Hermite functions and inner product in Sobolev space

Рассмотрим ортогональную систему Эрмита $\left\{ \varphi_{2n}(x)\right\} _{n\geq 0}$ четного индекса, определенную на $\left( -\infty,\infty \right)$ формулой
$$\begin{equation*} \varphi _{2n}(x)=\frac{e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\sqrt{\left( 2n\right) !}\pi ^{\frac{1}{4}}2^{n}}H_{2n}(x), \end{equation*}$$
где через $H_{2n}(x)$ обозначен полином Эрмита степени $2n.$ В данной работе рассматривается обобщенная система $\left\{ \psi_{r,2n}(x)\right\}$ с $r>0,$ $n\geq 0,$ ортогональная относительно скалярного произведения Соболевского типа на $\left(-\infty ,\infty \right)$
$$\begin{equation*} \langle f,g \rangle =\lim_{t\rightarrow -\infty }\sum_{k=0}^{r-1}f^{\left(k\right) }(t)g^{\left( k\right) }(t)+\int_{-\infty }^{\infty }f^{\left(r\right) }(x)g^{\left( r\right) }(x)\rho (x)dx \end{equation*}$$
с $\rho (x)=e^{-x^{2}},$ и порожденная системой $\left\{\varphi_{2n}(x)\right\} _{n\geq 0}.$ Основной целью работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой $\left\{ \psi _{r,2n}(x)\right\} _{n\geq 0} ,$
$$\begin{gather*} \psi _{r,n}(x)=\frac{(x-a)^{n}}{n!},\quad n=0,1,2,\ldots,r-1, \\[2pt] \psi _{r,r+n}(x)=\frac{1}{(r-1)!}\int_{a}^{b}(x-t)^{r-1}\varphi _{n}(t)dt, \quad n=0,1,2,\ldots\, . \end{gather*}$$
Изучаются условия на функцию $f(x),$ заданную в обобщенной ортогональной системе Эрмита, достаточные для ее разложения в обобщенный смешанный ряд Фурье, а также сходимость этого ряда Фурье. Второй результат статьи — доказательство рекуррентной формулы для системы $\left\{ \psi _{r,2n}(x)\right\} _{n\geq 0}.$ Также обсуждаются асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительную часть работы.