Аннотация:
Исследуется указанная обратная задача метагармонического потенциала
(РЖМат., 1964, 75311). Рассматривается односвязная область с границей S
класса A(2,λ). Пусть известен метагармонический (ϰ≥0) потенциал U(x;T,μ) тела T плотности μ.
Предположим, что вне области T0, лежащей внутри T на положительном
расстоянии d от границы S, задана метагармоническая функция H, которая
на бесконечности ведет себя как метагармонический потенциал. Дополнительно предполагаем, что 1) μ(y) – есть заданная действительная аналитическая
функция в области D⊃¯T, μ(y) всюду на S отлична от нуля, 2) каждая из величин
‖∂H∂ν−∂U(T,μ)∂ν‖,‖∂2H∂ν2−∂2U(T,μ)∂ν2‖
не превышает ωC, где 0<ω<d, C=C(T), ω=ω(T,μ,ε0,d), норма ‖⋅‖ эквивалентна норме в пространстве C(1,λ)(s), ν – заданное число, отложенное по внешней нормали к поверхности S. Пусть {S1} класс поверхностей, уравнение которых в криволинейной системе координат имеет вид {ν=ζ(ξη)}, |ν|≤ε0, ζ∈C(1,λ).
При этих условиях на тело T, поверхности S и функции S1, H, U(T,μ) имеет место следующая теорема: существует и притом единственная поверхность S1, ограничивающая тело T1, удовлетворяющая условию ‖ζ‖<d такая, что внешний метагармонический потенциал U(x;T1,μ) тела T1 плотности μ равен заданной метагармонической функции H в области внешней относительно поверхности S1. Основная теорема справедлива и для ньютоновского потенциала, причем в отличие от известных результатов (РЖМат.,
1957, 5591) отсутствуют ограничения “звездности” на тело T, а также рассмотрен общий класс переменных плотностей.
Образец цитирования:
А. И. Прилепко, “О разрешимости обратной задачи объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному”, Сиб. матем. журн., 11:6 (1970), 1321–1332; Siberian Math. J., 11:6 (1970), 973–981