Аннотация:
Обзор посвящен некоторым результатам в области комбинаторной и выпуклой геометрии, начиная с классических теорем и вплоть до последних современных результатов. В основном рассматриваются те результаты, в доказательстве которых существенно применяются методы алгебраической топологии.
Подробно освещаются разные обобщения теоремы Борсука–Улама для (Zp)k(Zp)k-действия, применения к задаче Кнастера об уровнях функции на сфере, обсуждаются приложения к теории Люстерника–Шнирельмана оценки количества критических точек гладкой функции.
Дается обзор топологических методов в оценках хроматического числа графов и гиперграфов, в теоремах типа Тверберга и ван Кампена–Флореса. Приводятся описания результатов автора по “двойственным” аналогам теорем о центральной точке и Тверберга.
Рассматриваются результаты о существовании вписанных и описанных многогранников специального вида для выпуклых тел, о существовании бильярдных траекторий в выпуклом теле. Приводятся результаты о делении мер гиперплоскостями и другими разбиениями евклидова пространства.
Дается краткий обзор топологических подходов к теоремам типа Хелли, связанных с рассмотрением нерва семейств выпуклых множеств в евклидовом пространстве.
Приводится обзор по теоремам типа Хелли для плоских трансверсалей, подробно рассматриваются результаты, использующие топологию многообразия Грассмана и канонического расслоения над ним.
Библиография: 137 названий.
Образец цитирования:
Р. Н. Карасёв, “Топологические методы в комбинаторной геометрии”, УМН, 63:6(384) (2008), 39–90; Russian Math. Surveys, 63:6 (2008), 1031–1078
Daneshpajouh H.R., “Dold'S Theorem From Viewpoint of Strong Compatibility Graphs”, Eur. J. Comb., 85 (2020), 103064
V. V. Makeev, N. Yu. Netsvetaev, “Subdividing a Convex Body by a System of Cones and Polytopes Inscribed in the Body”, J Math Sci, 251:4 (2020), 512
De Loera J.A., Goaoc X., Meunier F., Mustafa N.H., “The Discrete Yet Ubiquitous Theorems of Caratheodory, Helly, Sperner, Tucker, and Tverberg”, Bull. Amer. Math. Soc., 56:3 (2019), 415–511
В. В. Макеев, Н. Ю. Нецветаев, “Деление выпуклого тела системой конусов и вписанные в него многогранники”, Геометрия и топология. 13, Зап. научн. сем. ПОМИ, 476, ПОМИ, СПб., 2018, 125–130
V. V. Makeev, “Dividing a convex figure by a system of rays and inscribed polygons”, Vestnik St.Petersb. Univ.Math., 48:3 (2015), 157
Б. Н. Хабибуллин, “Теорема Хелли и сдвиги множеств. I”, Уфимск. матем. журн., 6:3 (2014), 98–111; B. N. Khabibullin, “Helly's theorem and shifts of sets. I”, Ufa Math. J., 6:3 (2014), 95–107
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: