О больших уклонениях аддитивных арифметических функций

Пусть $f(m)$ – вещественная аддитивная арифметическая функция. Предположим, что существуют такие константы $\lambda\ne0$, $\delta>0$, $c$, $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$, что
$$\sum_{a_p<c}\frac{a_p\ln p}p\le c_1, \qquad \sum_{a_p\ge c}\frac{l^{\delta a_p}\ln p}p\le c_2, \qquad \sum_p\sum_{\alpha=2}^\infty\frac{e^\delta|f(p^\alpha)|}{p^\alpha}\le c_3,$$
где $a_p=|f(p)-\lambda|$, a суммы берутся по простым числам $p$, удовлетворяющим условиям, указанным под знаками суммирования. Доказывается, что при $n\to\infty$, $x\le0$, $x=o(\sqrt{\ln\ln n})$ число натуральных чисел $m\le n$, для которых $f(m)<\lambda\ln\ln n+x|\lambda|\sqrt{\ln\ln n}$, равно
$$ne^{Q_n(x)}\Phi(-|x|)\biggl(1+\frac{O(|x|+1)}{\sqrt{\ln\ln n}}\biggr),$$
где
$$\begin{align*} Q_n(x)&=\frac{x^2}2+\{\xi-(1+\xi)\ln(1+\xi)\}\ln\ln n, \\ \xi&=\frac{x\operatorname{sign}\lambda}{\sqrt{\ln\ln n}}, \qquad \Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{u^2}2}\,du. \end{align*}$$
Такая же формула справедлива для числа чисел $m\le n$, удовлетворяющих неравенству $f(m)>\lambda\ln\ln n+x|\lambda|\sqrt{\ln\ln n}$ при $x\ge 0$, $x=o(\sqrt{\ln\ln n})$.
Библиогр. 4 назв.