Асимптотика оптимального времени перевода линейной управляемой системы с нулевыми вещественными частями собственных значений матрицы при быстрых переменных на неограниченное целевое множество

Настоящая работа посвящена одной задаче оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с гладкими геометрическими ограничениями на управление и неограниченным целевым множеством:
$$\left\{ \begin{array}{llll} \phantom{\varepsilon}\dot{x}=y,\,& x,\,y\in \mathbb{R}^{2m},\quad u\in \mathbb{R}^{2m},\\[1ex] \varepsilon\dot{y}=Jy-Ju,&\,\|u\|\leqslant 1,\quad \varepsilon\ll 1,\\[1ex] x(0)=x^0,\quad y(0)=\varepsilon y^0,\\[1ex] x(T_\varepsilon)=0,\quad y(T_\varepsilon)\in \mathbb{R}^{2m},\quad T_\varepsilon \longrightarrow \min,& \end{array} \right.$$
где
$$J=\left( \begin{array}{rr} 0&\beta \cdot I \\-\beta \cdot I&0\end{array} \right), \quad \beta>0.$$
Собственные значения матрицы $J$ при быстрых переменных не удовлетворяют стандартному требованию отрицательности вещественной части. Доказана разрешимость задачи. Получена полная степенная асимптотика в смысле Эрдейи времени быстродействия при стремлении малого параметра $\varepsilon$ при производных в уравнениях системы к нулю по некоторому множеству. Показано, что вид асимптотики существенно зависит от множества, по которому малый параметр стремится к нулю.