Time-Varying Fractionally Integrated Processes with Nonstationary Long Memory

В работе вводятся два явных класса $A(d)$, $B(d)$ линейных фильтров, зависящих от времени и определяемых для любой вещественной последовательности $d=(d_t,\ t \in Z)$, таких, что для постоянной последовательности $d_t\equiv d$ операторы $A(d)=B(d)=(I-L)^{-d}$ совпадают с обычным оператором дробного дифференцирования. Доказано, что эти операторы удовлетворяют соотношениям обратимости $B (-d)\,A(d) =A(-d)\,B(d) = I$. В работе исследуется асимптотическое поведение частных сумм фильтрованных процессов белого шума $Y_t=A(d)\,G\varepsilon_t$ и $X_t=B(d)\,G\varepsilon_t$ в случае, когда последовательность $d $ имеет пределы $\lim_{t\to\pm\infty}d_t=d_\pm \in (0,\frac{1}{2})$ в бесконечности, а оператор $G$ образует фильтр с короткой памятью. Доказано, что пределом частных сумм является автомодельный гауссовский процесс, зависящий только от предельных значений $d_\pm$ и суммы коэффициентов оператора $G$. Кроме того, предельный процесс имеет либо асимптотически стационарные, либо асимптотически стремящиеся к нулю приращения и гладкие траектории.