Устойчивость задачи минимизации при возмущении множества допустимых элементов

Пусть $F$ – вещественный непрерывный функционал над пространством $X$. Рассматривается свойство непрерывности оператора $\mathcal F$ из $2^X$ в $2^X$, который каждому $M\in 2^X$ ставит в соответствие множество $\mathcal F(M)=\bigl\{x\in M:F(x)=\inf F(M)\bigr\}$. В частности, в случае нормированного пространства $X$ доказано следующее. Положим
$$AB=\sup_{x\in A}\inf_{y\in B}\|x-y\|,\qquad h(A,B)=\max\{AB,BA\},\qquad(A,B\subset X),$$
пусть $\mathcal M$ – совокупность всех замкнутых выпуклых множеств из $X$. Множество $M\subset X$ называется аппроксимативно компактным, если любая минимизирующая последовательность из $M$ содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из $M$.
Пусть $X$ рефлексивно, функционал $F$ выпуклый и для $r>\inf F(X)$ множество $\bigl\{x\in X:F(x)\leqslant r\bigr\}$ ограничено и содержит внутренние точки, тогда следующие утверждения эквивалентны:
а) $M_\alpha,M\in\mathcal M$, $h(M_\alpha,M)\to0\Rightarrow\mathcal F(M_\alpha)\mathcal F(M)\to0$,
б) каждое множество $M\in\mathcal M$ является аппроксимативно компактным.
Библиография: 15 названий.