Аннотация:
Mетод регуляризации Ломова обобщается на уравнения в частных производных с интегральными операторами, ядро которых содержит быстро изменяющийся экспоненциальный множитель. Исследуется случай, когда верхний предел интегрального оператора совпадает с переменной дифференцирования. Для таких задач развивается алгоритм построения регуляризованной асимптотики. В отличие от работ М.И. Иманалиева, где для аналогичных задач с медленно изменяющимися ядрами исследуется только предельный переход при стремлении малого параметра к нулю, здесь строится асимптотическое решение любого порядка (по параметру).
Отметим, что метод регуляризации Ломова применялся в основном для обыкновенных сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений (см. подробную библиографию в конце статьи). В одной из работ авторов был рассмотрен случай уравнения в частных производных с медленно изменяющимися ядрами. Разработка этого метода для уравнений частных производных с быстро изменяющимися ядрами ранее не проводилась. Тип верхнего предела интегрального оператора в таких уравнениях порождает две принципиально разные ситуации. Наиболее трудной является ситуация, когда верхний предел оператора интегрирования не совпадает с переменной дифференцирования. Как показали исследования, в этом случае у интегрального оператора могут возникнуть характеристические значения, и для построения асимптотики потребуются более жесткие условия на исходные данные задачи. Ясно, что эти трудности возникают и при исследовании интегродифференциальной системы с быстро изменяющимся ядром, поэтому в данной работе сознательно избегается случай зависимости верхнего предела интегрального оператора от переменной x. Кроме того, предполагается, что та же закономерность наблюдается и в быстро убывающей экспоненте ядра интегрального оператора. Любые отклонения от этих (казалось бы незначительных) ограничений сильно усложняют задачу с точки зрения построения ее асимптотического решения. Предполагается, что в дальнейшем в наших работах будут продолжены исследования в направлении ослабления этих ограничений.
Образец цитирования:
А. А. Бободжанов, В. Ф. Сафонов, “Регуляризованная асимптотика решений интегродифференциальных уравнений с частными производными с быстро изменяющимися ядрами”, Уфимск. матем. журн., 10:2 (2018), 3–12; Ufa Math. J., 10:2 (2018), 3–13
А. Г. Елисеев, П. В. Кириченко, “Построения регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для неоднородного уравнения типа Шрёдингера с потенциалом V(x)=x”, Материалы Воронежской международной весенней математической школы «Современные методы краевых задач. Понтрягинские чтения—XXXIV», Воронеж, 3-9 мая 2023 г. Часть 2, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 231, ВИНИТИ РАН, М., 2024, 27–43
А. Г. Елисеев, П. В. Кириченко, “Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для уравнения типа Шредингера при наличии сильной точки поворота у предельного оператора”, Чебышевский сб., 24:1 (2023), 50–68
А. Г. Елисеев, Т. А. Ратникова, Д. А. Шапошникова, “Регуляризованная асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши для уравнения Шредингера с потенциалом Q(x)=x2”, Чебышевский сб., 24:5 (2023), 31–48
А. Г. Елисеев, “О регуляризованной асимптотике решения задачи Коши при наличии слабой точки поворота у предельного оператора”, Матем. сб., 212:10 (2021), 76–95; A. G. Eliseev, “The regularized asymptotics of a solution of the Cauchy problem in the presence of a weak turning point of the limit operator”, Sb. Math., 212:10 (2021), 1415–1435
B. T. Kalimbetov, O. D. Tuychiev, “Asymptotic solution of the Cauchy problem for the singularly perturbed partial integro-differential equation with rapidly oscillating coefficients and with rapidly oscillating heterogeneity”, Open Math., 19 (2021), 244–258
T. K. Yuldashev, R. N. Odinaev, S. K. Zarifzoda, “On exact solutions of a class of singular partial integro-differential equations”, Lobachevskii J. Math., 42:3, SI (2021), 676–684
Burkhan Kalimbetov, Valery Safonov, “Singularly Perturbed Integro-Differential Equations With Rapidly Oscillating Coefficients and With Rapidly Changing Kernel in the Case of a Multiple Spectrum”, WSEAS TRANSACTIONS ON MATHEMATICS, 20 (2021), 84
А. Г. Елисеев, П. В. Кириченко, “Решение сингулярно возмущенной задачи Коши при наличии «слабой» точки поворота у предельного оператора”, Сиб. электрон. матем. изв., 17 (2020), 51–60
A. Yeliseev, “On the Regularized Asymptotics of a Solution to the Cauchy Problem in the Presence of a Weak Turning Point of the Limit Operator”, Axioms, 9:3 (2020), 86
B. T. Kalimbetov, A. N. Temirbekov, A. S. Tolep, “Asymptotic solutions of scalar integro-differential equations with partial derivatives and with fast oscillating coefficients”, Eur. J. Pure Appl Math., 13:2 (2020), 287–302
B. T. Kalimbetov, Kh. F. Etmishev, “Asymptotic solutions of scalar integro-differential equations with partial derivatives and with rapidly oscillating coefficients”, Bull. Karaganda Univ-Math., 97:1 (2020), 52–67
B. T. Kalimbetov, N. A. Pardaeva, L. D. Sharipova, “Asymptotic solutions of integro-differential equations with partial derivatives and with rapidly varying kernel”, Сиб. электрон. матем. изв., 16 (2019), 1623–1632
A. A. Bobodzhanov, B. T. Kalimbetov, V. F. Safonov, “Singularly perturbed control problems in the case of the stability of the spectrum of the matrix of an optimal system”, Bull. Karaganda Univ-Math., 96:4 (2019), 22–38
B. T. Kalimbetov, V. F. Safonov, “Integro-differentiated singularly perturbed equations with fast oscillating coefficients”, Bull. Karaganda Univ-Math., 94:2 (2019), 33–47
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: