Сеть пространств Соболева и краевые задачи для операторов вихрь и градиент дивергенции

В работе рассматривается шкала пространств Соболева $\mathbf{H}^{m}(G)$ векторных полей в ограниченной области $G$ из $\mathbb{R}^3$ с гладкой границей $\Gamma$. Операторы градиент дивергенции и ротор ротора ($\nabla \, \text{div}$ и $\text{rot}^2$) и их степени являются аналогами скалярного оператора $\Delta^m$ в $\mathbb{R}^3$ и порождают пространства $\mathbf{A}^{2k}(G)$ и $\mathbf{W}^m(G)$ потенциальных и вихревых полей, где числа $k$, $m>0$ — целые.
Доказано, что $\mathbf{A}^{2k}(G)$ и $\mathbf{W}^m(G)$ являются проекциями пространств Соболева $\mathbf{H}^{2k}(G)$ и $\mathbf{H}^{m}(G)$ на подпространства $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$. Их прямые суммы $\mathbf{A}^{2k}(G) \oplus \mathbf{W}^m(G)$ образуют сеть пространств, элементами которой являются классы $\mathbf{C}(2k, m)\equiv \mathbf{A}^{2k}\oplus \mathbf{W}^m$.
Рассмотрены пространства $\mathbf{A}^{-m}$ и $\mathbf{W}^{-m}$, которые соответствуют пространствам $\mathbf{A}^{m}$ и $\mathbf{W}^{m}$. Также рассмотрены прямые суммы $\mathbf{A}^{k}(G) \oplus \mathbf{W}^m(G)$ для любых целых чисел $k$ и $m$.
В пространстве $\mathbf{L}_{2}(G)$ строится ортонормированный базис, состоящий из базисов ортогональных подпространств $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$. Его элементы — собственные поля операторов $\text{rot}$ и $\nabla\,\text{div}$. Доказательство их гладкости — важный этап разработанной теории.
В сети $\{\mathbf{C}(k, m)\}_{k,m}$ исследованы модельные краевые задачи для операторов $\text{rot}+\lambda I$, $\nabla \, \text{div}+\lambda I$, их суммы, а также для оператора Стокса. Получены условия разрешимости для рассматриваемых модельных задач.