Первая краевая задача для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка

В ограниченной области $G$ $n$-мерного пространства для эллиптического уравнения
$$\begin{equation} -\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}F^i(u_x)=h, \qquad u_x=\biggl(\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial u}{\partial x_n}\biggr), \end{equation}$$
изучается краевая задача с условием
$$\begin{equation} u=f \text{ на } \partial G \end{equation}$$
Относительно функций $F^i(y)$, $y=(y_1,\dots,y_n)$ предполагается, что
$$\begin{gather*} |F^i(y)|\le\mu(1+|y|)^{p-1}, \qquad \sum_{i=1}^nF^i(y)y_i\ge\nu(1+|y|)^p-\mu_1, \\ \frac{\partial F^i}{\partial y_j}=\frac{\partial F_j}{\partial y_i}, \qquad \biggl|\frac{\partial F^i(y)}{\partial y_j}\biggr|\le\mu(1+|y|)^{p-2}, \end{gather*}$$
где $p\ge2$, $\mu>0$, $\nu>0$, $\mu_1>0$. Уравнение (1) удовлетворяет следующему условию эллиптичности:
$$\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial F^i(y)}{\partial y_j}\xi_i\xi_j\ge\sum_{i=1}^nm_i^2(y_i)\xi_i^2,$$
где функции $m_i(t)\ge0$ могут обращаться в нуль, но так, чтобы функции
$$M_i(t)=\int_0^t m_i(t)\,dt$$
Показывается, что если $f\in W_p^{1-\frac 1p}(\partial G)$, $h\in W^1_{q,2}(G)$, $\frac 1p+\frac 1q=1$, то обобщенное решение $u\in W_p^1(G)$ задачи (1), (2) существует, единственно и такое, что $F^i(u_x)\in W^1_{q,1}(G)$, $M_i\bigl(\frac{\partial u}{\partial x_i}\bigr)\in W_{2,1}^1(G)$.
Библиогр. 15 назв.