Необходимые условия экстремума для общих функционалов вариационного исчисления с негладким интегрантом

Рассматриваются функционалы вида
$$I_F(u)=\int_GF[x,u(x),u'(x)]\,dx,$$
где $G$ – ограниченное открытое множество в $\mathbf R^n$, $F[x,s,q]$ – функция переменных $x\in G$, $s\in \mathbf R$, $q\in \mathbf R^n$, выпуклая относительно $q$. При некоторых предположениях относительно $F$ устанавливается, что если функция $u$ является экстремальной для функционала $I_F$. то существует функция $h\colon G\times \mathbf R\to\mathbf R^n$ такая, что для почти всех $x\in G$ $h(x,u(x))$ есть субградиент функции $q\mapsto F[x,u(x),q]$ в точке $q=u'(x)$ и для любой функции $\psi$, обращающейся в нуль на границе $G$ и принадлежащей классу $W^1_\alpha(G)$, выполняется равенство
$$\int_G\biggl\{\frac{\partial F}{\partial s}[x,u(x),u'(x)]\psi(x)+ \langle h(x,u(x)),\psi'(x)\rangle\biggr\}\,dx=0.$$

Библиогр. 4.