The Law of Large Numbers for $D[0,1]$-Valued Random Variables

Пусть $\xi _1 (t,w),\xi _2(t,w)\ldots $ – строго стационарная последовательность случайных величин, принимающих значения из пространства $D[0,1]$ действительных функций на $[0,1]$ без разрывов второго рода, $S_n(t,w)=\frac{1}{n}\left[ {\xi _1 (t,w)+\ldots+\xi _n(t,w)}\right]$ и $\|\cdot\|$ – равномерная норма на $D[0,1]$. В статье доказывается, что для некоторой случайной величины $m(t,w)$ (вид которой находится явно) $\mathop{\lim }\limits_{n\to\infty}\left\|S_n (t,w)-m(t,w)\right\|=0$ с вероятностью $1$ (теорема 1). Если, кроме того, ${\mathbf E}{\|\xi _1 (t,w)\|}^{1+\alpha}<\infty$ для некоторого $\alpha\ge0$, то (теорема 2)
$$ \mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{\mathbf E}{\left\|S_n(t,w)-m(t,w)\right\|}^{t+\alpha}=0 $$
.