Функция Б. Я. Левина для некоторых совокупностей промежутков

Пусть $\{I_k\}_{k\in \mathbb{Z}},\ I_k=[a_k,b_k],\ b_k<a_{k+1},\ a_k\xrightarrow[k\rightarrow-\infty]{}-\infty, a_k\xrightarrow[k\rightarrow+\infty]{}+\infty$ – множество попарно дизъюнктных отрезков вещественной оси $\mathbb{R}$. $J_k=[b_k,a_{k+1}],\ E=\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}J_k.$ Полагаем $a_0=-1,\ b_0=1,\ a_1=2^{n_0}\stackrel{\mathrm{def}}{=}C$. Для $I_k\subset [2^m,2^{m+1}]$ или $I_k\subset [-2^{m+1},-2^{m}]$ полагаем $|I_k|=2^{-m\alpha},\alpha >0,\ m\geq n_0$. Предположим также, что для любого $n\geq n_0$ найдутся такие $k$ и $l$, что $a_k=2^n$ и $b_l=-2^n$. Функцией Б. Я. Левина мы назовем функцию $f_{E,\sigma}(z),\ \sigma>0$, удовлетворяющую следующим условиям:

• $f_{E,\sigma}(z)$ субгармонична на всей комплексной плоскости $\mathbb{C}$ и гармонична в $\mathbb{C}\setminus E$;
• $f_{E,\sigma}(z)=0$, $x\in E;\ f_{E,\sigma}(z)>0,\ z\in\mathbb{C}\setminus E$;
• $\underset{z\rightarrow\infty}{\varlimsup}\dfrac{f_{E,\sigma}(z)}{|z|}=\sigma,\ f_{E,\sigma}(\overline z)=f_{E,\sigma}(z)$;
• если $g$ субгармонична в $\mathbb{C}$, $g(x)\leq 0,\ x\in E$ и $\underset{z\rightarrow\infty}{\varlimsup}\dfrac{g(z)}{|z|}\leq\sigma$, то
  $$g(z)\leq f_{E,\sigma}(z),\ z\in \mathbb{C}.$$
  

Функция Б. Я. Левина существует, если $C_1|I_l|\geq|J_k|\geq C|I_l|$ при условии, что
$$J_k,\ I_l\subset[2^n,2^{n+1}]\text{ или }J_k,\ I_l\subset[-2^{n+1},-2^{n}],\ n\geq n_0.$$
Мы доказываем, что при условии $C\geq c_0(\alpha)$ справедливо соотношение $\max\limits_{x\in I_k}f_{E,\sigma}(x)\leq 6\sigma|I_k|$ и описываем поведение функции $f_{E,1}(z)$ в окрестности отрезков $J_k,\ k\in\mathbb{Z}$. Библ. – 8 назв.