On the scaling property in fluctuation theory for stable Lévy processes

В статье получено выражение для преобразования Лапласа совместного распределения пары $(T_{[x,\infty[}, X_{T_{[x,\infty[}})$, где $X$ — процесс Леви, а $T_{[x,\infty[}$ — момент первого достижения процессом $X$ множества $[x,\infty[$. В случае, когда $X$ является $\alpha$-устойчивым процессом Леви с $1<\alpha<2$, показано, как по этой формуле восстанавливается распределение случайной величины $X_{T_{[x,\infty[}}$ — результат, ранее полученный Д. Рэем в симметричном случае и Н. Бинэмом в случае, когда $X$ не является спектрально отрицательным. Затем мы изучаем поведение момента $T[x,\infty[$ при условии $\{X_{T_{[x,\infty[}}-x\le h\}$, когда $h$ стремится к $0$. При этом на первый план выходит случайная величина $T^0_x$, которая, по-видимому, связана с абсолютной непрерывностью распределения супремума процесса $X$.