Аннотация:
Пусть
$$
S_n=n^{-1/2}\sigma^{-1}\sum_1^n(X_i-\mathbf EX_i),\quad\sigma^2=\mathbf E|X_1-\mathbf EX_1|^2,
$$
– нормированная сумма независимых одинаково распределенных случайных величин $X_i$, принимающих значения из гильбертового сепарабельного пространства $H$. Обозначим через $V$ ковариационный оператор $X_1$ и пусть $Y$ – $H$-значная гауссовская случайная величина со средним нуль и ковариационным оператором $\sigma^{-2}V$. Показывается, что существует абсолютная постоянная $c$ такая, что для любых $a\in H$, $r\geqslant0$ $$
|\mathbf P(|S_n-a|<r)-\mathbf P(|Y-a|<r)|\leqslant c\biggl(\prod_1^6\sigma_i^{-1}\biggr)\sigma^3\mathbf E|X_1-\mathbf EX_1|^3(1+|a|^3)n^{-1/2},
$$
где $\sigma_1^2\geqslant\sigma_2^2\geqslant\dotsb$ – собственные значения $V$. С точностью до значения $c$ эта оценка в общем случае неулучшаема.
Библиография: 15 названий.
Образец цитирования:
Б. А. Залесский, В. В. Сазонов, В. В. Ульянов, “Правильная оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве”, Матем. сб., 180:12 (1989), 1587–1613; B. A. Zalesskii, V. V. Sazonov, V. V. Ulyanov, “A precise estimate of the rate of convergence in the Central Limit Theorem in Hilbert space”, Math. USSR-Sb., 68:2 (1991), 453–482
\RBibitem{ZalSazUly89}
\by Б.~А.~Залесский, В.~В.~Сазонов, В.~В.~Ульянов
\paper Правильная оценка скорости сходимости в~центральной предельной теореме в~гильбертовом пространстве
\jour Матем. сб.
\yr 1989
\vol 180
\issue 12
\pages 1587--1613
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm1677}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1038219}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0694.60004|0709.60006}
\transl
\by B.~A.~Zalesskii, V.~V.~Sazonov, V.~V.~Ulyanov
\paper A~precise estimate of the rate of convergence in the Central Limit Theorem in Hilbert~space
\jour Math. USSR-Sb.
\yr 1991
\vol 68
\issue 2
\pages 453--482
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM1991v068n02ABEH002110}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=A1991FE73700008}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm1677
https://www.mathnet.ru/rus/sm/v180/i12/p1587
Эта публикация цитируется в следующих 8 статьяx:
Friedrich Götze, Andrei Yu. Zaitsev, “Explicit rates of approximation in the CLT for quadratic forms”, Ann. Probab., 42:1 (2014)
Yuri V. Prokhorov, Vladimir V. Ulyanov, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, 42, Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory, 2013, 235
С. В. Нагаев, В. И. Чеботарев, “О точности гауссовской аппроксимации в гильбертовом пространстве”, Матем. тр., 7:1 (2004), 91–152; S. V. Nagaev, V. I. Chebotarev, “On the Accuracy of Gaussian Approximation in Hilbert Space”, Siberian Adv. Math., 15:1 (2005), 11–73
S. A. Bogatyrev, “A Nonuniform Estimate for the Error in Short Asymptotic Expansions in Hilbert Space”, Theory Probab Appl, 47:4 (2003), 689
А. Н. Назарова, “Логарифмическая скорость сходимости в ЦПТ для случайных линейных процессов и полей в гильбертовом пространстве”, Фундамент. и прикл. матем., 8:4 (2002), 1091–1098
Yu. V. Borovskikh, L. Madan Puri, V. V. Sazonov, “Normal Approximation of U-Statistics in Hilbert Space”, Theory Probab Appl, 41:3 (1997), 405
Bentkus V., Gotze F., “Optimal Rates of Convergence in the Clt for Quadratic Forms”, Ann. Probab., 24:1 (1996), 466–490
В. В. Сазонов, В. В. Ульянов, “Асимптотические разложения вероятности сумме независимых случайных величин попасть в шар гильбертового пространства”, УМН, 50:5(305) (1995), 203–222; V. V. Sazonov, V. V. Ulyanov, “Asymptotic expansions of the probability that the sum of independent random variables hits a ball in a Hilbert space”, Russian Math. Surveys, 50:5 (1995), 1045–1063
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: