Построение гиперповерхности с данной средней кривизной в пространстве Лобачевского

В $(n+1)$-мерном пространстве Лобачевского вводится полугеодезическая система координат $x_1,x_2,\dots,x_n;z$, в которой поверхность $z=0$ есть орисфера $Q_0$. По своей внутренней геометрии $Q_0$ евклидова $n$-мерная плоскость, а $x_1,x_2,\dots,x_n$ – система декартовых координат в $Q_0$. Пусть $\Omega$ – ограниченная выпуклая область на $Q_0$. В работе исследуется вопрос о возможности построения гиперповерхности $S$ с данным краем, ортогонально однолистно проектирующуюся геодезическими, перпендикулярными $Q_0$, на $\Omega$ и такую, что в точках $S$ с проекцией $(x_1,\dots,x_n)\in\Omega$ средняя кривизна $S$ совпадает с заранее заданной в $\Omega$ функцией $H(x_1,\dots,x_n)$. Основной результат таков. Пусть на орисфере $Q_0$ дана выпуклая область класса $C^{m,\alpha}$, нормальные кривизны границы которой в любой точке $\partial\Omega$ не меньше постоянной $\varkappa_0>0$. Пусть, далее, $H(x_1,\dots,x_n)\in C^{m-2,\alpha}$ и $H(x_1,\dots,x_n)\leq0$, а на $\partial\Omega$ задана функция $h(x)\in C^{m,\alpha}$. Положим $k=\sqrt{-1/K}$, где $K$ – кривизна пространства Лобачевского. Тогда, если выполнено неравенство
$$\frac{\psi_H^n}{h^n_1}<\frac{\varkappa^n_0}{V_n}A(N_H),$$
где
$$\psi_H=\sup_\Omega(1-kH(x_1,\dots,x_n)),\quad h_1=\inf_{\partial\Omega}ke^{\dfrac{h(x_1,\dots,x_n)}{k}},$$
$v_n$ – объем единичного $n$-мерного евклидова шара, и наконец,
$$A(N_H)= \int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} \biggl[1+\biggl(\sqrt{\sum_{k=1}^n u_k^2}+\sqrt{M_H}\biggr)^2\biggr] \,du_1\dots du_n,$$
$M_H$ – нижнее извивание заданного заранее края искомой поверхности (И. Я. Бакельман, Гиперповерхности с данной средней кривизной и квазилинейные уравнения с сильными нелинейностями, Матем. сб., 74, № 4 (1968)), то сформулированная выше задача имеет в $C^2(\Omega)$ единственное решение; это решение дается функцией класса
$$C^{m,\alpha'}(\Omega+\partial\Omega)\quad (m\geq3,\quad 0<\alpha'\leq\alpha\leq1).$$
Попутно получены имеющие самостоятельный интерес оценки высот и наклонов касательных плоскостей к орисфере через свойства средней кривизны и края искомой гиперповерхности.