Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод

В статье исследуется первая краевая задача для эллиптического уравнения
\begin{equation} Lu\equiv\sum_{|k|,|l|\leq r}(-1)^{|k|}D^k(a_{kl}(x)D^lu)=F(x), \qquad x\in\Omega \end{equation}
(где $k=(k_1,k_2,\dots,k_n)$, $|k|=k_1+k_2+\dots+k_n$, $k_j\ge0$ при $j=1,2,\dots,n$, $r\ge1$), вырождающегося на границе $\Gamma$ ограниченной области $\Omega\subset R_n$. Коэффициенты $a_{kl}(x)$ измеримы, симметричны (т.е. $a_{kl}=a_{lk}$) и подчиняются на заключительной стадии требованиям
\begin{equation} |D^\lambda a_{kl}(x)|\le C\rho^{-2(r+\alpha)+|k|+|l|-|\lambda|},\qquad|\lambda|\le\gamma, \end{equation}
где $\rho(x)=\operatorname{dist}(x,\Gamma)$, $\gamma$ – фиксированное целое число. При $\lambda=0$ условие (2) характеризует характер вырождения уравнения (1) на границе $\Gamma$ (в некоторых случаях условия (2) ужесточаются).
Ищется обобщенное решение уравнения (1), точнее говоря, решение $U$ с конечной весовой нормой
\begin{equation} \|U\|_{W^r_{2,n}(\Omega)}=\biggl\{\int_\Omega\biggl(\rho^{-2\alpha} \sum_{|k|=r}|D^kU|^2+|U|^2\biggr)dx\biggr\}^{1/2}, \end{equation}
удовлетворяющее интегральному соотношению
$$ \int_\Omega\biggl(\sum_{|k|,|l|\le r}a_{kl}(x)D^kUD^lv-F(x)v\biggr)dx=0, \qquad\forall v\in C^\infty_0(\Omega) $$
и принимающее на границе $\Gamma$ те же значения, что и наперед заданная функция $\Phi\in W_{2,\alpha}^r(\Omega)$.
Такая постановка при нецелом $r+\alpha-1/2$ соответствует заданию на границе $\Gamma$ краевых условий
\begin{equation} u|_{\Gamma}=\varphi_0,\quad\frac{\partial u}{\partial\nu}\biggr|_{\Gamma} =\varphi_1,\dots,\frac{\partial^{s_0-1}u}{\partial\nu^{s_0-1}}\biggr|_\Gamma =\varphi_{s_0-1},\qquad \varphi_j\in W_2^{r+\alpha-j-1/2}(\Gamma), \end{equation}
число $s_0$ которых зависит от $\alpha$: $s_0=[r+\alpha-1/2]$.
В статье доказаны коэрцитивные оценки обобщенного решения $U$ задачи (1), (4), т.е. оценки $\|U\|_{W^r_{2,\alpha}(\Omega)}$ через соответствующие нормы функции $F$ и функций $\varphi_j$, $j=0,1,\dots,s_0-1$.
Доказаны также теоремы о регулярности решения $U$, утверждающие, что при выполнении условий (2) и надлежащих требованиях к $F(x)$ обобщенное решение $U$ принадлежит на самом деле пространству $W^{r+\gamma}_{2,\alpha-\gamma}(\Omega)$.
В статье получил развитие специальный технический аппарат, представляющий самостоятельный интерес. Этот аппарат широко использует теорию весовых функциональных пространств $W^r_{2,\alpha}(\Omega)$ с нормой (3).
Библиогр. – 9 назв.