Об экстремальных свойствах неотрицательных тригонометрических полиномов

Пусть $C^+_n(a)$, $a\geq 0$, есть множество неотрицательных четных тригонометрических многочленов $f(t)=\sum^n_{k=0}a_k\cos kt$ порядка $n\geq 1$ с неотрицательными коэффициентами, два из которых фиксированы: $a_0=1$ $a_1=a$. Изучается функция
$$u_n(a)=\inf\biggl\{f(0)=\sum^n_{k=0}a_k:f\in C^+_n(a)\biggr\}$$
переменного $a\in[0,A(n)]$, $A(n)=2\cos\frac{\pi}{n+2}$. Выписаны значения $u_n(a)$ для $a$ близких к наибольшему возможному значению аргумента $a=A(n)$. Дано приложение полученных результатов для изучения задачи Ш.-Ж. Валле-Пуссена и Э. Ландау для тригонометрических многочленов, возникшей в их исследованиях по теории простых чисел.