О достаточном условии глобальной скаляризуемости линейных управляемых систем с локально интегрируемыми коэффициентами

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами
$$\begin{equation} \dot x =A(t)x+ B(t)u, \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad u\in\mathbb{R}^m,\quad t\geqslant 0. \tag{1} \end{equation}$$
Управление в системе $(1)$ строится в виде линейной обратной связи $u=U(t)x$ с измеримой и ограниченной матричной функцией $U(t)$, $t\geqslant 0$. Для замкнутой системы
$$\begin{equation} \dot x =(A(t)+B(t)U(t))x, \quad x\in\mathbb{R}^n, \quad t\geqslant 0, \tag{2} \end{equation}$$
введено понятие равномерной глобальной квазидостижимости, которое является ослаблением равномерной глобальной достижимости — свойства системы $(2)$, позволяющего за счет выбора функции $U(t)$, $t\geqslant 0$, для матрицы Коши $X_U(t,s)$ этой системы обеспечить выполнение равенств $X_U((k+1)T,kT)=H_k$ при фиксированном $T>0$ и произвольных $k\in\mathbb N$, $\det H_k>0$. Доказано, что из равномерной глобальной квазидостижимости системы $(2)$ следует глобальная скаляризуемость этой системы, то есть существование для произвольной наперед заданной локально интегрируемой и интегрально ограниченной скалярной функции $p=p(t)$, $t\geqslant0$, такой измеримой и ограниченной матричной функции $U=U(t)$, $t\geqslant0$, при которой система $(2)$ асимптотически эквивалентна системе скалярного типа $\dot z=p(t)z$, $z\in\mathbb{R}^n,\ t\geqslant0$.