Геометрия радиальных гильбертовых пространств, допускающих безусловные базисы из воспроизводящих ядер

В данной работе авторы рассматривают геометрию абстрактных радиальных функциональных гильбертовых пространств, устойчивых относительно деления, в которых существуют безусловные базисы из значений воспроизводящего ядра. Получено простое необходимое условие существования таких базисов в терминах последовательности $\| z^n\| , \ n\in \mathbb N\cup \{ 0\}$. Получено достаточное условие для того, чтобы норма и функция Бергмана пространства восстанавливались через последовательность норм мономов. Доказаны два основных утверждения. Пусть $H$ — радиальное функциональное гильбертово пространство целых функций, устойчивое относительно деления и в нем система мономов $\{z^n\} ,\ n\in \mathbb N\cup \{ 0\}$, полна.
1. Если пространство $H$ допускает безусловный базис из значений воспроизводящего ядра, то
$$\begin{equation*} \|z^n\| \asymp e^{u(n)},\quad n\in \mathbb N\cup \{0\}, \end{equation*}$$
где последовательность $u(n)$ выпуклая, то есть
$$\begin{equation*} u(n+1)+u(n-1)-2u(n)\ge 0,\quad n\in \mathbb N. \end{equation*}$$

2. Пусть $u_{n,k}=u(n)-u(k)-(u(n)-u(n-1))(n-k)$. Если $\mathcal U$ — матрица с элементами $e^{2u_{n,k}}$, $n,k\in \mathbb N\cup \{ 0\}$, и
$$\begin{equation*} \left \| \mathcal U\right \| :=\sup _n\left (\sum _ke^ {2u_{n,k}}\right )^{\frac 12}<\infty , \end{equation*}$$
то
2.1. пространство $H$ как банахово пространство изоморфно пространству целых функций с нормой
$$\begin{equation*} \|F\|^2=\frac 1 {2\pi }\int _0^\infty \int _0^{2\pi }|F(re^{i\varphi }) |^2e^{-2\widetilde u(\ln r)}d\varphi d \widetilde u_+'(\ln r), \end{equation*}$$
где $\widetilde u$ — функция, сопряженная по Юнгу к кусочно линейной функции $u(t)$;
2.2. функция Бергмана пространства $H$ удовлетворяет условию
$$\begin{equation*} K(z)\asymp e^{2\widetilde u(\ln |z|)},\quad z\in \mathbb C. \end{equation*}$$