(q+p)^2,\qquad B=q^2,\quad (1-x)B+xA=q^2+2x(p\cdot q)+x p^2, \\ \alpha=n+m,\qquad P=x p,\qquad M^2=x p^2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
отсюда получаем
\begin{equation}
I(n,m)\equiv\int\frac{d^{2w}q}{(2\pi)^{2w}}\frac{1}{((q+p)^2)^n(q^2)^m}= \frac{(p^2)^{w-n-m}}{(4\pi)^w}\frac{\Gamma(w-n)\Gamma(w-m)\Gamma(n+m -w)}{\Gamma(n)\Gamma(m)\Gamma(2w-n-m)}.
\end{equation}
\tag{П.2}
Нам также понадобятся следующие обобщения интеграла (П.2) (см. [43] для случая n=m=1):
\begin{equation}
I_{ij}(n,m)=\int\frac{d^{2w}q}{(2\pi)^{2w}}\frac{q_i q_j}{((q+p)^2)^n(q^2)^m}= \biggl[A_1(n,m)p_ip_j+\frac{1}{2}A_2(n,m)p^2\delta_{ij}\biggr]I(n,m),
\end{equation}
\tag{П.3}
где
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A_1(n,m)&=\frac{(w-m+1)(w-m)}{(2w-m-n+1)(2w-m-n)}, \\ A_2(n,m)&=\frac{(w-m)(w-n)}{(2w-m-n+1)(2w-m-n)(m+n-w-1)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.4}
и
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &I_{ijkl}(n,m)=\int\frac{d^{2w}q}{(2\pi)^{2w}}\frac{q_iq_jq_kq_l}{((q+p)^2)^n(q^2)^m}= \nonumber\\ &\quad=\biggl[B_1(n,m)p_ip_jp_kp_l+{} \nonumber\\ &\quad\qquad+\frac{B_2(n,m)}{2}p^2(\delta_{ij}p_kp_l+\delta_{ik}p_jp_l+\delta_{il}p_kp_j+ \delta_{jk}p_ip_l+\delta_{jl}p_kp_i+\delta_{kl}p_ip_j)+{} \nonumber\\ &\quad\qquad+\frac{B_3(n,m)}{4}p^4(\delta_{ij}\delta_{kl}+\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{kj})\biggr]I(n,m), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.5}
где
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B_1(n,m)&=\frac{(w-m+3)(w-m+2)(w-m+1)(w-m)}{(2w-m-n+3)(2w-m-n+2)(2w-m-n+1)(2w-m-n)}, \\ B_2(n,m)&=\frac{(w-m+2)(w-m+1)}{(2w-m-n+3)(2w-m-n+2)(2w-m-n+1)}\times{} \\ &\quad\times \frac{(w-m)(w-n)}{(2w-m-n)(n+m-w-1)}, \\ B_3(n,m)&=\frac{(w-n+1)(w-n)}{(2w-m-n+3)(2w-m-n+2)(2w-m-n+1)}\times{} \\ &\quad\times \frac{(w-m+1)(w-m)}{(2w-m-n)(n+m-w-1)(n+m-w-2)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.6}
Из этих формул следует, например, правило интегрирования по параметру Фейнмана выражения для
\begin{equation*}
\int\frac{d^{2w}q}{(2\pi)^{2w}}(q^2+2P\cdot q+M^2)^{-\alpha}q_i\ldots q_k.
\end{equation*}
\notag
БлагодарностиЯ хотел бы поблагодарить Р. Ройбана за полезные комментарии и предложения, а также С. Кузенко, Р. Мецаева, К. Мкртчяна, А. Смилгу и А. Токареву за обсуждения. Я также благодарен Р. Перкаччи за указание на ошибку в формуле (3.20) в оригинальной версии статьи и Дж. Донохью за постановку ряда важных вопросов. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tse23}
Эта публикация цитируется в следующих 6 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|