К теории весовых классов

Рассматриваются весовые классы $W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)$ и $L_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)$ дифференцируемых функций многих переменных со степенной весовой функцией. Они определяются как замыкание множества гладких финитных функций в следующих нормах:
\begin{align*} \|f\|_{W_{p,\alpha}^{(l)}}&=\|f\|_{L_{p,\alpha}^{(l)}}+\|f\|_{L_p(Q'_n)}, \\ \|f\|_{L_{p,\alpha}^{(l)}} &=\begin{cases} \sum_{|\nu|=l}\biggl\|\dfrac{D^\nu f}{(1+\rho)\alpha}\biggr\|_{L_p(E_n)}&\text{при </nomathmode><mathmode>$l$ целом};
[2mm] \sum_{|\nu|=l}\sum_{i=1}^n\{\int_0^\infty\dfrac{dh}{h^{1+\gamma p}}\|\dfrac{\Delta_i(h)D^\nu f}{(1+\rho+h)^\alpha}\|_{L_p(E^n)}&\text{при $l$ дробном}. \end{cases} \end{align*}
</mathmode><nomathmode> Здесь $l=\overline l+\gamma$, $0<\gamma\le 1$; $\alpha\ge0$; $1\le p\le\infty$, $Q'_n$ – единичный шар с центром в начале координат, $\rho=\sqrt{\sum_{i=1}^n\Delta_i^2}$.
Доказываются прямые теоремы вложения двух типов
$$\begin{align*} W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)\to L_{q,\beta}(E_m), \\ W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)\to L_{q,\beta}^{(r)}(E_m), \end{align*}$$
где $r=l-k-\frac np+\frac mp>0$, а показатель веса существенно зависит от $m$, $n$, $q$, $\alpha$, $l$. При доказательстве используется метод интегральных представлений В. П. Ильина. Точность теорем подтверждается примерами. При $\alpha\ge n/p-1$ пространства $W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)$ совпадают с пространствами $W_{p,\alpha}^{(l)}(E_n)$, введенными Л. Д. Кудрявцевым; в этом случае результаты совпадают с ранее известными.
Библиография – 7 названий.