Конечное значение затравочного заряда и связь отношения постоянных тонкой структуры физического и затравочного зарядов с нулевыми колебаниями электромагнитного поля в вакууме

Дуальность четырёхмерной электродинамики и двумерной теории скалярного безмассового поля приводит к функциональному совпадению спектров среднего числа фотонов, излучаемых точечным зарядом в 3+1-пространстве, со спектрами среднего числа пар скалярных квантов, испускаемых точечным зеркалом в 1+1-пространстве. Спектры различаются лишь множителем $e^2/\hbar c$ (хевисайдовы единицы). Требование тождественного совпадения спектров приводит к уникальным значениям точечного заряда $e_0=\pm \sqrt {\hbar c}$ и его постоянной тонкой структуры $\alpha _0=1/4\pi$, обладающим всеми свойствами, указанными Гелл-Маном и Лоу для конечного затравочного заряда. Перенормировочный фактор Дайсона $Z_3\equiv \alpha /\alpha _0=4\pi \alpha$ конечен и лежит в диапазоне $0<Z_3<1$ в согласии с правилом сумм спектрального представления Челлена–Лемана для точной функции Грина фотона. Значение $Z_3$ находится также в очень узком интервале $\alpha _{\rm L}<Z_3\equiv \alpha /\alpha _0=4\pi \alpha <\alpha _{\rm B}$ между значениями параметров $\alpha _{\rm L}=0{,}0916$ и $\alpha _{\rm B}=0{,}0923$, определяющих сдвиги $E_{\rm L,\,B}=\alpha _{\rm L,\,B}\hbar c/2r$ энергии нулевых флуктуаций электромагнитного поля в кубическом и сферическом резонаторах с ребром куба, равным диаметру сферы, $L=2r$. В этом случае куб описывает сферу. Очень малое различие коэффициентов $\alpha _{\rm L,\,B}$ объясняется тем, что все многогранники, описывающие сферу, несмотря на различие их форм, обладают общим топологическим инвариантом — отношением поверхности к объёму $S/V=3/r$ — таким же, как у самой сферы. Ему пропорциональны и сдвиги энергии нулевых колебаний в таких резонаторах: $E_{\rm L,\,B}=\alpha _{\rm L,\,B}\hbar cS/6V$. С другой стороны, сдвиги $E_{\rm L,\,B}=\alpha _{\rm L,\,B}\hbar c/2r$ энергии нулевых колебаний электромагнитного поля по существу совпадают с энергией среднеквадратичных флуктуаций средних по объёму электрического и магнитного полей в резонаторе, равной $Z_3\hbar c/2r$ по порядку величины. Отсюда следует, что $\alpha _{\rm L,\,B}\approx Z_3$, как и должно быть для коэффициентов $\alpha _\gamma$ сдвигов $E_\gamma =\alpha _\gamma \hbar c/2r$ в других резонаторах $\gamma$, описывающих сферу. Близость $\alpha _{\rm L}$ и $\alpha _{\rm B}$ к $Z_3$-фактору подтверждается спектральным представлением Челлена–Лемана и согласуется с асимптотическими условиями, связывающими амплитуды рождения фотона свободным и взаимодействующим векторными полями.