Некоторые новые соотношения для многочленов Чебышева–Лагерра

Показано, что для интегрального оператора с ядром
$$\begin{gather} H(x,y)=\sqrt{\frac{(y-a)^\gamma}{(x-a)^{\alpha+\gamma+1}}} \exp\biggl[\frac{\beta-\mu}2x+\frac{\mu-\beta}2y\biggr]h(x-y), \notag\\ h(t)= \begin{cases} t^\alpha e^{\beta t},& t>0,\\ 0,& t<0, \end{cases} \notag \end{gather}$$
пронормированные на интервале $(a,\infty)$ системы
$$\begin{gather} \nu_n(x)=\delta_n^{(\gamma)}\sqrt{(x-a)^\gamma}e^{-\frac{\beta+\mu}2x}L_n^\gamma [(\mu+\beta)(x-a)],\notag\\ \mu_n(x)=\delta_n^{(\alpha+\gamma+1)}\sqrt{(x-a)^{\alpha+\gamma+1}} e^{-\frac{\beta+\mu}2x}L_n^{\alpha+\gamma+1}[(\mu+\beta)(x-a)], \notag\\ \delta_n^{(\nu)}=\bigl[\Gamma(\nu+n+1)\bigr]^{1/2} [n!(\mu+\beta)^{\nu+1}]^{1/2} \notag \end{gather}$$
являются системами Шмидта, т. е.
$$\begin{gather} \int_a^\infty H(x,y)\nu_n(y)\,dy=s_n\mu_n(x), \quad \int_a^\infty H(x,y)\mu_n(y)\,dy=s_n\nu_n(x),\notag\\ s_n=\Gamma(1+\alpha)]\Gamma(\gamma+n+1)]^{1/2} [\Gamma(\alpha+\gamma+n+2)(\mu+\beta)^{\alpha+1}]^{-1/2}. \notag \end{gather}$$

Параметры здесь предполагаются вещественными и, кроме того, $\beta+\mu,1+\alpha,1+\gamma>0$.
Из этого факта выведены многочисленные новые соотношения для многочленов Чебышева–Лагерра $L_n^\alpha(x)$. Попутно изучены свойства операторов
$$\int_a^\infty H(x,y)\varphi(y)\,dy,\quad \int_a^\infty H(x,y)\psi(x)\,dx.$$
Показано, что они действуют из $L^2$ в $L^2$ и являются там линейными ограниченными операторами.