| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Версальные семейства эллиптических кривых с рациональным 3-кручением Б. М. Беккерa, Ю. Г. Зархинb a Математико-механический факультет, Санкт-Петербургский государственный университет b Department of Mathematics, Pennsylvania State University, University Park, PA, USA
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2021, Volume 212, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/SM9429 
Реферативные базы данных:
      § 1. ВведениеВ связи с доказательством последней теоремы Ферма, данным А. Уайлсом (см. [10]), возрос интерес к явному построению семейств эллиптических кривых E с предписанной структурой (классом изоморфизма) модуля Галуа для n-кручения E[n] при малых n (см. [5], [8], [6], [7], [1], а также [4], [2]). В настоящей статье мы рассматриваем случай n=3 и строим версальные семейства эллиптических кривых E над произвольным полем K0 характеристики, отличной от 2 и 3, в случае, когда 3-кручение E[3] либо определено над K0, либо как Gal(Ks0/K0)-модуль Галуа изоморфно Z/3Z⊕μ3, где μ3 – модуль Галуа корней степени 3 из 1. В дальнейшем мы называем отмеченной эллиптической кривой над полем K0 пару (E,O), состоящую из эллиптической кривой E, определенной над K0, и ее точки O∈E(K0), которую мы принимаем за нуль группового закона на E. Eсли (E1,O1) и (E2,O2) – две отмеченные эллиптические кривые над K0, то под K0-изоморфизмом (E1,O1)→(E2,O2) мы всегда понимаем K0-бирегулярное отображение E1→E2, переводящее O1 в O2. Такое отображение является изоморфизмом коммутативных алгебраических K0-групп (E1,O1) и (E2,O2). Статья организована следующим образом. В § 2 содержатся вспомогательные результаты о точках порядка 3 на эллиптических кривых, включая обсуждение вопросов рациональности (теорема 1). В § 3 строится двумерное версальное семейство эллиптических кривых c рациональным 3-кручением над произвольным полем K0 характеристики, отличной от 2 и 3 (следствие 3). В § 4 строится двумерное версальное семейство эллиптических кривых c 3-кручением, изоморфным Z/3Z⊕μ3 над полями, не содержащими √−3 (теорема 4). В § 5 вычисляется спаривание Вейля между явно указанными точками порядка 3 одного из рассматриваемых версальных семейств. § 2. Точки порядка 3Пусть K – алгебраически замкнутое поле характеристики charK≠2, K0 – подполе поля K. Всякая отмеченная над K0 эллиптическая кривая (E,O) K0-изоморфна эллиптической кривой (Ef,∞), где Ef – гладкая проективная геометрически неприводимая кривая рода 1, заданная уравнением y2=f(x), а f(x)∈K0[x] – приведенный многочлен степени 3 без кратных корней, ∞ – единственная “бесконечная” точка на Ef. Таким образом (в очевидных обозначениях), K0-изоморфизм (Ef1,∞1)→(Ef2,∞2) переводит ∞1 в ∞2, и в дальнейшем эллиптическая кривая (Ef,∞) будет обозначаться просто Ef. Обозначим через инволюцию на Ef, заданную вышеприведенными формулами и совпадающую с умножением на −1 в коммутативной алгебраической группе Ef.Для любого натурального числа n обозначим через E[n] ядро умножения на n в E(K). Хорошо известно (см. [9]), что E[n] – конечная подгруппа группы E(K) (ее порядок делит n2), все точки которой определены над алгебраическим замыканием ¯K0⊂K поля K0, а если charK не делит n, то – даже над сепарабельным алгебраическим замыканием Ks0⊂¯K0⊂K поля K0. В последнем случае E[n] – свободный Z/nZ-модуль ранга 2, снабженный естественным действием абсолютной группы Галуа Gal(Ks0/K0) поля K0. Мы будем говорить, что n-кручение кривой E рационально или определено над K0, если charK∤n и все точки из E[n] определены над K0, т.е. модуль Галуа E[n] изоморфен (Z/nZ)2 с тривиальным действием абсолютной группы Галуа поля K0. В настоящей работе мы сосредоточимся на случае n=3. Под 3-оснащением отмеченной кривой (E,O) над K0 (ср. [3; определение 18]) мы понимаем выбор упорядоченной пары точек P,Q∈E(K0) порядка 3 на E, порождающих все 3-кручение E[3] на E. (Такой выбор возможен тогда и только тогда, когда charK≠3 и все точки из E[3] определены над K0.) Таким образом, 3-оснащенная отмеченная эллиптическая кривая над K0 представляет собой четверку (E,O,P,Q), где точки P,Q∈E[3]∩E(K0) таковы, что подгруппа ⟨P,Q⟩ в E, порожденная P и Q, совпадает с E[3]; 3-оснащенная эллиптическая кривая (Ef,∞,P,Q) будет обозначаться просто (Ef,P,Q). Если E1=(E1,O1,P1,Q1) и E2=(E2,O2,P2,Q2) – 3-оснащенные отмеченные эллиптические кривые над K0, то под K0-изоморфизмом E1→E2 мы понимаем K0-бирегулярное отображение E1→E2, переводящее O1 в O2, P1 в P2 и Q1 в Q2. Нам понадобятся два следующих простых, но полезных утверждения. Лемма 1. Пусть (E,O) – отмеченная эллиптическая кривая над полем K0 с charK0≠3. Тогда следующие условия эквивалентны. (i) E[3]⊂E(K0). (ii) Существуют точки P, Q в E(K0) порядка 3 такие, что четверка (E,O,P,Q) – 3-оснащенная отмеченная эллиптическая кривая над K0. (iii) Существуют точки P, Q порядка 3 в E(K0) такие, что P≠±Q. Доказательство. Напомним, что E[3] – векторное пространство над полем F3. Выберем какой-нибудь его базис, состоящий из двух точек P, Q.
Если выполнено условие (i), то P, Q принадлежат E(K0) и порождают E[3], т.е. (E,O,P,Q) – 3-оснащенная отмеченная эллиптическая кривая над K0 и, таким образом, выполнено условие (ii). Если выполнено (ii) и (E,O,P,Q) – 3-оснащенная отмеченная эллиптическая кривая над K0, то P и Q порождают E[3] и, следовательно, P≠±Q, что доказывает (iii). Если выполнено (iii), то P и Q порождают двумерное подпространство над F3 в E[3]. Поскольку само E[3] двумерно, P и Q порождают все E[3]. Так как P,Q∈E(K0), мы получаем E[3]⊂E(K0), что доказывает (i). Лемма доказана. Лемма 2. Пусть (E,O) – отмеченная эллиптическая кривая над полем K0 с charK0≠3. Предположим, что √−3∉K0, и рассмотрим квадратичное расширение K3=K0(√−3) поля K0, обозначив через σ:K3→K3 его единственный нетривиальный автоморфизм над K0. Тогда следующие условия эквивалентны. (i) Gal(Ks0/K0)-модуль E[3] изоморфен Z/3Z⊕μ3. (ii) Существуют точки P∈E(K0) и Q∈E(K3) порядка 3 такие, что σ(Q)=−Q. Доказательство. Пусть выполнено условие (i), т.е. существует изоморфизм Gal(Ks0/K0)-модулей ϕ:E[3]≅Z/3Z⊕μ3. Рассмотрим в Z/3Z⊕μ3 элементы и положим P:=\phi^{-1}(1\bmod 3) \in E[3], Q=\phi^{-1}(\omega)\in E[3]. Так как \phi – изоморфизм \operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)-модулей, то Это означает, что выполнено условие (ii).
Пусть выполнено условие (ii). Обозначим через A (соответственно через B) одномерное \mathbb F_3-подпространство в E[3], порожденное P (соответственно Q). Из условий на P и Q вытекает, что A и B пересекаются только в нуле и являются \operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)-подмодулями в E[3], изоморфными \mathbb Z/3\mathbb Z и \mu_3 соответственно. Из двумерности векторного пространства E[3] вытекает, что E[3] равно A\oplus B и, следовательно, изоморфно как \operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)-модуль прямой сумме \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3. Тем самым, выполнено условие (i). Лемма доказана. Замечание 1. В обозначениях леммы 2 четверка (E,O,P,Q) является 3-оснащенной отмеченной эллиптической кривой над K_3. Замечание 2. Пусть E_f – эллиптическая кривая, удовлетворяющая условиям леммы 2. Пусть точки P \in E_f(K_0) и Q\in E_f(K_3) порядка 3 такие, что \sigma(Q)\,{=}\,{-}Q. Тогда разность x(P)-x(Q) абсцисс точек P и Q лежит в K_0 и не зависит от выбора таких P и Q. Действительно, x(P)\in K_0 по условию. Далее, \sigma (x(Q))=x(\sigma(Q))= x(-Q)=x(Q), откуда x(Q)\in K_0 и x(P)-x(Q)\in K_0. Пусть P_1, Q_1 – другая пара точек порядка 3 кривой E_f, для которой P_1 \in E_f(K_0), Q_1\in E_f(K_3) и \sigma(Q_1)=-Q_1. Так как P_1=kP+lQ и Q_1=mP+nQ, где k,l,m,n\in\{0,1,-1\}, то P_1=\sigma(P_1)=kP-lQ, -Q_1=\sigma(Q_1)=mP-nQ. Из равенств kP+lQ=kP-lQ, -mP-nQ=mP-nQ получаем, что l=0, m=0, и, таким образом, с учетом того, что P_1, Q_1 – точки порядка 3, получаем, что P_1=kP и Q_1=nQ, где k,n\in\{1,-1\}. Так как x(P)=x(-P) и x(Q)=x(-Q), то x(P)-x(Q)=x(P_1)-x(Q_1). Пусть теперь E_g\colon y^2=g(x) – произвольная эллиптическая кривая над K_0, на которой существует пара точек R, S порядка 3 таких, что R \in E_g(K_0), S\in E_g(K_3) и \sigma(S)=-S. Если существует K_0-изоморфизм \varphi\colon E_g\to E_f отмеченных кривых, то \varphi(R)=\pm P, \varphi(S)=\pm Q и x(R)=x(P)u^2+r, x(S)=x(Q)u^2+r для некоторых u\in K_0^{\times} и r\in K_0, откуда x(R)-x(S)=(x(P)-x(Q))u^2. Пусть теперь (E,O) – произвольная отмеченная эллиптическая кривая над полем K_0 характеристики \operatorname{char} K_0\ne3 и E[3]\cong\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3 как \operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)-модули. Кривая (E,O) K_0-изоморфна кривой E_f для некоторого f. Пусть точки P\,{\in}\,E(K_0) и Q\,{\in}\,E(K_3) таковы, что \sigma(P)\,{=}\,P и \sigma(Q)\,{=}\,{-}Q, и \varphi\colon (E,O)\,{\to}\,E_f – K_0-изоморфизм отмеченных эллиптических кривых. Сопоставим кривой (E,O) разность x(\varphi(P))-x(\varphi(Q)) абсцисс точек \varphi(P) и \varphi(Q). По отмеченному выше x(\varphi(P))-x(\varphi(Q))\in K_0 и класс \nu(E,O) разности x(\varphi(P))-x(\varphi(Q))\in K_0^{\times} по модулю K_0^{\times2} не зависит от выбора изоморфизма \varphi. Если (E_i,O_i) (i\,{=}\,1,2) – K_0-изоморфные отмеченные эллиптические кривые, для которых E_i[3]\cong\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3 , то \nu(E_1,O_1)=\nu(E_2,O_2)\in K_0^{\times}/K_0^{\times2}. Теорема 1. Пусть E_f – эллиптическая кривая над K, заданная уравнением y^2=f(x), где f(x) – приведенный многочлен степени 3 над K без кратных корней. Пусть P=(x_0,y_0) – K-точка кривой E_f. Если P имеет порядок 3, то существует единственный многочлен v(x)\in K[x] степени \leqslant 1 такой, что f(x)=(x-x_0)^3+v(x)^2, причем y_0= v(x_0). Обратно, пусть x_0\in K, v(x) – многочлен над K степени \leqslant 1 и многочлен f(x)=(x-x_0)^3+v(x)^2 не имеет кратных корней. Тогда точка (x_0,v(x_0)) имеет порядок 3 на эллиптической кривой E_f. Доказательство. Пусть P=(x_0,y_0) – K-точка порядка 3 на E_f. Тогда дивизор 3(P)-3(\infty) главный. Пусть функция h такова, что \operatorname{div}(h)=3(P)\,{-}\,3(\infty). Имеем h\in L(3(\infty))\setminus L(2(\infty)). По теореме Римана–Роха \dim(L(3(\infty))=3. Функции 1, x, y лежат в L(3(\infty)), так как (x)_{\infty}=2(\infty) и (y)_{\infty}=3(\infty). Кроме того, они линейно независимы, так как порядки их полюсов в \infty различны. Значит, эти функции образуют базис пространства L(3(\infty)). Таким образом, функция h единственным образом представляется в виде h=\gamma y-\alpha-\beta x, где \alpha,\beta,\gamma\in K. Так как h\not\in L(2(\infty)), то \gamma\neq 0, откуда следует (1/{\gamma})h=y- {\alpha}/{\gamma}-(\beta/\gamma) x. Пусть v(x)={\alpha}/{\gamma}+ ({\beta}/{\gamma}) x. Тогда
\begin{equation*}
\operatorname{div}(y-v(x))=\operatorname{div}(h)=3(P)-3(\infty).
\end{equation*}
\notag
Таким образом, дивизор нулей функции y\,{-}\,v(x) совпадает с 3(P). В частности, y_0=v(x_0). Заметим, что точка \iota(P)=(x_0,-y_0) тоже имеет порядок 3. Дивизор нулей функции y+v(x) равен 3(\iota(P)). Так как P\neq \iota(P), то дивизор нулей функции равен 3(P)+3(\iota(P)). Это означает, что многочлен f(x)-v^2(x) имеет вид (x\,{-}\,x_0)^3, откуда f(x)=(x-x_0)^{3}+v^2(x). Единственность такого многочлена v(x) при условии v(x_0)=y_0 очевидна.
Докажем обратное утверждение. Рассмотрим эллиптическую кривую y^2=(x-x_0)^{3}+v^2(x), где v(x)\in K[x] – многочлен степени \leqslant 1 и v(a)\neq0, и докажем, что точка P=(x_0,y_0), где y_0=v(x_0) имеет порядок 3. Из равенства y^2-v^2(x)=(x-x_0)^{3} вытекает, что нули функции y\,{-}\,v(x) – точки с абсциссой x_0. Поскольку точка P=(x_0,y_0) – нуль функции y\,{-}\,v(x), а точки P и \iota(P) одновременно нулями этой функции быть не могут, то носитель дивизора нулей этой функции состоит из одной точки P. Так как дивизор полюсов этой функции имеет вид 3(\infty), то дивизор функции y-v(x) равен 3(P)-3(\infty). Таким образом, 3\operatorname{cl}((P)-(\infty))=0, и следовательно, точка P имеет порядок, делящий 3. Так как P\neq \infty, то порядок P равен 3. Теорема доказана. Замечание 3. Вычислим дискриминант \Delta(a,b) многочлена Напомним, что согласно стандартной формуле дискриминант приведенного кубического многочлена x^3+Ax^2+Bx+C равен Подставляя в эту формулу A=a^2, B=2ab, C=b^2, получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta(a,b) &=(a^2)^2 (2ab)^2-4(a^2)^3b^2+18(a^2)(2ab)(b^2)-4(2ab)^3-27(b^2)^2 \\ &=4a^6 b^2-4a^6 b^2+36 a^3 b^3-32a^3 b^3-27 b^4=4a^3 b^3-27 b^4=b^3(4a^3-27b). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Тем самым, Это значит, что многочлен x^3+(ax+b)^2 не имеет кратных корней в том и только том случае, если b \ne 0, 4a^3-27b \ne 0. Если \operatorname{char} K =3, то эти условия эквивалентны неравенствам a \ne 0, b \ne 0. Нам понадобится следующая простая лемма. Лемма 3. Пусть K_0 – подполе поля K и v(x)\in K[x] – многочлен степени {\leqslant}\,1 такой, что v(x)^2 \in K_0[x]. Предположим, что существуют x_0, y_0 \in K_0 такие, что v(x_0)=y_0 \ne 0. Тогда v(x) \in K_0[x]. Доказательство. Пусть v(x)\,{=}\,ax\,{+}\,b. Так как v^2(x)\,{\in}\, K_0, то a^2, ab, b^2\,{\in}\, K_0. Кроме того, ax_0+b=y_0\in K_0, откуда Если x_0=0, то из равенства ax_0+b=y_0 получаем b=y_0\in K_0, и в силу ab\in K_0 получаем, что a\in K_0. Если x_0\neq0, то из равенства (2.2) получаем, что a\in K_0, и опять в силу ab\in K_0 получаем, что b\in K_0. Лемма доказана. Следствие 1. Пусть K_0 – подполе поля K и f(x)\in K_0[x]\subset K[x] – кубический многочлен без кратных корней. Тогда если эллиптическая кривая E_f имеет K_0-точку P=(x_0,y_0) порядка 3, то существует единственный многочлен v(x)\,{\in}\,K_0[x] степени \leqslant 1, для которого v(x_0)\,{=}\,y_0\neq0, f(x)\,{=}\,(x\,{-}\,x_0)^{3}+v^2(x). Доказательство. В силу теоремы 1 существует единственный многочлен v(x)\in K[x] такой, что v(x_0)=y_0, f(x)=(x-x_0)^{3}+v^2(x). Так как P – точка порядка 3, то y_0\neq0. Из леммы 3 получим v(x)\in K_0[x]. Следствие доказано. Замечание 4. Для всякой отмеченной эллиптической кривой (E, O) над K_0, имеющей K_0-точку P порядка 3, существует K_0-бирегулярный изоморфизм \varphi между E и эллиптической кривой, заданной уравнением вида y^2\,{=}\,x^3\,{+}\,(ax\,{+}\,b)^2, где a,b\in K_0, многочлен x^3+(ax+b)^2 не имеет кратных корней и \varphi(O)=\infty, \varphi(P)=(0,v(0)). Кроме того, две отмеченные (с помощью бесконечных точек) эллиптические кривые y^2 =x^3+(ax+b)^2 и y^2 =x^3+(cx+d)^2 изоморфны над K_0 в том и только том случае, если a^3d=c^3b. Замечание 5. (i) Пусть \operatorname{char} K_0=3 и (E,O) – отмеченная эллиптическая кривая над K_0. Из теоремы 1 и замечания 3 вытекает, что группа E(K_0) содержит точку порядка 3 в том и только том случае, если (E,O) изоморфна над K_0 эллиптической кривой y^2 =x^3+(ax+b)^2 (c отмеченной \infty) при некоторых ненулевых a,b\in K_0. (ii) Предположим дополнительно, что K_0=\mathbb F_3. Тогда согласно замечанию 3 для любых ненулевых a,b \in \mathbb F_3 кубический многочлен x^3+(ax+b)^2 не имеет кратных корней. Поскольку пары (a,b) и (-a,-b) задают один и тот же кубический многочлен x^3+(ax+b)^2, мы получаем, что существуют (с точностью до \mathbb F_3-изоморфизма) ровно две (отмеченные) эллиптические кривые
\begin{equation*}
E_{1}\colon y^2=x^3+(x+1)^2, \qquad E_{-1}\colon y^2=x^3+(x-1)^2
\end{equation*}
\notag
над \mathbb F_3 такие, что их группы \mathbb F_3-точек содержат элемент порядка 3; в частности, порядок \#(E_i(\mathbb F_3)) конечной коммутативной группы E_i(\mathbb F_3) делится на 3. Из оценок Хассе вытекает, что для любой эллиптической кривой E над \mathbb F_3 порядок \#(E(\mathbb F_3)) группы E(\mathbb F_3) не превосходит 3\,{+}\,2\sqrt{3}\,{+}\,1\,{<}\,8\,{<}\,3\,{\times}\, 3. Отсюда следует, что либо \#(E_i(\mathbb F_3))=3 и E_i(\mathbb F_3)\cong \mathbb Z/3\mathbb Z, либо \#(E_i(\mathbb F_3))=6 и E_i(\mathbb F_3)\cong \mathbb Z/6\mathbb Z. У многочлена x^3+(x+1)^2 нет корней в \mathbb F_3, поэтому E_1(\mathbb F_3) не содержит точек порядка 2 и, следовательно, E_1(\mathbb F_3)\cong \mathbb Z/3\mathbb Z. Многочлен x^3+(x-1)^2 имеет корень -1 \in \mathbb F_3, поэтому E_{-1}(\mathbb F_3) содержит точку (-1,0) порядка 2 и, следовательно, E_{-1}(\mathbb F_3)\cong \mathbb Z/6\mathbb Z. § 3. Эллиптические кривые с рациональным 3-кручениемВсюду далее мы предполагаем, что \operatorname{char}K_0\ne 2,3. Следствие 2. Пусть f(x)\in K_0[x] – приведенный кубический многочлен без кратных корней. Тогда 3-кручение эллиптической кривой E_f определено над K_0 в том и только том случае, если существуют x_0, x_1\in K_0, x_0\neq x_1, и многочлены v_0(x), v_1(x)\in K_0[x] степени \leqslant 1 такие, что v_0(x_0)\neq0, v_1(x_1)\neq0 и f(x)=(x-x_0)^3+v_0^2(x)=(x-x_1)^3+v_1^2(x). Обратно, пусть многочлены v_0(x), v_1(x)\in K_0[x] степени \leqslant 1 таковы, что v_0(x_0)\neq0, v_1(x_1)\neq0, приведенный кубический многочлен f(x):=(x-x_0)^3+v_0^2(x) не имеет кратных корней и выполняется равенство Тогда уравнение y^2=(x-x_0)^3+v_0(x)^2 определяет эллиптическую кривую, 3-кручение которой определено над K_0. При этом точки P=(x_0,v_0(x_0)) и Q=(x_1,v_1(x_1)) лежат в группе E_f(K_0), где они имеют порядок 3 и образуют базис \mathbb Z/3\mathbb Z-модуля E_f[3].Доказательство непосредственно вытекает из следствия 1. Опишем явно все такие эллиптические кривые. Заметим, что любая эллиптическая кривая с двумя парами K_0-точек порядка 3 изоморфна кривой, у которой абсциссы точек порядка 3 равны 0 и -\alpha, где \alpha\in K_0^{\times}. В этом случае требуемое равенство перепишется в виде откуда следует
\begin{equation}
(v_0(x)-v_1(x))(v_0(x)+v_1(x))=\alpha(3x^2+3x\alpha+\alpha^2) =3\alpha(x-\eta_1\alpha)(x-\eta_2\alpha),
\end{equation}
\tag{3.1}
где \eta_1=1/(\varepsilon-1), \eta_2=1/(\varepsilon^2-1), \alpha\neq0 и \varepsilon – первообразный корень степени 3 из 1. Тогда
\begin{equation*}
v_0(x)+v_1(x)=\alpha\mu(x-\eta_1\alpha), \qquad v_0(x)-v_1(x)=\frac 3{\mu}(x-\eta_2\alpha)
\end{equation*}
\notag
для некоторого \mu \in K^{\times}. Получаем
\begin{equation}
v_0(x)=\frac{\alpha\mu}2(x-\eta_1\alpha)+\frac3{2\mu}(x-\eta_2\alpha) =\biggl(\frac{\alpha\mu}2+\frac3{2\mu}\biggr)x-\biggl(\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2+\frac3{2\mu}\eta_2\alpha\biggr),
\end{equation}
\tag{3.2}
\begin{equation}
v_1(x)=\frac{\alpha\mu}2(x-\eta_1\alpha)-\frac3{2\mu}(x-\eta_2\alpha) =\biggl(\frac{\alpha\mu}2-\frac3{2\mu}\biggr)x-\biggl(\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2-\frac3{2\mu}\eta_2\alpha\biggr),
\end{equation}
\tag{3.3}
\begin{equation}
v_0(0)=-\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2- \frac{3}{2\mu}\eta_2\alpha, \qquad v_1(-\alpha)=\frac{\alpha^2\mu}{2} \eta_2-\frac{3\alpha}{2\mu} \eta_1.
\end{equation}
\tag{3.4}
Теорема 2. Пусть (E,O,P,Q) – 3-оснащенная эллиптическая кривая над полем K_0. Тогда (E, O, P, Q) K_0-изоморфна (\mathscr E_{\mu,\alpha}, \infty, R_{\mu,\alpha}, S_{\mu,\alpha}), где
\begin{equation}
\mathscr{E}_{\mu,\alpha}\colon y^2=x^3+\biggl(\biggl(\frac{\alpha\mu}2+\frac3{2\mu}\biggr)x -\biggl(\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2+\frac{3}{2\mu}\eta_2\alpha\biggr)\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{3.5}
\mu,\alpha\in K_0^{\times}, многочлен в правой части равенства (3.5) не имеет кратных корней и
\begin{equation}
R_{\mu,\alpha}=\biggl(0,-\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2- \frac{3}{2\mu}\eta_2\alpha\biggr), \qquad S_{\mu,\alpha}=\biggl(-\alpha,\frac{\alpha^2\mu}{2} \eta_2-\frac{3\alpha}{2\mu} \eta_1 \biggr).
\end{equation}
\tag{3.6}
Обратно, для любых \mu,\alpha\in K_0^{\times} таких, что многочлен в правой части равенства (3.5) не имеет кратных корней, точки R_{\mu,\alpha} и S_{\mu,\alpha}, заданные формулами (3.6), лежат в \mathscr E_{\mu,\alpha}(K_0) и имеют там порядок 3. Доказательство. Прямое утверждение мы уже доказали. Для доказательства обратного заметим, что многочлен в правой части равенства (3.5) имеет вид x^3+v_0(x)^2, а также может быть представлен в виде (x+\alpha)^3+v_1(x)^2, где многочлены v_0(x) и v_1(x) заданы равенствами (3.2) и (3.3). Теперь результат немедленно вытекает из теоремы 2 с учетом равенств (3.4). Замечание 6. Из замечания 3 вытекает, что многочлен в правой части равенства (3.5) не имеет кратных корней в том и только том случае, если выполняются условия Следствие 3. Рассмотрим семейство эллиптических кривых (3.5) \mathscr{E}_{\mu,\alpha} над K_0, где \mu, \alpha \in K_0 удовлетворяют следующим условиям:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mu \ne 0, \qquad \alpha \ne 0, \qquad \frac{\mu}2\eta_1\alpha+\frac{3}{2\mu}\eta_2\neq0, \\ 4\biggl(\frac{\alpha\mu}2+\frac3{2\mu}\biggr)^3 +27\biggl(\frac{\mu}2\eta_1\alpha^2+\frac{3}{2\mu}\eta_2\alpha\biggr)\neq0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
Тогда: (i) для всех таких \mu, \alpha имеем \mathscr{E}_{\mu,\alpha}[3]\subset \mathscr{E}_{\mu,\alpha}(K_0); (ii) для любой отмеченной эллиптической кривой (E,O) над K_0 такой, что E[3]\subset E(K_0), найдутся \mu,\alpha \in K_0, удовлетворяющие условиям (3.7) и такие, что (E,O) изоморфна (\mathscr{E}_{\mu,\alpha},\infty) над K_0. По лемме 1 требуемый результат вытекает из теоремы 2 и замечания 6. Замечание 7. Уравнение кривой (3.5) может быть также записано в виде Замечание 8. Уравнение (3.5) можно преобразовать к виду
\begin{equation}
\mathscr{E}_{\lambda,\alpha}\colon y^2=x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha\lambda-\frac1{\lambda}\biggr)x -\biggl(\lambda\eta_1\alpha^2-\frac1{\lambda}\eta_2\alpha\biggr)\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{3.9}
а уравнение (3.8) – к виду
\begin{equation}
\mathscr{E}_{\lambda,\alpha}\colon y^2=(x+\alpha)^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha\lambda+\frac1{\lambda}\biggr)x- \biggl(\lambda\eta_1\alpha^2+\frac1{\lambda}\eta_2\alpha\biggr)\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{3.10}
где многочлены в правых частях равенств не имеют кратных корней и \lambda= \mu/\sqrt{-3}. Выясним, при каких условиях эллиптические кривые \mathscr{E}_{\lambda_1,\alpha_1} и \mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2} из семейства (3.9) изоморфны. Напомним, что произвольный K_0-изоморфизм отмеченных эллиптических кривых \varphi\colon E_f\to E_g, где E_f\colon y^2=f(x), E_g\colon y^2=g(x) и f(x), g(x)\in K_0[x] – кубические многочлены без кратных корней, имеет вид где u\in K_0^{\times}, r\in K_0. Применим это к кривым \mathscr{E}_{\lambda_1,\alpha_1} и \mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2} (с отмеченными бесконечными точками). Всякий изоморфизм \varphi\colon E_{\lambda_1,\alpha_1}\to E_{\lambda_2,\alpha_2} переводит точки порядка 3 в точки порядка 3. Пусть P=(0, \beta), где \beta= \lambda_1\eta_1\alpha_1^2-(1/{\lambda_1})\eta_2\alpha_1 – одна из точек порядка 3 на \mathscr{E}_{\lambda_1,\alpha_1}. Если образ точки P имеет абсциссу 0, то r=0 и Если образ точки P имеет абсциссу -\alpha_2, то r=-\alpha_2 и Рассмотрим первый случай. Тогда получаем
\begin{equation*}
\alpha_2\lambda_2-\frac{1}{\lambda_2}=\biggl(\alpha_1\lambda_1-\frac{1}{\lambda_1}\biggr)u, \qquad \lambda_2\eta_1\alpha_2^2-\frac{1}{\lambda_2}\eta_2 \alpha_2 =\biggl(\lambda_1\eta_1\alpha_1^2-\frac{1}{\lambda_1}\eta_2\alpha_1\biggr)u^3,
\end{equation*}
\notag
откуда следует
\begin{equation*}
\frac{(\alpha_2\lambda_2^2-1)^3}{\lambda_2^2(\lambda_2^2\eta_1\alpha_2^2-\eta_2\alpha_2)}= \frac{(\alpha_1\lambda_1^2-1)^3}{\lambda_1^2(\lambda_1^2\eta_1\alpha_1^2-\eta_2\alpha_1)}.
\end{equation*}
\notag
Во втором случае запишем уравнение кривой \mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2} в виде
\begin{equation}
\mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2}\colon y^2=(x+\alpha_2)^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)x -\biggl(\alpha_2^2\lambda_2\eta_1+\frac1{\lambda_2}\eta_2\alpha_2\biggr)\biggr)^2.
\end{equation}
\tag{3.13}
Подставив выражения для x и y из равенства (3.12) в (3.13), получим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u^6y^2=u^6x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)(u^2x-\alpha_2) -\biggl(\alpha_2^2\lambda_2\eta_1+\frac1{\lambda_2}\eta_2\alpha_2\biggr)\biggr)^2, \\ u^6y^2=u^6x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)u^2x-\alpha_2^2\lambda_2-\frac1{\lambda_2}\alpha_2 -\alpha_2^2\lambda_2\eta_1-\frac1{\lambda_2}\eta_2\alpha_2\biggr)^2, \\ u^6y^2=u^6x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)u^2x -\biggl(\alpha_2^2\lambda_2(1+\eta_1)+\frac1{\lambda_2}\alpha_2(1+\eta_2)\biggr)\biggr)^2, \\ y^2=x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha_2\lambda_2+\frac1{\lambda_2}\biggr)x\frac 1u -\biggl(\alpha_2^2\lambda_2(1+\eta_1)+\frac1{\lambda_2}\alpha_2(1+\eta_2)\biggr)\frac1{u^3}\biggr)^2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
откуда следует
\begin{equation*}
\alpha_2\lambda_2+\frac{1}{\lambda_2}=\biggl(\alpha_1\lambda_1-\frac{1}{\lambda_1}\biggr)v, \qquad \alpha_2^2\lambda_2\eta_2+\frac1{\lambda_2}\eta_1\alpha_2=\biggl(\lambda_1\eta_1\alpha_1^2-\frac{1}{\lambda_1}\eta_2\alpha_1\biggr)v^3,
\end{equation*}
\notag
где v=\pm u. Таким образом,
\begin{equation*}
\frac{(\alpha_2\lambda_2^2+1)^3}{\lambda_2^2(\alpha_2^2\lambda_2^2(1+\eta_1)+\alpha_2(1+\eta_2))}= \frac{(\alpha_1\lambda_1^2-1)^3}{\lambda_1^2(\lambda_1^2\eta_1\alpha_1^2-\eta_2\alpha_1)}.
\end{equation*}
\notag
Мы доказали следующее утверждение. Теорема 3. Пусть (E,O) – отмеченная эллиптическая кривая над полем K_0, 3-кручение которой определено над K_0. Тогда (E, O) K_0-изоморфна эллиптической кривой
\begin{equation}
\mathscr{E}_{\lambda,\alpha}\colon y^2=x^3-\frac34\biggl(\biggl(\alpha\lambda-\frac1{\lambda}\biggr)x -\biggl(\lambda\eta_1\alpha^2-\frac1{\lambda}\eta_2\alpha\biggr)\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{3.14}
где \lambda, \alpha\in K_0^{\times} и многочлен в правой части равенства не имеет кратных корней. Две отмеченные кривые \mathscr{E}_{\lambda_1,\alpha_1} и \mathscr{E}_{\lambda_2,\alpha_2} из семейства (3.14) являются K_0-изоморфными в том и только том случае, если выполняется одно из равенств
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{(\alpha_2\lambda_2^2-1)^3}{\lambda_2^2(\lambda_2^2\eta_1\alpha_2^2-\eta_2\alpha_2)}= \frac{(\alpha_1\lambda_1^2-1)^3}{\lambda_1^2(\lambda_1^2\eta_1\alpha_1^2-\eta_2\alpha_1)}, \\ \frac{(\alpha_2\lambda_2^2+1)^3}{\lambda_2^2(\alpha_2^2\lambda_2^2(1+\eta_1)+\alpha_2(1+\eta_2))}= \frac{(\alpha_1\lambda_1^2-1)^3}{\lambda_1^2(\lambda_1^2\eta_1\alpha_1^2-\eta_2\alpha_1)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
§ 4. Версальные семейства эллиптических кривых с E[3]\simeq \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3Пусть \operatorname{char} K\neq2,3, K_0 – подполе поля K, не содержащее \sqrt{-3}, K_3=K_0(\sqrt{-3}), f(x)\in K_0[x] – приведенный кубический многочлен без кратных корней и E_f\colon y^2=f(x) – соответствующая эллиптическая кривая над K_0. Пусть модуль Галуа E[3] изоморфен \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3. Выберем \sqrt{-3}\in K_3. По лемме 2 мы можем считать, что на E_f найдутся K_0-точка P=(x_0,b_1) порядка 3 и K_3-точка Q=(-\alpha,\sqrt{-3}\,\beta) порядка 3, антиинвариантная относительно нетривиального автоморфизма расширения полей K_3/K_0, где x_0, \alpha,\beta\in K_0. Заменив отмеченную кривую (E,O) на K_0-изоморфную, мы можем считать, что x_0=0, т.е. P=(0,b_1). Применяя теорему 1 к полю K_0 и к полю K_3, мы получаем, что существуют многочлены v_0(x)\in K_0[x] и v_1(x)\in K_3[x] такие, что \deg v_0(x)\leqslant 1, \deg v_1(x)\leqslant1 и причем b_1=v_0(0) и \sqrt{-3}\,\beta=v_1(-\alpha), откуда следует Положим v_2(x)\,{=}\,v_1(x)/\sqrt{-3}. Заметим, что v_2^2(x)\,{\in}\,K_0[x]. Кроме того, v_2(-\alpha)=\beta\neq0. Из леммы 3 вытекает, что v_2(x)\in K_0[x]. Получаем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &3\alpha(x-\eta_1\alpha)(x-\eta_2\alpha)=(x+\alpha)^3-x^3=v_0(x)^2+3v_2(x)^2 \\ &\qquad =\bigl(v_0(x)+\sqrt{-3}\,v_2(x)\bigr)\bigl(v_0(x)-\sqrt{-3}\,v_2(x)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пусть v_0(x)=ax+b, v_2(x)=cx+d, где a,b,c,d\in K_0, a\neq0, b\neq0. Тогда
\begin{equation}
3\alpha(x\,{-}\,\eta_1\alpha)(x\,{-}\,\eta_2\alpha)\,{=}\, \bigl((a\,{+}{\kern1pt}\sqrt{-3}\,c)x\,{+}\,(b\,{+}{\kern1pt}\sqrt{-3}\,d)\bigr) \bigl((a\,{-}{\kern1pt}\sqrt{-3}\,c)x\,{+} \,(b\,{-}{\kern1pt}\sqrt{-3}\,d)\bigr).
\end{equation}
\tag{4.1}
Приравнивая старшие коэффициенты и корни многочленов в левой и правой частях равенства (4.1), получаем
\begin{equation}
a^2+3c^2=3\alpha, \qquad \frac{b+\sqrt{-3}\, d}{a+\sqrt{-3}\, c}=-\eta_1\alpha.
\end{equation}
\tag{4.2}
Перепишем второе уравнение системы (4.2) в виде Так как \eta_1=-(3+\sqrt3)/6, то последнее равенство можно представить в виде т.е. откуда получаем и a\neq c, поскольку b\neq0. В итоге получаем следующие ограничения на a,b,c,d:
\begin{equation}
a^2+3c^2=3\alpha, \qquad 2b=(a-c)\alpha, \qquad 6d=(a+3c)\alpha, \qquad a\neq c,
\end{equation}
\tag{4.4}
и в силу замечания 3 имеем 4a^3-27b\neq0. Заметим, что
\begin{equation}
4a^3-27b= 4a^3- \frac{27(a-c)(a^2+3c^2)}{6}=-\frac{3(a-3c)^3}{2}.
\end{equation}
\tag{4.5}
Обратно, пусть a и c – произвольные элементы поля K_0, удовлетворяющие условиям
\begin{equation*}
a \ne 0,\qquad a-c \ne 0, \qquad a^2+3c^2\ne 0, \qquad a-3c\ne 0,
\end{equation*}
\notag
которые эквивалентны набору неравенств так как a^2+3c^2 \ne 0, поскольку a \ne 0 и \sqrt{-3}\not\in K_0. Тогда равенства (4.4) однозначно определяют элементы
\begin{equation*}
\alpha=\frac{a^2+3c^2}3\neq0, \qquad b=\frac{(a-c)\alpha}2\neq 0, \qquad d=\frac{(a+3c)\alpha}{6},
\end{equation*}
\notag
для которых выполняется равенство (4.1) и многочлен x^3+(ax+b)^2 не имеет кратных корней. Следовательно, у эллиптической кривой модуль Галуа (над K_0) E_f[3] изоморфен \mathbb Z/3\mathbb Z\times \mu_3. При этом точка
\begin{equation}
P_{a,c}=(0,v_0(0))=(0,b_1)=\biggl(0, \frac{(a-c)\alpha}{2}\biggr)=\biggl(0, \frac{(a-c)(a^2+3c^2)}{6}\biggr)
\end{equation}
\tag{4.7}
лежит в E_f(K_0) и имеет там порядок 3, а точка
\begin{equation}
Q_{a,c}=(-\alpha, v_1(-\alpha))=\biggl(-\alpha, \frac{v_2(-\alpha)}{\sqrt{-3}}\biggr)= \biggl(-\frac{a^2+3c^2}3,\frac{(a-3c)(a^2+3c^2)}{18\sqrt{-3}}\biggr)
\end{equation}
\tag{4.8}
лежит в E_f(K_3), имеет порядок 3 и антиинвариантна относительно нетривиального автоморфизма поля K_3=K_0(\sqrt{-3}) над K_0. Отметим, что
\begin{equation}
\begin{gathered} \, v_0(x)=ax+\frac{(a-c)(a^2+3c^2)}6, \qquad v_1(x)=\frac{c}{\sqrt{-3}}x+\frac{(a+3c)(a^2+3c^2)}{18\sqrt{-3}}, \\ v_0(0)=\frac{(a-c)(a^2+3c^2)}6, \qquad v_1(-\alpha)=\frac{(a-3c)(a^2+3c^2)}{18\sqrt{-3}}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.9}
Таким образом, мы получаем двухпараметрическое семейство кривых над K_0
\begin{equation}
\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}\colon y^2=x^3+\biggl(ax+\frac{(a-c)(a^2+3c^2)}{6}\biggr)^2
\end{equation}
\tag{4.10}
c параметрами a,c \in K_0, удовлетворяющими условиям и с модулем Галуа \mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}[3], изоморфным \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3. Тем самым, мы доказали, что (E,O) K_0-изоморфна отмеченной эллиптической кривой (\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c},\infty) для некоторых a,c \in K_0, удовлетворяющих условиям (4.6). Верно и обратное утверждение. Теорема 4. Рассмотрим семейство эллиптических кривых (4.10) \mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c} над K_0, где a, c \in K_0 удовлетворяют условиям (4.6). Тогда: (i) для всех таких a,c \operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)-модуль \mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}[3] изоморфен \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3; (ii) для любой отмеченной эллиптической кривой (E,O) над K_0 такой, что \operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)-модуль E[3] изоморфен \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3, найдутся a, c\in K_0, удовлетворяющие условиям (4.6) и такие, что (E,O) изоморфна (\mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c},\infty) над K_0. Доказательство. (i) Многочлен в правой части равенства (4.10) имеет вид x^3+v_0(x)^2=(x+\alpha)^3+v_1(x)^2, где v_0(x) и v_1(x) задаются формулами (4.9) и \alpha=(a^2+3c^2)/3\in K_0^{\times}. Из теоремы 3 с учетом последнего равенства (4.9) вытекает, что на кривой \mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c} имеются K_0-точка P_{a,c} порядка 3 (4.7) и K_3-точка Q_{a,c} порядка 3 (4.8), антиинвариантная относительно нетривиального автоморфизма расширения K_3/K_0. Из леммы 2 вытекает, что \operatorname{Gal}(K_0^s/K_0)-модуль \mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}[3] изоморфен \mathbb Z/3\mathbb Z\oplus \mu_3.
(ii) Это утверждение уже доказано. Теорема доказана. Замечание 9. В силу замечания 2 класс элемента \alpha=(a^2+3c^2)/3\in K_0^{\times} по модулю K_0^{\times2} определен однозначно классом K_0-изоморфизма кривых \mathscr{E}^{\mathbf{t}}_{a,c}. Теорема 5. Пусть K_0=\mathbb R – поле вещественных чисел. Для любой отмеченной эллиптической кривой (E,O) над \mathbb R найдется t\in \mathbb R, удовлетворяющее условиям
\begin{equation}
t\neq0, \qquad t\neq -1\pm\frac2{\sqrt3}, \qquad t\neq-1, \qquad t\neq -\frac13,
\end{equation}
\tag{4.11}
для которого (E,O) изоморфна над \mathbb R отмеченной эллиптической кривой (\mathscr E_t,\infty), где
\begin{equation}
\mathscr E_t\colon y^2=x^3+\biggl(\frac{6t}{1+3t^2}x+\frac{3t^2+6t-1}{2+6t^2} \biggr)^2.
\end{equation}
\tag{4.12}
Обратно, для любого t\,{\in}\,\mathbb R, удовлетворяющего условиям (4.11), (\mathscr E_t,\infty) – отмеченная эллиптическая кривая. При этом точка (0, (3t^2+6t-1)/(2+6t^2)) лежит в E_t(\mathbb R) и имеет порядок 3, а точка (-1,(9t^2\,{+}\,6t\,{-}\,3)/(6\sqrt{-3}\,{+}\,18\sqrt{-3}\,t^2)) лежит в E_t(\mathbb C), имеет порядок 3 и антиинвариантна относительно комплексного сопряжения. Доказательство. Хорошо известно, что E[3]\setminus \{ O\} содержит две вещественные и две антиинвариантные относительно комплексного сопряжения точки. Поэтому можно считать, что E=\mathscr E_{a,c}^{\mathbf{t}}. Заметим, что при K_0-изоморфизме x\mapsto u^2x, y\mapsto u^3y, где u\in K_0^{\times}, кривая E_{a,c} переходит в кривую E_{ua,uc}. Отсюда с учетом неравенства \alpha=(a^2+3c^2)/3>0 вытекает, что в каждом классе \mathbb R-изоморфизма кривых E_{a,c} существует кривая, для которой a^2+3c^2=3. Построим однопараметрическое семейство таких кривых E_{a,c}. Рациональная параметризация кривой a^2+3c^2=3 имеет вид Получаем a-c=(3t^2+6t-1)/(1+3t^2), и уравнение кривой (4.10) принимает вид
\begin{equation}
\mathscr E_t\colon y^2=x^3+\biggl(\frac{6t}{1+3t^2}x+\frac{3t^2+6t-1}{2+6t^2} \biggr)^2.
\end{equation}
\tag{4.13}
Из замечания 3 и равенства (4.5) вытекает, что многочлен в правой части равенства (4.13) не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда выполняются условия
\begin{equation*}
\frac{3t^2+6t-1}{2+6t^2}\neq0, \qquad \frac{6t}{1+3t^2}-3\frac{1-3t^2}{1+3t^2}\neq0,
\end{equation*}
\notag
которые можно представить в виде
\begin{equation*}
t\neq0, \qquad t\neq -1\pm\frac2{\sqrt3}, \qquad t\neq-1, \qquad t\neq -\frac13.
\end{equation*}
\notag
Теперь оба утверждения теоремы непосредственно вытекают из теоремы 4 и ее доказательства. Теорема доказана. § 5. Вычисление спаривания ВейляПусть \operatorname{char} K\neq2,3 и (E,O)=(\mathscr{E}_{\mu,\alpha},\infty) – отмеченная эллиптическая кривая над K, заданная уравнением
\begin{equation*}
y^2=x^3+v_0(x)^2,\quad\text{где }\ v_0(x)=\frac{\alpha\mu}2(x-\eta_1\alpha)+\frac3{2\mu}(x-\eta_2\alpha),
\end{equation*}
\notag
причем
\begin{equation*}
x^3+v_0(x)^2=(x+\alpha)^3+v_1^2(x),\quad\text{где }\ v_1(x)=\frac{\alpha\mu}2(x-\eta_1\alpha)-\frac3{2\mu}(x-\eta_2\alpha),
\end{equation*}
\notag
\eta_1=1/(\varepsilon-1), \eta_2=1/(\varepsilon^2-1), \alpha\neq0 и \varepsilon – первообразный корень степени 3 из 1. Мы знаем, что точки P=(0,v_0(0)) и Q=(-\alpha, v_1(-\alpha)) лежат в E(K) и имеют там порядок 3. Наша цель – вычислить значение e_3(P,Q) спаривания Вейля для точек P, Q. Доказательство. Рассмотрим дивизоры D_P=(P)-(\infty) и D_Q=(Q)-(\infty) на E. Пусть w – корень многочлена x^3+v_0(x)^2 и \mathfrak W=(w,0). Рассмотрим дивизор D_{\mathfrak W}=(\mathfrak W)-(\infty). Класс линейной эквивалентности дивизора D_{\mathfrak W} имеет порядок 2. Следовательно, класс линейной эквивалентности дивизора D=D_P-D_{\mathfrak W} имеет порядок 6. Так как \operatorname{div}(x-w)=2((\mathfrak W)-(\infty)), то 2D\sim 2D_P. Имеем
\begin{equation*}
e_6(P,Q)=e_6(P-\mathfrak W,Q)=e_3(2(P-\mathfrak W),Q)=e_3(2P,Q)=(e_3(P,Q))^2.
\end{equation*}
\notag
Вычислим e_6(P,Q). Пусть g_Q=(y-v_1(x))^2. Тогда
\begin{equation*}
\operatorname{div}(g_Q)=2\operatorname{div}(y-v_1(x))=6(Q)-6(\infty)=6D_Q.
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим функцию g\,{=}\,{(y-v_0(x))^2}/{(x-w)^3}. Так как \operatorname{div}(y\,{-}\,v_0(x))\,{=}\,3(P)-3(\infty) и \operatorname{div}(x-w)=2(\mathfrak W)-2(\infty), то \operatorname{div}(g)=6(P)-6(\mathfrak W)=6D. Так как g(\infty)=1, то
\begin{equation*}
g(D_Q)=\frac{g(Q)}{g(\infty)}=-\frac{(v_1(-\alpha)-v_0(-\alpha))^2}{(\alpha+w)^3} =-\frac{9\alpha^2(1+\eta_2)^2}{\mu^2(\alpha+w)^3}.
\end{equation*}
\notag
Так как v_1(w)^2=-(\alpha+w)^3, то
\begin{equation*}
g_Q(D)=\frac{g_Q(D)}{g_Q(\mathfrak W)}=\frac{(v_0(0)-v_1(0))^2}{v_1^2(w)}= -\frac{9\alpha^2\eta_2^2}{\mu^2(\alpha+w)^3}.
\end{equation*}
\notag
Следовательно,
\begin{equation*}
e_6(P,Q)=\frac{g(D_Q)}{g_Q(D)}=\frac{(1+\eta_2)^2}{\eta_2^2}=\varepsilon^4,
\end{equation*}
\notag
откуда получаем e_3(P,Q)=\pm\varepsilon^2. Так как e_3(P,Q) и \varepsilon^2 – кубические корни из 1, то e_3(P,Q)=\varepsilon^2. Теорема доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BekZar21}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|