Оптимизация дисконтированного дохода для структурированной популяции, подверженной промыслу

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на $n$ возрастных или типических групп $x_1,\ldots,x_n .$ Предполагаем, что в любой момент времени $k,$ $k=0,1,2\ldots$ численность популяции $x(k)$ определяется как решение нормальной автономной системы разностных уравнений $x(k+1)=F\bigl(x(k)\bigr)$, где $F(x)={\rm col}\bigl(f_1(x),\ldots,f_n(x)\bigr)$ — заданные векторные функции с вещественными неотрицательными компонентами $f_i(x),$ $i=1,\ldots,n.$ Исследуется случай, когда имеется возможность влиять на размер популяции путем промыслового изъятия. В работе рассмотрена модель эксплуатируемой популяции в виде
$$x(k+1)=F\bigl((1-u(k))x(k)\bigr),$$
где вектор $u(k)=\bigl(u_1(k),\dots,u_n(k)\bigr)\in[0,1]^n$ — управление, выбором которого можно достигать увеличения показателей сбора ресурса. Предполагается, что стоимости условной единицы каждого из рассматриваемых $n$ классов постоянны и равны $C_i\geqslant 0 ,$ $i=1,\ldots,n.$ Для определения стоимости ресурса, получаемого в результате промысла, в рассмотрение вводится функция дисконтированного дохода, которая имеет вид
$$H_\alpha\bigl(\overline u,x(0)\bigr)={\sum\limits_{j=0}^{\infty}}\sum\limits_{i=1}^{n}C_i x_i(j)u_i(j)e^{-\alpha j},$$
где $\alpha>0$ — коэффициент дисконтирования. Решается задача построения управлений на конечном и бесконечном промежутках времени, при которых дисконтированный доход от извлечения возобновляемого ресурса достигает наибольшего значения. В качестве следствий получены результаты о построении оптимального способа добычи однородной популяции (т. е. при $n=1$).