Аппроксимация безгранично делимыми законами в многомерном случае

Пусть $\mathfrak a$ – совокупность параллелепипедов в $\mathbb R^k$ с ребрами, параллельными координатным осям и $\mathfrak b$ – совокупность замкнутых множеств в $\mathbb R^k$. Пусть $\pi(G, H)=\inf\{\varepsilon|G\{A\}\leqslant H\{A^\varepsilon\}+\varepsilon, H\{A\}\leqslant G\{A^\varepsilon\}+\varepsilon\text{ для любого }A\in\mathfrak b\}$; $L(G, H)=\inf\{\varepsilon|G\{A\}\leqslant H\{A^\varepsilon\}+\varepsilon, H\{A\}\leqslant G\{A^\varepsilon\}+\varepsilon\text{ для любого }A\in\mathfrak a\}$; $\rho(G, H)=\sup_{A\in\mathfrak a}|G\{A\}-H\{A\}|$, где $G, H$ – распределения в $\mathbb R^k$, $A^\varepsilon=\{x\in\mathbb R^k|\inf_{y\in A}\|x-y\|<\varepsilon\}$. В статье даны доказательства результатов, ранее анонсированных автором (РЖ Мат., 1980, IIB30). Рассматривается задача аппроксимации распределений сумм независимых случайных векторов с помощью безгранично делимых распределений. Получены оценки расстояний $\pi(\cdot, \cdot)$, $L(\cdot, \cdot)$ и $\rho(\cdot, \cdot)$. Доказано, что
$$\rho\left(\prod_{i=1}^n\left((1-p_i)E+p_iV_i\right), \prod_{i=1}^n\exp\left(p_i(V_i-E)\right)\right)\leqslant ck\sqrt{p\sum_{i=1}^np_i^2},$$
где $0\leqslant p_i\leqslant1$, $p=\max_{1\leqslant i\leqslant n}p_i$; $E$ – распределение, сосредоточенное в нуле, $V_i$ $(i=1, \dots, n)$ – произвольные распределения; произведения и экспоненциалы от мер понимаются в смысле свертки.