Оценки для некоторых дифференциальных операторов с конечномерным ядром

Пусть $v(x)=(v_1(x),v_2(x),\dots,v_n(x))$ – вектор-функция, определенная в области пространства $R^n$. Полагаем
$$\begin{gather} q^{(1)}_{ij}(x)=\frac{\partial v_i}{\partial x_j}(x)+\frac{\partial v}{\partial x_i}(x) \quad (i,j=1,2,\dots,n),\notag\\ q^{(2)}_{ij}(x)=q^{(1)}_{ij}(x)\quad\text{при}\quad i\neq j, \quad q^{(2)}_{i}(x)=\frac{\partial v_i}{\partial x_i}(x) -\frac1n\operatorname{div}v(x).\notag \end{gather}$$
Получены следующие оценки:
$$\|v-P_1v\|_{W_p^1}\leq C\sum_{i,j=1}^n \|q^{(1)}_{ij}\|_{L_p},\quad \|v-Pv\|_{W^1_p}\leq C\sum_{i,j=1}^n \|q^{(2)}_{ij}\|_{L_p},$$
где $P_1$ и $P_2$ – операторы, ограниченные в $W_p^1$ и проектирующие $W_p^1$ на пространства решений уравнений $q^{(1)}_{ij}(x)$, $q^{(2)}_{ij}(x)=0$ соответственно.